2024-2025学年山东省威海市高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年山东省威海市高二（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合M={−1,0,1,2,3}，N={x|lnx12x−1,x≤1，则f(lg23)=( )
A. 12B. 34C. 54D. 32
6.已知随机事件A，B满足P(AB)=0.4，P(A)=0.6，P(B|A−)=0.5，则P(B)=( )
A. 0.4B. 0.5C. 0.6D. 0.8
7.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)=−f(x+2)，若f(2)=2，则i=118f(i)=( )
A. 0B. 2C. 8D. 10
8.有分别标有数字1，2，3，4的小球各2个，它们的形状、大小、材质完全相同，现从这8个小球中任取4个，则取出的小球上的数字之和为10的概率为( )
A. 835B. 1770C. 935D. 1970
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某位同学10次考试的物理成绩y与数学成绩x如下表所示：
已知y与x线性相关，计算可得x−=80，y−=83，回归直线方程为y =1.1x+a ，则( )
A. y与x正相关
B. a​=5
C. 相关系数r>0
D. 若该同学第11次考试的数学成绩为80，物理成绩为83，则以这11次成绩重新计算，得到的回归直线方程不变
10.对于每个实数x，设f(x)取y=|x−1|，y=|x−2|两个函数值中的最大值，则( )
A. f(1)=0B. 当x∈(−∞,−4)时，f(x)>4−12x
C. f(x)在(−∞,2)上单调递减D. f(x)的最小值为12
11.已知函数f(x)=e|x+2|(x+2)2，f(x)的导函数为f′(x)，则( )
A. 存在x0，使得f(x0)=1
B. 对于定义域内的任意x，都有f(−4−x)−f(x)=0
C. 函数y=f′(x−2)的图象关于原点对称
D. 方程f(f(x))=e2有4个实数根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=lnx+2x，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为______．
13.(1−2x2)(1+x)5的展开式中x4的系数为______．
14.若对任意x∈(1,+∞)，x+ex−1>alnx+xa+1，则a的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在科技飞速发展的今天，人工智能(AI)领域迎来革命性的突破，各种AI工具拥有强大的解决问题的能力.某企业为了解男女员工对AI工具的使用情况，随机调查了200名员工，得到如下数据：
(1)根据小概率值α=0.005的独立性检验，分析该企业员工对AI工具的使用情况是否与性别有关；
(2)为鼓励员工使用AI工具，企业采用按性别分层抽样的方式，在被调查的经常使用AI工具的员工中，抽取了7名员工组成AI工具宣传小组.现从这7名员工中随机选出3名担任宣传组长，记选出的3名宣传组长中女员工的人数为随机变量X，求X的数学期望．
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
参考数据：
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=2x−a⋅2−x，g(x)=x+1x．
(1)当a=−2时，解关于x的方程f(x)=3；
(2)若对∀x1∈[0,1]，∃x2∈(0,+∞)，使得f(x1)=g(x2)，求a的取值范围．
17.(本小题15分)
已知甲、乙、丙三个品牌的手机从1米高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率均为34，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率依次为13，23，25，假设三个品牌的手机掉落后屏幕是否碎掉互不影响．
(1)求这3个品牌的手机中至少有2个品牌第一次掉落屏幕未碎掉的概率；
(2)设这3个品牌的手机掉落两次后屏幕仍未碎掉的品牌个数为随机变量X，求X的分布列；
(3)已知3个品牌的手机掉落两次后恰有1个品牌的手机屏幕仍未碎掉，求该品牌手机是甲的概率．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=x3+3ax2+b．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a=0，b=2时，求曲线y=f(x)过点(2,10)的切线方程；
(3)若f(x)存在三个不同的零点x1alnx+xa+1，即x−1+ex−1>lnxa+elnxa，
令g(t)=t+et，t>0，
易知g(t)=t+et在(0,+∞)上单调递增，
又t=x−1>0，且t=lnxa=alnx>0，x∈(1,+∞)，
则(∗)成立，等价于g(x−1)>g(lnxa)在x∈(1,+∞)上恒成立，
即x−1>lnxa=alnx在x∈(1,+∞)上恒成立，
即x−alnx−1>0在x∈(1,+∞)上恒成立，(∗∗)
令ℎ(x)=x−alnx−1，x∈(1,+∞)，则ℎ′(x)=1−ax，
若00，此时ℎ(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以ℎ(x)min>ℎ(1)=0，故(∗∗)成立，即(∗)成立；
若a>1时，令ℎ′(x)=1−ax=0，解得x=a，
当x∈(1,a)时，ℎ′(x)0，ℎ(x)单调递增，
所以ℎ(x)min=ℎ(a)=a−alna−1，
又ℎ′(a)=−lna0在x∈(1,+∞)上恒成立问题，进而分析即可得出答案．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】企业员工对AI工具的使用情况与性别有关；
97．
【解析】(1)零假设H0：该企业员工对AI工具的使用情况与性别无关，
则χ2=200×(80×40−20×60)2100×100×60×140≈9.524>7.879，
根据小概率值α=0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为“该企业员工对AI工具的使用情况与性别无关”，此推断犯错误的概率不超过0.005，
故分析认为企业员工对AI工具的使用情况与性别有关；
(2)由题意知，抽取的7名员工中男员工有4名，女员工有3名，
则X的所有可能取值为：0，1，2，3，
则P(X=0)=C43C73=435，P(X=1)=C31C42C73=1835，P(X=2)=C32C41C73=1235，P(X=3)=C33C73=135，
所以E(X)=0×435+1×1835+2×1235+3×135=1835+2435+335=97．
(1)根据题意得到列联表；利用公式求得，结合附表即可得到结论；
(2)应用分层抽样的等比例性质确定男女人数，确定有X的所有可能取值集合为{0,1,2,3}，求出对应概率，即可得分布列，进而求期望．
本题主要考查了独立性检验的应用，考查了离散型随机变量的期望，属于中档题．
16.【答案】x=0或x=1．
(−∞,−1]．
【解析】(1)当a=−2时，2x+22x=3，
即(2x)2−3⋅2x+2=0，
解得2x=1或2x=2，
所以x=0或x=1；
(2)设f(x)在[0,1]上的值域为A，g(x)在(0,+∞)上的值域为B，则A⊆B，
因为x∈(0,+∞)，所以g(x)=x+1x≥2，当且仅当x=1x即x=1时等号成立，
所以B=[2,+∞)，
因为A⊆B，所以f(x)=2x−a⋅2−x≥2对∀x∈[0,1]恒成立，
即a≤(2x)2−2⋅2x=(2x−1)2−1①，对∀x∈[0,1]恒成立，
易知x=0时，①式取得最小值−1，
所以a的范围是(−∞,−1]．
(1)解指数方程结合指数函数值域计算求解；
(2)先把存在问题转化为指数不等式恒成立，结合指数函数值域计算求解．
本题考查指数方程的解法，不等式恒成立问题的解题思路，属于中档题．
17.【答案】2732．
答案见解析．
737．
【解析】(1)甲、乙、丙三个品牌的手机从1米高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率均为34，
当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率依次为13，23，25，
假设三个品牌的手机掉落后屏幕是否碎掉互不影响，
设事件D表示“3个品牌的手机中至少有2个品牌第一次掉落屏幕未碎掉”，
则这3个品牌的手机中至少有2个品牌第一次掉落屏幕未碎掉的概率为：
P(D)=C32(34)2⋅14+C33(34)3=2732．
(2)依题意，随机变量X的取值集合为{0,1,2,3}，
设事件A表示“甲品牌的手机掉落两次后屏幕仍未碎掉”，
事件B表示“乙品牌的手机掉落两次后屏幕仍未碎掉”，
事件C表示“丙品牌的手机掉落两次后屏幕仍未碎掉”，
则P(A)=34×13=14，P(B)=34×23=12，P(C)=34×25=310，
∴P(X=0)=34×12×710=2180，P(X=1)=14×12×710+34×12×710+34×12×310=3780，
P(X=2)=14×12×710+14×12×310+34×12×310=1980，P(X=3)=14×12×310=380，
∴X的分布列为：
(3)设事件E表示“3个品牌的手机掉落两次后恰有1个品牌的手机屏幕仍未碎掉”，
事件F表示“3个品牌的手机掉落两次后恰有甲品牌的手机屏幕仍未碎掉”，
由(2)知，P(E)=P(X=1)=3780，P(EF)=14×12×710=780，
所以已知3个品牌的手机掉落两次后恰有1个品牌的手机屏幕仍未碎掉，
该品牌手机是甲的概率为P(F|E)=P(FE)P(E)=7803780=737．
(1)利用独立重复试验的概率公式及互斥事件的概率公式列式计算．
(2)求出X的可能值，再求出各个值对应的概率，列出分布列．
(3)利用条件概率公式求解．
本题考查独立重复试验的概率公式及互斥事件的概率公式、条件概率公式、离散型随机变量等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18.【答案】答案见解析；
y=12x−14或y=3x+4；
证明见解析．
【解析】(1)f′(x)=3x2+6ax=3x(x+2a)，
①当a=0时，f′(x)=3x2≥0，
所以f(x)的单调递增区间为(−∞,+∞)，无单调递减区间；
②当a>0时，令f′(x)>0，解得x0，令f′(x)p(x2)，
因为p(x1)=p(x2)，
所以p(1x2)>p(x1)，
对于p(x)=x−lnxx，p′(x)=1−1−lnxx2=x2−1+lnxx2，
当0G(x1)，
由(i)知G(x)在(0,1)上单调递减，
因为0