陕西省西安市长安区2025届高三数学押题卷（一）数学试卷（解析版）

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1．已知集合A=-1,0,1,2,3,B=x∣ee0=1，f'x>0，
∴fx在-∞,0单调递减，在0,+∞单调递增.
若a0，
∴fx在-∞,0单调递减，在0,+∞单调递增.
综上所述，当a≠0时，fx在-∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增.
（3）证明：当a>0时，要证fx>a2x22,x∈0,+∞，即证eax-ax-1>a2x22,x∈0,+∞.
令gx=eax-ax-1-a2x22，x∈0,+∞，∴g'x=aeax-a-a2x.
法一：令hx=aeax-a-a2x，x∈0,+∞，∴h'x=a2eax-a2=a2eax-1.
∵a>0，x∈0,+∞，∴eax>e0=1，h'x=a2eax-1>0，
∴hx在0,+∞上单调递增，∴hx>h0=a-a-0=0，
∴g'x>0，∴gx在0,+∞上单调递增，∴gx>g0=e0-0-1-0=0，即eax-ax-1>a2x22.
∴当x∈0,+∞时，fx>a2x22.
法二：g'x=aeax-a-a2x=aeax-ax-1=afx.
由（2）知，fx在-∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，
∴当x∈0,+∞时，fx>f0=e0-0-1=0.
又a>0，∴g'x=afx>0，∴gx在0,+∞上单调递增，
∴gx>g0=e0-0-1-0=0，即eax-ax-1>a2x22.
∴当x∈0,+∞时，fx>a2x22.
18．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，AD=4，E是PD的中点．
（1）求证：PB//平面AEC；
（2）求直线PC与平面AEC所成角的正弦值；
（3）若点F在棱PC上运动，当点F到平面AEC的距离为23时，求PF的长度．
（1）证明：连接BD交AC于点O，连接OE，如图1所示，
因为底面ABCD是矩形，所以O是BD的中点，
因为E是PD的中点，所以在△PBD中，
OE是中位线，所以OE//PB，
因为OE⊂平面AEC,PB⊄平面AEC，
所以PB//平面AEC；
（2）解：如图2，因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，
又在矩形ABCD中，AB⊥AD，所以AP,AB,AD两两垂直．以点A为原点，分别以AB,AD,AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则A0,0,0,B2,0,0,C2,4,0,P0,0,2,D0,4,0，
因为E是PD的中点，所以E0,2,1
所以AE=0,2,1,AC=2,4,0，
设平面AEC的法向量为n→=x1,y1,z1，则n→⋅AE⃗=0n→⋅AC⃗=0，即2y1+z1=02x1+4y1=0，
令y1=1，则z1=-2,x1=-2，所以n→=-2,1,-2，
PC=2,4,-2，
设直线PC与平面AEC所成的角为θ，
则PC⋅n=-2×2+1×4+-2×-2=4，
PC=22+42+-22=24=26，
n=-22+12+-22=3，
所以sinθ=csPC,n=PC⋅nPCn=426×3=69
即直线PC与平面AEC所成角的正弦值为69；
（3）解：由（2）知平面AEC的一个法向量为n=-2,1,-2，
设PF=tPC0≤t≤1，Fx2,y2,z2，
则PF→=x2,y2,z2-2，又PC⃗=2,4,-2，
则PF⃗=2t,4t,-2t，所以F2t,4t,2-2t,AF=2t,4t,2-2t，
AF⋅n=-4t+4t-22-2t=4t-4,n=3，
设点F到平面AEC的距离为d，
则d=AF⋅nn=4t-43=23，得4t-4=2，
解得t=12或t=32（舍去），
又PC=26，故PF=tPC=12×26=6，
所以PF的长度为6．
19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率e=22，短轴长为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l:y=kx+m与椭圆C交于两个不同的点A,B，且OA⋅OB=0，求m2k2+1的值；
（3）定义：对于椭圆C上的点Px0,y0，若点P满足1x02+1y02=34，则称点P为椭圆C的“特殊点”，求椭圆C的“特殊点”的个数．
解：（1）由题意知：e=ca=222b=4a2=b2+c2，解得：a=22b=2c=2，
∴椭圆C的方程为：x28+y24=1.
（2）设Ax1,y1,Bx2,y2，
由x28+y24=1y=kx+m得：1+2k2x2+4kmx+2m2-8=0，
∴Δ=16k2m2-41+2k22m2-8=88k2-m2+4>0，x1+x2=-4km1+2k2，x1x2=2m2-81+2k2，
∴OA⋅OB=x1x2+y1y2=x1x2+kx1+mkx2+m=1+k2x1x2+kmx1+x2+m2 =1+k22m2-81+2k2-4k2m21+2k2+m2=0，
整理可得：m2=8k2+13，代入Δ得：Δ=88k2-8k2+83+4=8316k2+4>0，
∴m2k2+1=83.
（3）∵Px0,y0在椭圆C上，∴x028+y024=1，即x02=8-2y02；
由x02=8-2y021x02+1y02=34得：8-y02y028-2y02=34，整理可得：3y04-14y02+16=0，
即3y02-8y02-2=0，解得：y02=83或y02=2；
当y02=83时，y0=±263，此时x0=±263；
当y02=2时，y0=±2，此时x0=±2；
∴满足题意的点P有8个，即椭圆C的“特殊点”有8个.X
0
1
2
P
49
49
19