陕西省西安市长安区2025届高三 数学押题卷（一）【含答案】

这是一份陕西省西安市长安区2025届高三 数学押题卷（一）【含答案】，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合 A={-1,0,1,2,3},B=x∣eb>0 的离心率 e=22 ,短轴长为 4 .
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)设直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 交于两个不同的点 A,B ,且 OA⋅OB=0 ,求 m2k2+1 的值；
(3)定义:对于椭圆 C 上的点 Px0,y0 ,若点 P 满足 1x02+1y02=34 ,则称点 P 为椭圆 C 的“特殊点”, 求椭圆 C 的 “特殊点” 的个数.
答案速查及评分标准
一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每 小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
二、多项选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对但不全的得部分分, 有选错或不选的得 0 分.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12.30 13. lg2 14.975
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.
15. (13 分) (1) an=2n (5 分,按步给分,具体见详细解析)
(2) Sn=1-12n+1-1 (8 分,按步给分,具体见详细解析)
16. (15 分) (1) 718 (2 分,具体见详细解析)
(2)分布列见解析, EX=23(8 分,按步给分,具体见详细解析)
(3)0.67,高于(5 分,按步给分,具体见详细解析)
17. 15 分 1y=0(4 分,按步给分,具体见详细解析)
(2)答案见解析(4 分,按步给分,具体见详细解析)
(3)证明见解析(7 分,按步给分,具体见详细解析)
18. (17 分) (1) 证明见解析 (5 分, 按步给分, 具体见详细解析)
(2) 69 (7 分,按步给分,具体见详细解析)
(3) 6 (5 分,按步给分,具体见详细解析)
19. (17 分) (1) x28+y24=1 (4 分,按步给分,具体见详细解析)
(2) 83 (6 分,按步给分,具体见详细解析)
(3)8 个(7 分,按步给分,具体见详细解析)
详细解析
1.B 90 分必答 (集合交集的运算与指数不等式求解)
因为 e0 ,令 f'x=0 ,即 aeax-1=0 ,
因为 a>0 ,所以 eax-1=0 ,解得 x=0 .
当 x0,fx 单调递增. (6 分)
若 a0,
所以 hx 在 0,+∞ 上单调递增, (13 分)
则 hx>h0=a-a-0=0 ,即 g'x>0 ,
所以 gx 在 0,+∞ 上单调递增.
所以 gx>g0=e0-0-1-0=0 , (14 分)
即 eax-ax-1>a2x22 .
所以当 x∈0,+∞ 时, fx>a2x22 . (15 分)
18.(1)证明见解析 26936
(1) 问 90 分必答, (2) 问 120 分必答, (3) 问 150 分必答
(线面平行的判定、用向量法求解线面角及点面距离)
(1)证明:连接 BD 交 AC 于点 O ,连接 OE ,如图 1 所示.
(1 分)
因为底面 ABCD 是矩形,所以 O 是 BD 的中点.
因为 E 是 PD 的中点,所以在 △PBD 中,
OE 是中位线,所以 OE//PB . (3 分)
因为 OE⊂ 平面 AEC,PB⊄ 平面 AEC , (4 分)
所以 PB// 平面 AEC . (5 分)

图 1
(2) 解: 如图 2,因为 PA⊥ 底面 ABCD ,所以 PA⊥AB , PA⊥AD ,
又在矩形 ABCD 中, AB⊥AD ,所以 AP,AB,AD 两两垂直. 以点 A 为原点,分别以 AB,AD,AP 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系,则 A0,0,0,B2,0,0 ,
C2,4,0,P0,0,2,D0,4,0 . (7 分)
因为 E 是 PD 的中点,所以 E0,2,1 .

图2
所以 AE=0,2,1,AC=2,4,0 .
设平面 AEC 的法向量为 n=x,y,z ,则
n⋅AE=0,n⋅AC=0, 即 2y+z=0,2x+4y=0,
令 y=1 ,则 z=-2,x=-2 ,所以 n=-2,1,-2 . (9分)
PC=2,4,-2,
设直线 PC 与平面 AEC 所成的角为 θ ,
则 PC⋅n=-2×2+1×4+-2×-2=4 ,
PC=22+42+-22=24=26,
n=-22+12+-22=3,
所以 sinθ=cs⟨PC,n⟩=PC⋅nPCn=426×3=69 .
即直线 PC 与平面 AEC 所成角的正弦值为 69 . (12分) (3) 解:由(2)知平面 AEC 的一个法向量为 n=-2,1,-2 , 设 PF=tPC0≤t≤1 ,
又 PC=2,4,-2 ,
则 F2t,4t,2-2t,AF=2t,4t,2-2t . (15 分)
AF⋅n=-4t+4t-22-2t=4t-4,n=3.
令点 F 到平面 AEC 的距离为 d .
由 d=AF⋅nn=4t-43=23 ,得 4t-4=2 ,
解得 t=12 或 t=32 (舍去). (16 分)
又 PC=26 ,故 PF=tPC=12×26=6 ,
所以 PF 的长度为 6 . (17 分)
知识链接
1. 空间角的向量求法
2. 空间距离的向量求法
19. (1) x28+y24=1 (2) 83 (3)8个
(1)问 90 分必答,(2)问 120 分必答,(3)问 150 分必答 (椭圆方程求解、直线与椭圆的位置关系及新定义 “特殊点”问题)
解:(1)已知短轴长 2b=4 ,则 b=2 .
由离心率 e=ca=22 ,得 c=22a .
又 a2=b2+c2 ,
所以 a2=4+12a2 ,解得 a2=8 . (3 分)
所以椭圆 C 的方程为 x28+y24=1 . (4 分)
(2)设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,
联立直线与椭圆方程,得 y=kx+m,x28+y24=1, 消去 y ,得
1+2k2x2+4kmx+2m2-8=0,
所以 x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-81+2k2 . (6 分)
所以 y1y2=kx1+mkx2+m=k2x1x2+kmx1+ x2+m2 .
因为 OA⋅OB=0 ,所以 x1x2+y1y2=0 , (7 分)
则 1+k2x1x2+kmx1+x2+m2=0 .
所以 1+k2⋅2m2-81+2k2+km⋅-4km1+2k2+m2=0 ,
即 1+k22m2-8-4k2m2+m21+2k2=0 ,
化简,得 3m2-8-8k2=0 ,所以 m2k2+1=83 . (10 分)
(3)因为点 Px0,y0 在椭圆 x28+y24=1 上,
所以 x028+y024=1 ,变形得 x02=8-2y02 .
将 x02=8-2y02 代入 1x02+1y02=34 ,
得 18-2y02+1y02=34 ,即 8-y02y028-2y02=34 ,
所以 48-y02=3y028-2y02 ,
化简,得 3y04-14y02+16=0 . (12 分)
令 t=y02t>0,t≠4 ,方程变为 3t2-14t+16=0,13 分
即 t-23t-8=0 ,解得 t1=2,t2=83 . (14 分)
当 t=2 时, y0=±2 ,此时 x0=±2 ;
当 t=83 时, y0=±263 ,此时 x0=±263 . (15 分)
所以椭圆 C 的 “特殊点” 有 8 个. (17 分)
1
2
3
4
5
6
7
8
B
C
C
A
A
B
D
B
9
10
11
AB
ABC
AD
几何体
表面积
体积
柱体 (棱柱和圆柱)
Sk=Sk+2Sk
V=S 减 h
锥体 (棱锥和圆锥)
S 表 =S 侧 +S 底
V=13S 底 h
台体 (棱台和圆台)
S 表 =S 侧 +S 上 + SF
V=13(S±+S∓+ S 上 S 下 )h
球
S=4πR2
V=43πR3
X
0
1
2
P
49
49
19
角的分类
向量求法
范围
两异面直 线 l1 与 l2 所成的角 θ
设 l1 与 l2 的方向向量分别为 u , v ,则 csθ=cs⟨u,v⟩=u⋅vuv
0,π2
直线 l 与 平面 α 所 成的角 θ
设 l 的方向向量为 u ,平面 α 的 法向量为 n ,则 sinθ= cs⟨u,n⟩=u⋅nun
0,π2
平面 α 与 平面 β 的 夹角 θ
设平面 α,β 的法向量分别为 n1 , n2 ,则 csθ=csn1,n2= n1⋅n2n1n2
0,π2
分类
向量求法
两点距
设 Ax1,y1,z1,Bx2,y2,z2 为空间中的任 意两点,则距离 d=AB= x2-x12+y2-y12+z2-z12
点线距
设直线 l 的单位方向向量为 u,A∈l,P∉l , AP=a ,则点 P 到直线 l 的距离 d=a2-a⋅u2
点面距
已知平面 α 的法向量为 n,A∈α,P∉α ,则点 P 到平面 α 的距离 d=AP⋅nn