2026年高考数学一轮复习讲练测(通用版)第03讲导数与函数的极值、最值(复习讲义)(原卷版+解析版)

这是一份2026年高考数学一轮复习讲练测(通用版)第03讲导数与函数的极值、最值(复习讲义)(原卷版+解析版)，共52页。
01 TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc27698" \l "_Tc199181714" 考情解码・命题预警 PAGEREF _Tc199181714 \h 1
\l "_Tc495" 02体系构建·思维可视 PAGEREF _Tc495 \h 3
\l "_Tc13821" 03核心突破·靶向攻坚 PAGEREF _Tc13821 \h 3
\l "__x0001__3" 知能解码 \l "_Tc8947" PAGEREF _Tc8947 \h 3
\l "_Tc17890" 知识点1 函数的极值 PAGEREF _Tc17890 \h 3
\l "_Tc20497" 知识点2 函数的最大（小）值 PAGEREF _Tc20497 \h 4
\l "_Tc1855" 知识点3 函数的最值与极值的关系 PAGEREF _Tc1855 \h 4
\l "_Tc5233" 题型破译 PAGEREF _Tc5233 \h 5
\l "_Tc30939" 题型1 函数图象与极值（点），最值的关系 PAGEREF _Tc30939 \h 5
\l "_Tc31506" 题型2 求已知函数的极值（点） PAGEREF _Tc31506 \h 6
\l "_Tc11195" 题型3 根据函数的极值（点）求参数 PAGEREF _Tc11195 \h 6
【方法技巧】根据极值点求参数要回代检验
\l "_Tc25282" 题型4 求函数的最值（不含参） PAGEREF _Tc25282 \h 7
【方法技巧】求区间上函数最值步骤
\l "_Tc21973" 题型5 求函数的最值（含参） PAGEREF _Tc21973 \h 9
\l "_Tc6808" 题型6 根据函数的最值求参数 PAGEREF _Tc6808 \h 10
\l "_Tc32523" 题型7函数的单调性、极值、最值的综合应用 PAGEREF _Tc32523 \h 12
04 \l "__x0001__5" 真题溯源·考向感知 \l "_Tc21354" PAGEREF _Tc21354 \h 13
\l "_Tc17240" 05课本典例·高考素材 PAGEREF _Tc17240 \h 14
\l "_Tc25045" 知识点1 函数的极值
一般地，对于函数，
（1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值.
（2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.
自主检测（2025·四川·三模）函数fx=x3−2x2+x−6的极小值是 .
\l "_Tc25045" 知识点2 函数的最大（小）值
一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
自主检测已知函数f(x)=x3−x2−ax+2在x=1时取得极值．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)求函数f(x)在区间−2,2上的最小值．
\l "_Tc25045" 知识点3 函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；
（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；
（3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
自主检测已知函数fx=−x3+3x2−4．
(1)求函数fx的极值；
(2)求函数fx在−2,3上的最大值和最小值．
题型1 函数图象与极值（点），最值的关系
例1-1已知定义域为−3,5的函数fx的导函数为f′x且f′x的图象如图所示，则下列判断中正确的（ ）
A．fx在3,5上单调递增B．fx有极大值f4
C．fx有3个极值点D．fx在x=1处取得最大值
例1-2（多选）已知函数fx，x∈−a,a的图象是一条连续不断的曲线，设其导数为f′x，函数gx=x2−xf′x的图象如下，则下列说法正确的是（ ）
A．fx在x=−1处取最大值B．x=1是fx的极大值点
C．fx没有极小值点D．x=1可能不是导函数f′x的极大值点
【变式训练1-1】（多选）已知函数fx的导函数f′x的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数f′x在b,c上单调递增B．函数fx至少有2个极值点
C．函数fx在a,e上单调递减D．函数fx在x=c处取得极大值
【变式训练1-2】（多选）函数fx的定义域为a,b，导函数f′x在a,b内的图象如图所示，则下列命题正确的是（ ）
A．函数fx在a,b内一定不存在最小值B．函数fx在a,b内只有一个极小值点
C．函数fx在a,b内有两个极大值点D．函数fx在a,b内可能没有零点
【变式训练1-3】（多选）已知定义在R上的函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A．limΔx→0fΔx−2−f−2Δx−3)上的最小值g(t)．
【变式训练5-1．已知函数fx=x3+ax+b.
(1)已知fx在点P1,f1处的切线方程为y=6x+2，求实数a，b的值；
(2)求函数fx在0,2上的最大值.
【变式训练5-2】已知函数fx=ax+lnxa∈R．
(1)讨论fx的极值；
(2)求fx在1,e上的最小值ga．
【变式训练5-3】已知函数fx=alnx−x．
(1)当a=1时，求函数fx的单调区间；
(2)当a>0时，求函数fx的最大值．
题型6 根据函数的最值求参数
例6-1已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)若函数在上的最小值是，求a的值.
例6-2（2025·河北·三模）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若函数在区间上的最小值为0，求实数的值.
【变式训练6-1】已知函数在内有最小值，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练6-2】已知函数（其中为常数）在处取得极值.
(1)当时，求的极值；
(2)若在上的最大值为2，求的值.
【变式训练6-3】已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若在上的最大值是，求的值．
题型7函数的单调性、极值、最值的综合应用
例7-1（2025·北京·二模）已知函数fx=ax−1ex−lnx，其中a>0．
(1)若曲线y=fx在点1,f1处的切线经过点2,2，求a的值；
(2)证明：函数fx存在极小值；
(3)记函数fx的最小值为ga，求ga的最大值．
例7-2（2025·四川泸州·模拟预测）已知函数fx=x−1ex−12ax2.
(1)当a=2时，求fx的极大值；
(2)若fx在0,+∞有最小值，且最小值大于−a，求a的取值范围.
【变式训练7-1】已知函数fx=2x3−ax2+b
(1)当a=3时，求fx的极值；
(2)若a>0，求fx在区间0,1的最小值．
【变式训练7-2】设fx=13e−x2x2+4ax+4a.
(1)当a=2时，求fx的极小值；
(2)若fx的极大值为4，求a的值.
【变式训练7-3】设函数fx=x−alnx−a
(1)当a=0时，求fx的极值；
(2)已知a∈Z，若fx单调递增，求a的最大值；
(3)已知a>0，设x0为fx的极值点，求fx0的最大值.
1．（多选）（2024·新课标Ⅰ·高考真题）设函数f(x)=(x−1)2(x−4)，则（ ）
A．x=3是f(x)的极小值点B．当0e2−x>0，故 1+xex>3−xe2−x，
所以f′x=1+xex−3−xe2−x>0，
当 x>3时，1+x>0>3−x，故 1+xex>0>3−xe2−x，
所以f′x=1+xex−3−xe2−x>0，
综上，当x>1时，f′x>0恒成立，故fx在区间1,+∞上单调递增，
又因为f1+x=x+1ex+1+1−xe1−x，f1−x=x+1ex+1+1−xe1−x，
即f1+x=f1−x，所以fx的图象关于直线x=1对称，
故fx在区间 −∞,1上单调递减，故x=1为fx的极小值点，fx的极小值为f1=2e .
故答案为：2e
例2-2函数fx=12x2−2lnx+x的极值是 .
【答案】32
【详解】由fx=12x2−2lnx+x的定义域为0,+∞，f′x=x−2x+1=x2+x−2x=x−1x+2x，
当x∈0,1时，f′x0，则fx在1,+∞上单调递增；
故fx在x=1取得极小值为f1=12−2ln1+1=32，无极大值；
故答案为：32.
【变式训练2-1】已知函数fx=lnxx，则f(x)的极大值为 ．
【答案】1e/e−1
【详解】函数fx=lnxx的定义域为(0,+∞)，且f′(x)=1−lnxx2，令f′(x)=0，可得x=e，列表如下，
所以函数f(x)的极大值为f(e)=1e．
故答案为：1e
【变式训练2-2】已知函数fx=x2−2x−4lnx+3，则fx的极小值为
【答案】3−4ln2
【详解】易知函数的定义域为0,+∞，由题知f′x=2x−2−4x=2x−2x+1x，
令f′x=0，得到x=2，当x∈0,2时，f′x0，
所以fx在x=2处取得极小值，极小值为f2=3−4ln2，
故答案为：3−4ln2.
【变式训练2-3】若函数fx=x2−ax−2ex在x=−2处取得极大值，则fx的极小值为
【答案】−2e2
【详解】由函数fx=x2−ax−2ex，可得f′x=[x2+(2−a)x−(a+2)]⋅ex，
因为函数fx在x=−2处取得极大值，可得f′−2=0，
即(−2)2+(2−a)(−2)−(a+2)=0，解得a=2，
将a=2，代入可得f′x=x2−4ex=(x−2)(x+2)⋅ex，
当x∈(−∞,−2)∪(2,+∞)时，f′x>0；当x∈(−2,2)时，f′x0，得x1；由f′(x)0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增，
所以f(x)在x=−2时取得极大值．所以a=3,b=0．
（2）由（1）可知，f(x)在[−4,−2)单调递增，在(−2,0)单调递减，在(0,1]单调递增．
又因为f(−4)=−16，f(−2)=4，f(0)=0，f(1)=4，
所以函数f(x)在区间[−4,1]上的最大值为4，最小值为−16．
方法技巧 求区间上函数最值步骤
设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
【变式训练4-1】已知函数fx=ax3+bx+2在x=−1处取得极值−2．
(1)求a,b的值；
(2)求曲线y=fx在点0,f0处的切线方程；
(3)求函数fx在0,2上的最值．
【答案】(1)a=−2，b=6
(2)6x−y+2=0
(3)最大值为6，最小值为−2
【详解】（1）∵f′x=3ax2+b，fx在x=−1处取得极值−2，
∴f−1=−a−b+2=−2f′−1=3a+b=0，解得：a=−2b=6；
当a=−2，b=6时，f′x=−6x2+6=−6x+1x−1，
∴当x∈−∞,−1∪1,+∞时，f′x0；
∴fx在−∞,−1，1,+∞上单调递减，在−1,1上单调递增，
∴x=−1是fx的极小值点，满足题意；
综上所述：a=−2，b=6.
（2）由（1）得：f′x=−6x2+6，fx=−2x3+6x+2，∴f′0=6，f0=2，
∴y=fx在点0,f0处的切线方程为：y−2=6x−0，即6x−y+2=0.
（3）由（1）知：fx在−∞,−1，1,+∞上单调递减，在−1,1上单调递增；
∴fxmax=f1=−2+6+2=6，
又f0=2，f2=−2×8+6×2+2=−2，∴fxmin=f2=−2，
∴fx在0,2上的最大值为6，最小值为−2.
【变式训练4-2】已知函数fx=3x3−9x+5.
(1)求函数fx在x=0处的切线方程；
(2)求函数fx的单调区间；
(3)求函数fx在−3,3上的最大值和最小值.
【答案】(1)y=−9x+5
(2)单调递增区间为−∞,−1，1,+∞，单调递减区间为−1,1
(3)最大值为59，最小值为−49
【详解】（1）因为fx=3x3−9x+5，则f0=5，f′x=9x2−9，
所以f′0=−9，所以函数fx在x=0处的切线方程为y=−9x+5；
（2）函数f(x)的定义域为R，且f′(x)=9x2−9=9x+1x−1.
由f′(x)>0，解得x1，所以fx的单调递增区间为−∞,−1，1,+∞；
由f′(x)0，所以当xa3时，f′x>0；当00,fx在(−2,0)上单调递增，fx有极小值f2−2a，极大值f0.
当a>1时，由f0=43a=4，解得a=3.
当a