2026年高考数学一轮复习讲练测(通用版)第03讲三角函数的图象与性质(原卷版+解析版)

这是一份2026年高考数学一轮复习讲练测(通用版)第03讲三角函数的图象与性质(原卷版+解析版)，共54页。试卷主要包含了函数的最大值为，设，则的最小值为，已知函数的最大值为，最小值为等内容，欢迎下载使用。
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc17943" 01 常考题型过关练
题型01 求三角函数的定义域、值域（最值）
题型02 利用三角函数的值域（最值）求参数
题型03 三角函数的周期性
题型04 三角函数的单调性
题型05 三角函数的奇偶性
题型06 三角函数的对称性
题型07 三角函数的零点问题
题型08 三角函数的图象变换
题型09 图象变换中的最小平移
题型10 由图象确定正（余）弦函数的解析式
题型11 三角函数的实际应用
\l "_Tc20184" 02 核心突破提升练
\l "_Tc5699" 03 真题溯源通关练

01 求三角函数的定义域、值域（最值）
1．已知函数 的定义域为[-1,1]，则函数 的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
2．函数的定义域与值域的交集为 .
3．函数的最大值为（ ）
A．B．2C．D．3
4．设，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
02 利用三角函数的值域（最值）求参数
5．若函数在上的值域是，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数的最大值为，最小值为．函数取最大值时对应x的集合为
7．已知函数在闭区间上的最大值为7，最小值为3，则 .
8．（多选）设，函数在区间上的最小值为，在区间上的最小值为，当变化t时，以下情形可能的是（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数，在区间上的最小值为，则所有满足条件的的积属于区间（ ）
A．B．C．D．
03 三角函数的周期性
10．（多选）下列函数中，以为周期的函数有（ ）
A．B．
C．D．
11．三角函数是刻画周期现象最典型的数学模型．关于三角函数周期性给出两个结论：①函数是周期函数；②函数是周期函数．则下列判断正确的是（ ）
A．①②都正确B．①②都错误C．①正确，②错误D．①错误，②正确
12．设函数.已知，且的最小值为，则 .
13．已知，，则 ．
04 三角函数的单调性
14．函数的单调递增区间是 ．
15．设，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
16．函数在上单调递减，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
18．设，．若对任意，均存在，使得函数在是单调函数，则的取值可能是（ ）．
A．B．C．D．
05 三角函数的奇偶性
19．下列函数中，最小正周期为且是奇函数的为（ ）
A．B．
C．D．
20．已知，且，则= .
21．已知函数是奇函数，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
22．若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，且为奇函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
06 三角函数的对称性
23．写出函数的一个对称中心 ．
24．若函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．的最小正周期的最小值为B．的最小正周期的最大值为
C．的最小正周期的最小值为D．的最小正周期的最大值为
25．已知函数，若f（x）在区间上不单调，且曲线的一个对称中心是，则ω的最小值是（ ）
A．20B．16C．13D．7
26．已知函数的图象关于直线对称，则的取值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
27．，在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（ ）
A．B．C．1D．0
28．已知函数的图象离原点最近的对称轴为，若满足，则称为“近轴函数”．若函数是“近轴函数”，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
07 三角函数的零点问题
29．（ 2025·北京丰台·二模）已知直线为函数图象的一条对称轴，则满足条件的一个的取值为 ；若在区间上有零点，则的最小值为 ．
30．（ 2025·上海·三模）函数的零点个数为
31．已知函数，令在区间上恰有2个零点，则 .
32．设为正整数.如果函数在区间内恰有2023个零点，则的值是 .
33．已知函数．
(1)若的最小正周期为，求的单调递增区间；
(2)若在区间上恰有两个零点，求的取值范围．
08 三角函数的图象变换
34．要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度
35．已知，现将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若存在，使得函数与图象的对称中心完全相同，则满足题意的的个数为（ ）
A．B．C．D．
36．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ）
A．B．
C．D．
37．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．
38．将函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合， 则的最小值为 .
09 图象变换中的最小平移
39．把函数的图象向右平移a个单位长度后得到偶函数的图象，则a的最小正值为（ ）
A．B．C．D．
40．若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于原点对称，则的最小正值为（ ）
A．B．C．D．
41．若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是 ．
10 由图象确定正(余）弦函数的解析式
42．函数的图象的一个最高点坐标为，相邻的一个最低点坐标为，则的值分别为（ ）
A．B．C．D．
43．（多选）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．函数在上单调递减
D．当时，
44．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．的最小正周期为
C．将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，则曲线的一个对称中心为
D．的图象与直线和线段围成的图形面积为
45．函数（）的图象如图所示，点、分别为图象在内的一个最大值点和最小值点，点是曲线上在段的一个动点；
(1)求的值；
(2)设是坐标原点，求的取值范围．
46．已知函数的部分图像如图所示:
(1)求函数的表达式；
(2)写出函数所有的对称轴的方程和对称中心的坐标；
(3)当时，求方程的所有根的和.
11 三角函数的实际应用
47．如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（ ）
A．
B．
C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点
D．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒
48．（ 2025·广西河池·二模）埃菲尔铁塔作为巴黎奥运会标志之一，你可以在铁塔旁看到一段非常特殊的数学方程，它叫做埃菲尔铁塔方程.这个方程不仅仅是一段数学公式，它还代表着法国工程师和建筑师埃菲尔（AlphnseEiffel）对科学和技术的贡献.方程定义：，这个方程中，代表一个给定的角度，则代表在这个角度下埃菲尔铁塔的“高度”（这里的“高度”是方程用于模拟铁塔形状时的一个相对值，并非实际物理高度）.则埃菲尔铁塔最大“高度”值为（ ）
A．B．C．D．2
49．（多选）假设某人在出生起180天内的体力、情绪、智力呈周期性变化，它们的变化规律遵循如图所示的正弦型曲线模型：

记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处、均为可向右延伸，则（ ）
A．智力曲线的最小正周期是三个曲线中最大的
B．在出生起180天内，体力共有7次达高峰值
C．第94天时，情绪值小于15
D．第62天时，智力曲线和情绪曲线均处于上升期
50．奉贤中学生物创新实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系：，其中，.随着人工智能的普及，该实验室引进了AI管理系统，可以根据实际需求设定参数和的取值.
(1)若设定，且要求实验室一天的最大温差不超过8℃，求的最大值；
(2)若设定，且要求实验室温度不高于11℃.由两个实验小组分别设定参数如下：①；②，两个小组一天需要降温的时长分别为和.请比较和的大小关系，并进行合理解释.
1．已知函数，若将曲线向左平移个单位长度后，再向上平移个单位长度得到曲线，若关于的方程在有两个不相等实根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．设，，为函数的3个相邻零点，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（多选）已知函数，则以下说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的值域为
C．的对称中心为
D．的单调递减区间为
4．已知，函数，，若函数值域为，则 ．
5．已知函数，.给出下列四个结论：
①函数是奇函数；
②函数在区间上是增函数；
③函数在区间内恰有3个不同的零点；
④函数的值域为.
其中所有正确结论的序号是 .
6．某摩天轮最高点距离地面高度米，转盘直径为米，设置有个座舱，每相邻两个乘座舱与旋转中心所成的圆心角均相等，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要分钟，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，在后距离地面的高度，则的函数解析式为 ；在摩天轮转动的一周内，有 距离地面超过米.

7．已知函数的部分图像如图所示，
(1)求解析式；
(2)求函数的最大值.
8．已知函数的一个零点为．
(1)求c；
(2)当时，若的值域为，求t的取值范围．
9．已知函数（，，）的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式及对称中心；
(2)设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围.
1．（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为 ．
2．（2023·天津·高考真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期D．与的图象有相同的对称轴
4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3B．4C．6D．8
5．（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ）
A．8B．6C．4D．3
6．（2023·北京·高考真题）设函数．
(1)若，求的值．
(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
第03讲 三角函数的图象与性质
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc17943" 01 常考题型过关练
题型01 求三角函数的定义域、值域（最值）
题型02 利用三角函数的值域（最值）求参数
题型03 三角函数的周期性
题型04 三角函数的单调性
题型05 三角函数的奇偶性
题型06 三角函数的对称性
题型07 三角函数的零点问题
题型08 三角函数的图象变换
题型09 图象变换中的最小平移
题型10 由图象确定正（余）弦函数的解析式
题型11 三角函数的实际应用
\l "_Tc20184" 02 核心突破提升练
\l "_Tc5699" 03 真题溯源通关练

01 求三角函数的定义域、值域（最值）
1．已知函数 的定义域为[-1,1]，则函数 的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】已知函数的定义域为，对于，则有.
解得.
因为函数的定义域为，所以对于，有.
正切函数的周期是，在上单调递增，且，.
所以，.
解不等式，可得，即。；
解不等式，可得.
当时，；当时，.
综合前面两步，取与和的公共部分.
与的公共部分为；与的公共部分为.
所以函数的定义域为.
故选：B.
2．函数的定义域与值域的交集为 .
【答案】
【详解】由，解得，
所以定义域为.
由于，所以，
所以的值域为，
所以定义域与值域的交集为.
故答案为：
3．函数的最大值为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】C
【详解】
，其中，
则当时，取最大值.
故选：C
4．设，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由得，．由得，．
于是
，，
故当时，取最小值．
故选：C．
02 利用三角函数的值域（最值）求参数
5．若函数在上的值域是，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】当时，，且值域为，
所以，则.
故选：B.
6．已知函数的最大值为，最小值为．函数取最大值时对应x的集合为
【答案】
【详解】因为，，
，，
，，，
的最大值为2，此时，则，
，故取最大值时对应x的集合为
故答案为：.
7．已知函数在闭区间上的最大值为7，最小值为3，则 .
【答案】/
【详解】解：取，解得，
所以在上单调递增，
即在上单调递减，
因为在闭区间上有最大值为7，最小值为3，
所以，且，，
即，解得，
因为，所以，故.
故答案为：
8．（多选）设，函数在区间上的最小值为，在区间上的最小值为，当变化t时，以下情形可能的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【详解】考虑到函数的最小正周期为，
对于B，若，在区间上，则；
在区间上可以取得，此时，故B正确；
对于C，同理，取，在区间上的最小值可以为，
由于，所以在区间上的最小值大于零，故可能，故C正确；
对于D，取，显然在区间上的最小值可以为，在区间上的最小值可以小于零，即可能，故D正确；
对于A，由以上BCD中的取值范围可知，当时，，结合正弦函数的单调性可得必有小于零，故A错误.
故选：BCD.
9．已知函数，在区间上的最小值为，则所有满足条件的的积属于区间（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由，得，由的最小值为，得，即，
当时，的最小值，则，此时，符合题意，因此；
若的最小值大于，则，且，解得，
余弦函数在上单调递减，因此存在唯一，使得，
因此或，所以所有满足条件的的积属于区间.
故选：B
【点睛】关键点点睛：按函数最小值能否取到进行分类是求解问题的关键.
03 三角函数的周期性
10．（多选）下列函数中，以为周期的函数有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【详解】对于A，因，而，而，故A错误；
对于B，因，则函数的最小正周期为，故B正确；
对于C，因为，故C正确；
对于D，因为偶函数，则，其最小正周期为，故D错误．
故选：BC．
11．三角函数是刻画周期现象最典型的数学模型．关于三角函数周期性给出两个结论：①函数是周期函数；②函数是周期函数．则下列判断正确的是（ ）
A．①②都正确B．①②都错误C．①正确，②错误D．①错误，②正确
【答案】C
【详解】对于①，设，该函数的定义域为，
因为，
故函数是周期函数，①对；
对于②，因为函数的最小正周期为，函数的最小正周期为，
若函数是周期函数，设为该函数的一个周期，
则存在非零整数、，使得，，可得，所以，，
因为为无理数，而为有理数，故等式不成立，
所以函数不是周期函数，②错.
故选：C.
12．设函数.已知，且的最小值为，则 .
【答案】8
【详解】由于的最大值为1，结合且的最小值为，
故函数的周期，故,
故答案为：8
13．已知，，则 ．
【答案】
【详解】因为，，
则
故答案为：.
04 三角函数的单调性
14．函数的单调递增区间是 ．
【答案】
【详解】函数，
所以，所以，
所以函数的单调递增区间是，
故答案为：.
15．设，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】，
，
在上单调递增，，即.
故选：C.
16．函数在上单调递减，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【详解】令，故，
所以函数的减区间为，
因为在上为减函数，
故存在，使得，因为，
所以，所以，故，
.则的最大值为.
故选：B.
17．（四川省泸州市2024-2025学年高一下学期期末统一考试数学试题）已知函数在上是增函数，则符合条件的整数的值为 .
【答案】1
【详解】在上是增函数，需，
时，，
故，解得，
又为整数，所以.
故答案为：1
18．设，．若对任意，均存在，使得函数在是单调函数，则的取值可能是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由于这两个函数都是周期为的函数，则下面只考虑在区间上进行分析研究，
因为在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
而题意要求对任意，均存在，使得函数在是单调函数，
所以只需要在区间是单调函数即可，
根据选项可知只需要满足时取值，
故，
根据余弦函数的单调性，若满足，解得，
若满足，解得，
若满足，无解，
故必满足题意，而，则ABC错误；
故选：D．
05 三角函数的奇偶性
19．下列函数中，最小正周期为且是奇函数的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】对于A，的最小正周期为，A不是；
对于B，函数是偶函数，B不是；
对于C，函数最小正周期为且是奇函数，C是；
对于D，是偶函数，D不是.
故选：C
20．已知，且，则= .
【答案】
【详解】依题意，，则，
所以.
故答案为：
21．已知函数是奇函数，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由是奇函数，则是偶函数，
所以，即，
故当时，，
故选：A．
22．若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，且为奇函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，
所以的最小正周期，又，所以，
所以，则，又为奇函数且，
所以，所以，
所以的最小值为．
故选：B．
06 三角函数的对称性
23．写出函数的一个对称中心 ．
【答案】（答案不唯一，）
【详解】函数中，令，解得，
取，则该函数的一个对称中心为.
故答案为：
24．若函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．的最小正周期的最小值为B．的最小正周期的最大值为
C．的最小正周期的最小值为D．的最小正周期的最大值为
【答案】B
【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以，解得.又，所以，
则的最小正周期，所以的最小正周期的最大值为.
故选：B
25．已知函数，若f（x）在区间上不单调，且曲线的一个对称中心是，则ω的最小值是（ ）
A．20B．16C．13D．7
【答案】C
【详解】由条件可知，，得，
当时，，
由条件可知，，得，，且，
综上可知，的最小值为13.
故选：C
26．已知函数的图象关于直线对称，则的取值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【详解】，由题意可得，
解得，当时，.
故选：C
27．，在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（ ）
A．B．C．1D．0
【答案】A
【详解】设的最小正周期为，根据题意有，，
由正弦函数的对称性可知，
即，
又在上单调递增，则，
∴，则，
∵，∴时，，∴，
当时，，
由正弦函数的单调性可知.
故选：A
28．已知函数的图象离原点最近的对称轴为，若满足，则称为“近轴函数”．若函数是“近轴函数”，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】靠近原点的对称轴为，则，即，因为，则其离原点最近的对称轴为，要为近轴函数，则．因为，所以时，时，，所以或解得．
07 三角函数的零点问题
29．（ 2025·北京丰台·二模）已知直线为函数图象的一条对称轴，则满足条件的一个的取值为 ；若在区间上有零点，则的最小值为 ．
【答案】 （答案不唯一） 4
【详解】因为直线为函数图象的一条对称轴，
所以，解得，
又，所以取（答案不唯一）；
若在区间上有零点，令，解得，
由，故且,
又且要求的最小值，故，所以的最小值为；
故答案为：（答案不唯一）；
30．（ 2025·上海·三模）函数的零点个数为
【答案】3
【详解】根据的零点个数转化为与的图象的交点个数，
时，函数取最大值，
时函数的值为，
又因为，结合图象可知，两函数图象具有个交点.
所以的零点个数为个.
故答案为：.
31．已知函数，令在区间上恰有2个零点，则 .
【答案】/
【详解】由函数，且，
因为在区间上恰有2个零点，
可得在上恰有2个实数根，
即在上恰有2个根，
当时，令，
如图所示，画出在时的函数图象，
由图知关于对称，故，即，
解得，且，
因为，
所以.
故答案为：.
32．设为正整数.如果函数在区间内恰有2023个零点，则的值是 .
【答案】1349
【详解】令，，
由解得或，
即或,
根据正弦函数的图象和性质可知，在区间内有个解，，
所以当时，在区间内有2022个零点，
又在区间内有一个解，
综上函数在区间内恰有2023个零点，
故答案为：1349
33．已知函数．
(1)若的最小正周期为，求的单调递增区间；
(2)若在区间上恰有两个零点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意知
，
因为的最小正周期为，且，所以，
解得，所以，
令，
解得，
即的单调递增区间为．
（2）令，得，
当时，，
又在区间上恰有两个零点，即有两解，
所以，
解得，即的取值范围是．
08 三角函数的图象变换
34．要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度
【答案】D
【详解】对于A，将函数的图象向右平移个单位长度得：
的图像，故A错误；
对于B，将函数的图象向左平移个单位长度得：
的图像，故B错误；
对于C，将函数的图象向右平移个单位长度得：
的图像，故C错误；
对于D，将函数的图象向左平移个单位长度得：
的图像，故D正确.
故选：D.
35．已知，现将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若存在，使得函数与图象的对称中心完全相同，则满足题意的的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，
，
要使函数与图象的对称中心完全相同，
则需为奇函数，
所以，，即解得，
因为，
当时，，当时，，
所以满足题意的的个数为2个.
故选：
36．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】因为向左平移个单位长度，
得到，
故选：B.
37．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】依题意，平移后所得解析式为，因此，
解得，当时，，D可以，
不存在整数，使得取，ABC不可以.
故选：D
38．将函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合， 则的最小值为 .
【答案】
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，
得到函数的图象，
因为，
由题意可知，函数的图象与函数的图象重合，
所以，可得，
因为，故当时，取最小值.
故答案为：.
09 图象变换中的最小平移
39．把函数的图象向右平移a个单位长度后得到偶函数的图象，则a的最小正值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意得，
由（）得（），当时，a有最小正值为.
故选：D
40．若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于原点对称，则的最小正值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】函数，则，
由的图象关于原点对称，得，解得，
所以当时，取得的最小正值为.
故选：C
41．若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是 ．
【答案】/
【详解】由题意可得平移后所得函数的解析式为，由于为偶函数，所以,故,
，最小正值为．
故答案为：
10 由图象确定正(余）弦函数的解析式
42．函数的图象的一个最高点坐标为，相邻的一个最低点坐标为，则的值分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意函数的图象的一个最高点坐标为，
相邻的一个最低点坐标为，可得函数最小正周期为，
故，且，
即，将代入得，即，
则，即，结合选项可知，
故选：D
43．（多选）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．函数在上单调递减
D．当时，
【答案】BCD
【详解】由图可知，又过，
所以，解得，
，
所以，即，
又，，则，
对于A，，所以不是函数的对称轴，故A错误；
对于B，，所以的图象关于点对称，故B正确；
对于C，时，，
又在单调递减，
所以函数在上单调递减，故C正确；
对于D，时，，，
，故D正确；
故选：BCD.
44．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．的最小正周期为
C．将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，则曲线的一个对称中心为
D．的图象与直线和线段围成的图形面积为
【答案】ABD
【详解】对于A选项，观察图象，得，即，而，解得，故A正确；
对于B选项，由，且在函数的递增区间内，得，解得，解得，因此，故B正确；
对于C选项，将向左平移个单位后，得曲线C：，故C错误；
对于D选项，画出的图象与直线，线段，如图实线围成区域即为所求，
由于，且的最小正周期为，
结合对称性知，所求区域面积即为矩形ABCD的面积：，故D正确.
故选：ABD.
45．函数（）的图象如图所示，点、分别为图象在内的一个最大值点和最小值点，点是曲线上在段的一个动点；
(1)求的值；
(2)设是坐标原点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由图可知，函数的图象过点，
∴，∴，
∴，，解得，，
∵，∴；
（2）由（1）可得，
在上，，
，
设，；则，
由条件可知与在区间上都是减函数，
所以函数在区间上是减函数，
当时，，当时，，
所以值域为
所以的取值范围是．
46．已知函数的部分图像如图所示:
(1)求函数的表达式；
(2)写出函数所有的对称轴的方程和对称中心的坐标；
(3)当时，求方程的所有根的和.
【答案】(1)；
(2)对称轴方程为，对称中心为；
(3).
【详解】（1）解：由函数的图象，可得，可得，所以，
因为，即，
可得，即，
又因为，可得，所以.
（2）因为，则令，
解得，则其对称轴方程为，
令，解得，则其对称中心为.
（3）由，可得或，
因为，可得，
当时，，设方程的解为，
则，可得；
当时，，则，可得，
综上所述，方程的所有根的和为.
11 三角函数的实际应用
47．如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（ ）
A．
B．
C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点
D．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒
【答案】D
【详解】点到水面的距离与时间之间的关系为，
对于A，依题意，，则，A错误；
对于B，由时，得，即，而，则，B错误；
对于C，，令，得，
解得，则，解得，
即盛水筒出水后至少经过秒可到达最低点，C错误；
对于D，由，得，即，
则，解得，
所以盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒，D正确.
故选：D
48．（ 2025·广西河池·二模）埃菲尔铁塔作为巴黎奥运会标志之一，你可以在铁塔旁看到一段非常特殊的数学方程，它叫做埃菲尔铁塔方程.这个方程不仅仅是一段数学公式，它还代表着法国工程师和建筑师埃菲尔（AlphnseEiffel）对科学和技术的贡献.方程定义：，这个方程中，代表一个给定的角度，则代表在这个角度下埃菲尔铁塔的“高度”（这里的“高度”是方程用于模拟铁塔形状时的一个相对值，并非实际物理高度）.则埃菲尔铁塔最大“高度”值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【详解】
当时，时，.
故选：B
49．（多选）假设某人在出生起180天内的体力、情绪、智力呈周期性变化，它们的变化规律遵循如图所示的正弦型曲线模型：

记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处、均为可向右延伸，则（ ）
A．智力曲线的最小正周期是三个曲线中最大的
B．在出生起180天内，体力共有7次达高峰值
C．第94天时，情绪值小于15
D．第62天时，智力曲线和情绪曲线均处于上升期
【答案】ABD
【详解】由图象，智力曲线的最小正周期是三个曲线中最大的，故A正确；
由图像，体力曲线的最小正周期为天，，所以在出生起180天内，体力共有7次达高峰值，故B正确；
由图像，情绪曲线的最小正周期为天，所以第天情绪值为，第91天情绪值为20，而，所以第天情绪值大于，故C错误；
由图像，智力曲线的最小正周期为天，而，所以第天，智力曲线处于上升期，，所以第天，情绪曲线处于上升期，故D正确.
故选：ABD
50．奉贤中学生物创新实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系：，其中，.随着人工智能的普及，该实验室引进了AI管理系统，可以根据实际需求设定参数和的取值.
(1)若设定，且要求实验室一天的最大温差不超过8℃，求的最大值；
(2)若设定，且要求实验室温度不高于11℃.由两个实验小组分别设定参数如下：①；②，两个小组一天需要降温的时长分别为和.请比较和的大小关系，并进行合理解释.
【答案】(1)4
(2)，合理解释见解析
【详解】（1）当时，，
因为，所以，
所以，所以，
所以，所以，所以的最大值为4.
（2）因为，所以.
①当时，令，即，
所以，解得，，
又，所以，所以.
②当时，，即，
所以，解得，，
又，所以，所以，所以.
解释：函数，
可以由向左平移12个单位得到.从实际意义来看，
可以把前一天中午12点到第二天中午12点看成一天，故需降温时长不变.
1．已知函数，若将曲线向左平移个单位长度后，再向上平移个单位长度得到曲线，若关于的方程在有两个不相等实根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
则
将向左平移个单位，得：
再向上平移个单位，得
当时， 令，则
方程即
作出函数在的图象：
要使有两个解，结合图象可知，解得，
因此，当时，有两个不等实根.
故选：C.

2．设，，为函数的3个相邻零点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，则的最小正周期为，可知，
又因为，可得，
即，且，
且，可知或为的零点，
若为的零点，则，
可得，且，可得，
若为的零点，则，
可得，这与矛盾；
综上所述：.
故选：B.
3．（多选）已知函数，则以下说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的值域为
C．的对称中心为
D．的单调递减区间为
【答案】AD
【详解】，定义域为，
的最小正周期为，故A正确；
的定义域为，值域为，故B错误；
令，则，
的对称中心为，故C错误；
令，则，
的定义域为，的单调递减区间为，故D正确.
故选：AD.
4．已知，函数，，若函数值域为，则 ．
【答案】或.
【详解】，
因为，所以，，
当时，，所以，
所以，所以；
当时，，所以，
所以，所以；
故答案为：或.
5．已知函数，.给出下列四个结论：
①函数是奇函数；
②函数在区间上是增函数；
③函数在区间内恰有3个不同的零点；
④函数的值域为.
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①③④
【详解】函数，，
对于①，，函数是奇函数，①正确；
对于②，，，
而，即，②错误；
对于③，，
，
而，由，得，
当，解得，在内恰有3个不同的零点，③正确；
对于④，当，即时，
，当时，，，即函数的值域为，④正确.
故答案为：①③④
6．某摩天轮最高点距离地面高度米，转盘直径为米，设置有个座舱，每相邻两个乘座舱与旋转中心所成的圆心角均相等，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要分钟，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，在后距离地面的高度，则的函数解析式为 ；在摩天轮转动的一周内，有 距离地面超过米.

【答案】 或
【详解】摩天轮转一周需要分钟，所以周期，又，则，解得，
摩天轮最高点距离地面高度米，则，又转盘直径为120米，
所以摩天轮最低点距离地面高度为米，所以，
由，解得，
所以的函数解析式为，
因为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，所以时，，
则，所以，又，所以，
则.
在摩天轮转动的一周内，距离地面超过米的时间，即，所以，
则，所以，
所以在摩天轮转动的一周内，有分钟距离地面超过米，
故答案为：或；.
7．已知函数的部分图像如图所示，
(1)求解析式；
(2)求函数的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由图可知，∴，∴，∴.
又，∴，∴，∴.
又，∴，，∴.
（2）由（1）知，∴
.
∴当，即时，函数的最大值，最大值为.
8．已知函数的一个零点为．
(1)求c；
(2)当时，若的值域为，求t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题，，
所以.
（2）由（1），
，
因为，所以，
若的值域为，则，解得，
所以的取值范围为.
9．已知函数（，，）的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式及对称中心；
(2)设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）依题意知，，，
所以，又，可得，故函数，
由图象经过点，所以，
可得，所以，，
所以，，又因为，所以，
所以，
令，解得，故对称中心为，.
（2）因为对任意的，，都有，所以.
因为，所以，
所以，所以，
，
令，则，.
对称轴为，所以①，可得，
②，可得，
③，可得，
综上.
1．（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为 ．
【答案】
【详解】由函数在上单调递增，在单调递减，
且，
故函数在上的值域为.
故答案为：.
2．（2023·天津·高考真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：
A选项中，B选项中，
C选项中，D选项中，
排除选项CD，
对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴，
故选：B.
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期D．与的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【详解】A选项，令，解得，即为零点，
令，解得，即为零点，
显然零点不同，A选项错误；
B选项，显然，B选项正确；
C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足，
的对称轴满足，
显然图像的对称轴不同，D选项错误.
故选：BC
4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【答案】C
【详解】因为函数的最小正周期为，
函数的最小正周期为，
所以在上函数有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.
故选：C
5．（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ）
A．8B．6C．4D．3
【答案】C
【详解】函数，
设函数的最小正周期为T，由可得，
所以，即；
又函数在上存在零点，且当时，，
所以，即；
综上，的最小值为4.
故选：C.
6．（2023·北京·高考真题）设函数．
(1)若，求的值．
(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1).
(2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，.
【详解】（1）因为
所以，
因为，所以.
（2）因为，
所以，所以的最大值为，最小值为.
若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；
若选条件②：因为在上单调递增，且，
所以,所以,,
所以，
又因为，所以，
所以，
所以，因为，所以.
所以，；
若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最小值，即.
以下与条件②相同．