2026届高考数学一轮复习考点讲与练 导数与极值、最值问题+高考模拟巩固练习（2份，原卷版+解析版）

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知识点一：极值与最值
1、函数的极值
函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．
求可导函数极值的一般步骤
（1）先确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．
注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点．
2、函数的最值
函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．
导函数为
（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：
（1）求在内的极值（极大值或极小值）；
（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得．
【解题方法总结】
（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则
不等式在区间D上恒成立．
不等式在区间D上恒成立．
（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解
不等式在区间D上有解
（5）对于任意的，总存在，使得；
（6）对于任意的，总存在，使得；
（7）若存在，对于任意的，使得；
（8）若存在，对于任意的，使得；
（9）对于任意的，使得；
（10）对于任意的，使得；
（11）若存在，总存在，使得
（12）若存在，总存在，使得．
题型一：求函数的极值与极值点
【例1】若函数存在一个极大值与一个极小值满足，则至少有（ ）个单调区间.
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式1-1】已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值
C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值
D．函数的最小值为
【变式1-2】已知函数．
(1)证明：当时，有唯一的极值点为，并求取最大值时的值；
(2)当时，讨论极值点的个数．
题型二：根据极值、极值点求参数
【例2】已知函数在处取得极大值4，则（ ）
A．8 B． C．2 D．
【变式2-1】若函数无极值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】已知函数在处取得极小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】函数在区间上存在极值，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2-4】已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【变式2-5】若x＝a是函数的极大值点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型三：求函数的最值（不含参）
【例3】已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值；
【变式3-1】已知函数在区间上最大值为M，最小值为m，则的值是_______.
【变式3-2】已知函数，则的最大值是________．
【变式3-3】已知函数，，则函数的最小值为______.
【变式3-4】已知，且，则的最小值为__________.
【变式3-5】已知正实数，满足：，则的最小值为______.
题型四：求函数的最值（含参）
【例4】已知函数，，其中.
(1)若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，求的值；
(2)若时，求函数的最小值；
(3)若的最小值为，证明：当时，.
【变式4-1】已知函数，其中．
(1)若a=2，求的单调区间；
(2)已知，求的最小值．（参考数据：）
【变式4-2】已知函数．
(1)当时，讨论函数在上的单调性；
(2)当时，求在内的最大值；
题型五：根据最值求参数
【例5】已知函数.
(1)讨论函数的极值点个数；
(2)若，的最小值是，求实数m的所有可能值.
【变式5-1】若函数在区间上存在最小值，则整数的取值可以是______．
【变式5-2】若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为________.
【变式5-3】已知函数的最小值为0，则a的取值范围为______________．
【变式5-4】若函数的最小值为，则______．
【变式5-5】若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为_______
【变式5-6】已知函数，若函数在上存在最小值.则实数的取值范围是________.
题型六：函数单调性、极值、最值得综合应用
【例6】已知，函数，其中e是自然对数的底数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调区间；
(3)求证：函数存在极值点，并求极值点的最小值.
【变式6-1】已知函数，其中．
(1)当时，求函数在内的极值；
(2)若函数在上的最小值为5，求实数的取值范围．
【变式6-2】已知．
(1)求函数在内的极值点；
(2)求函数在上的最值．
【变式6-3】设函数，已知是函数的极值点．
(1)若函数在内单调递减，求实数m的取值范围；
(2)讨论函数的零点个数；
(3)求在内的最值．
题型七：不等式恒成立与存在性问题
【例7】若不等式 对恒成立，则a的取值范围是______.
【变式7-1】若存在，使得不等式成立，则m的取值范围为______
【变式7-2】已知函数，是上的奇函数，当时，取得极值．
(1)求函数的单调区间和极大值；
(2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围；
(3)若对任意，，都有成立，求实数的取值范围．
1．（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·统考高考真题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
3．（2021·全国·统考高考真题）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
第03讲 极值与最值
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）函数的极小值点为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）已知函数，则（ ）
A．有一个极值点
B．有两个零点
C．点（0，1）是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
3．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若在和处有极值，则函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考一模）已知函数的极值点为，函数的最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·河北·校联考模拟预测）已知，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）当时，函数取得最小值，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·内蒙古阿拉善盟·统考一模）已知e是自然对数函数的底数，不等于1的两个正数 m ，t满足，且，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·山东烟台·统考二模）若函数有两个极值点，且，则（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·甘肃兰州·兰化一中校考模拟预测）函数在内有极小值，则的一个可能取值为______．
9．（2023·云南红河·统考二模）若是函数的极小值点，则函数在区间上的最大值为______．
10．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数，，若与中恰有一个函数无极值，则的取值范围是______．
11．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知函数，对于任意，都有，则实数的取值范围为______.
12．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知函数，且f（x）在内有两个极值点（）．
(1)求实数a的取值范围；
(2)求证：．
13．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知函数.
(1)求的极值；
(2)若恒成立，求的取值范围.
14．（2023·四川成都·三模）已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若是函数的极小值点，求的取值范围．
16．（2023·北京房山·统考二模）已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)当时，求函数的最小值；
(3)证明：
17．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）已知．
(1)求在处的切线方程；
(2)若，记为函数g(x)的两个极值点，求的取值范围．
1．（2022•乙卷）函数在区间，的最小值、最大值分别为
A．， B．， C．， D．，
2．（2021•乙卷）设，若为函数的极大值点，则
A． B． C． D．
3．（2022•乙卷）已知和分别是函数且的极小值点和极大值点．若，则的取值范围是 ．
4．（2023•北京）设函数，曲线在点，（1）处的切线方程为．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）设，求的单调区间；
（Ⅲ）求的极值点的个数．
5．（2023•新高考Ⅱ）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若为的极大值点，求的取值范围．