2026届高考数学一轮总复习提能训练练案56抛物线

这是一份2026届高考数学一轮总复习提能训练练案56抛物线，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．(2025·山东济宁模拟)抛物线y＝eq \f(1,4)x2的焦点坐标是( )
A．(1,0) B．(0,1)
C．(2,0) D．(0,2)
[答案] B
[解析] 抛物线的标准方程为x2＝4y，则2p＝4，可得eq \f(p,2)＝1，因此，抛物线y＝eq \f(1,4)x2的焦点坐标为(0,1)．故选B.
2．(2024·安徽皖江名校联考)设抛物线y＝eq \f(1,12)x2上一点P到x轴的距离是1，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．3 B．4
C．7 D．13
[答案] B
[解析] 因为x2＝12y，则准线方程为y＝－3，依题意，点P到该抛物线焦点的距离等于点P到其准线y＝－3的距离，即3＋1＝4.故选B.
3．(2025·江苏南通如皋中学测试)顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为( )
A．x2＝±3y B．y2＝±6x
C．x2＝±12y D．y2＝±12x
[答案] C
[解析] 设抛物线方程为x2＝2py(p>0)或x2＝－2py(p>0)，依题意知eq \f(p,2)＝3，∴p＝6.∴抛物线方程为x2＝±12y.故选C.
4．(2023·北京海淀一模)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于点A，B，线段AB的中点的横坐标为4，则AB长为( )
A．10 B．8
C．5 D．4
[答案] A
[解析] 设AB中点为C，则xC＝4，过A，B，C分别作准线x＝－1的垂线，垂足分别为M，N，D，因为C为AB中点，则易知CD为梯形AMNB的中位线，而|CD|＝xC＋1＝5，所以|AM|＋|BN|＝2|CD|＝10.根据抛物线定义可知|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝10.故选A．
5．(2024·宁夏石嘴山三模)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于两点A、B，交其准线于C，AE与准线垂直且垂足为E，若|BC|＝2|BF|，|AE|＝3，则此抛物线的方程为( )
A．y2＝eq \f(3x,2) B．y2＝9x
C．y2＝eq \f(9x,2) D．y2＝3x
[答案] D
[解析] 如图所示，过点B作准线的垂线，垂足为D，设|BF|＝a，则|BC|＝2|BF|＝2a，|BD|＝|BF|＝a，在直角△BCD中，可得sin∠BCD＝eq \f(|BD|,|BC|)＝eq \f(1,2)，所以∠BCD＝30°，在直角△ACE中，因为|AE|＝3，可得|AC|＝3＋3a，由|AC|＝2|AE|，所以3＋3a＝6，解得a＝1，因为BD∥FG，所以eq \f(1,p)＝eq \f(2a,3a)，解得p＝eq \f(3,2)，所以抛物线方程为y2＝3x.故选D.
6．(2025·宁夏银川一中模拟)抛物线E：x2＝4y与圆M：x2＋(y－1)2＝16交于A、B两点，圆心M(0,1)，点P为劣弧 eq \\ac(AB,\s\up10(︵)) 上不同于A、B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线于点N，则△PMN的周长的取值范围是( )
A．(6,12) B．(8,10)
C．(6,10) D．(8,12)
[答案] B
[解析] 如图，可得圆心M(0,1)也是抛物线的焦点，过P作准线的垂线，垂足为H，根据抛物线的定义，可得MN＝NH故△PMN的周长l＝NH＋NP＋MP＝PH＋4，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝4y，,x2＋y－12＝16，))可得B(2eq \r(3)，3)．PH的取值范围为(4,6)，∴△PMN的周长PH＋4的取值范围为(8,10)．
7．(2025·安徽重点高中联盟校摸底)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2x的焦点为F，eq \(OM,\s\up6(→))＝－eq \(ON,\s\up6(→))＝－2eq \(OF,\s\up6(→))，过点M的直线l与C交于A，B两点，且eq \(MA,\s\up6(→))＝λeq \(MB,\s\up6(→))(00)的焦点，所以eq \f(p,2)＝2，即得p＝4，A选项正确；设M(x0，y0)在y2＝8x上，所以x0≥0，所以|MF|＝x0＋eq \f(p,2)≥eq \f(p,2)＝|OF|，B选项正确；因为以M为圆心且过F的圆半径为|MF|＝x0＋2等于M与C的准线的距离，所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切，C选项正确；当∠OFM＝120°时，x0>2，eq \f(y0,x0－2)＝tan 60°＝eq \r(3)，且yeq \\al(2,0)＝8x0，y0>0，所以eq \r(3)yeq \\al(2,0)－8y0－16eq \r(3)＝0，y0＝4eq \r(3)或y0＝－eq \f(4\r(3),3)舍，所以△OFM的面积为S△OFM＝eq \f(1,2)|OF|×|y0|＝4eq \r(3)，D选项错误．故选ABC.
9．(2024·辽宁鞍山质检)已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线C交于A、B两点，则下列说法正确的是( )
A．若F(1,0)，则l：x＝－eq \f(1,2)
B．若F(1,0)，则弦AB最短长度为4
C．存在以AB为直径的圆与l相交
D．若直线AB：y＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，且A点在x轴的上方，则eq \(AF,\s\up6(→))＝3eq \(FB,\s\up6(→))
[答案] BD
[解析] 若F(1,0)，则eq \f(p,2)＝1⇒p＝2，故l：x＝－eq \f(p,2)＝－1，故A错误；若F(1,0)，则eq \f(p,2)＝1⇒p＝2，则抛物线方程为y2＝4x，设过点F(1,0)的直线方程为x＝ky＋1，联立其与抛物线的方程可得y2－4ky－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Δ＝16k2＋16>0，y1＋y2＝4k，故|AB|＝x1＋x2＋p＝k(y1＋y2)＋4＝4k2＋4≥4，故当k＝0时，此时弦AB最短长度为4，故B正确；设AM⊥l于M，BN⊥l于N，Q为AB中点，HQ⊥l于H，易知|QH|＝eq \f(1,2)(|AM|＋|BN|)＝eq \f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝eq \f(|AB|,2)，故以AB为直径的圆与l相切，故C错误；(或AB的中点为E，设过点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的直线方程为x＝ky＋eq \f(p,2)，联立其与抛物线的方程可得y2－2pky－p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Δ＝4p2k2＋4p2>0，y1＋y2＝2pk，因为Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，故Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(pk2＋\f(p,2)，pk))，则点Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(pk2＋\f(p,2)，pk))到准线l：x＝－eq \f(p,2)的距离为pk2＋p，而eq \f(|AB|,2)＝eq \f(x1＋x2＋p,2)＝eq \f(ky1＋y2＋2p,2)＝eq \f(2pk2＋2p,2)＝pk2＋p，故以AB为直径的圆与l相切，故C错误)联立AB：y＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))与抛物线方程可得3x2－5px＋eq \f(3p2,4)＝0，解得x＝eq \f(3p,2)，或x＝eq \f(p,6)，由于A点在x轴的上方，所以xA＝eq \f(3p,2)，xB＝eq \f(p,6)，故Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3p,2)，\r(3)p))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,6)，－\f(\r(3)p,3)))，又Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，则eq \(AF,\s\up6(→))＝(－p，－eq \r(3)p)，eq \(FB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,3)，－\f(\r(3)p,3)))，所以eq \(AF,\s\up6(→))＝3eq \(FB,\s\up6(→))，D正确．故选BD.
三、填空题
10．(2025·江西部分学校月考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(3,0)，P(2，t)是抛物线C上一点，则|PF|＝________.
[答案] 5
[解析] 由焦点坐标可知eq \f(p,2)＝3，由抛物线定义可知|PF|＝2＋eq \f(p,2)＝5.
11．(2025·广东部分名校摸底)省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥当石拱桥拱顶离水面1.6 m时，水面宽6.4 m，当水面下降0.9 m时，水面的宽度为________米．
[答案] 8
[解析] 建立坐标系如图，设抛物线方程为x2＝ay且a0)的焦点F重合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为________.
[答案] eq \f(4,5)
[解析] 圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为F(1,0)，
故eq \f(p,2)＝1即p＝2，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－12＋y2＝25，,y2＝4x，))
可得x2＋2x－24＝0，故x＝4或x＝－6(舍)，
故A(4，±4)，故直线AF：y＝±eq \f(4,3)(x－1)
即4x－3y－4＝0或4x＋3y－4＝0，
故原点到直线AF的距离为d＝eq \f(|4|,5)＝eq \f(4,5).
13．(2025·广东六校联考)已知圆x2＋y2＝4与抛物线y2＝2px(p>0)的准线交于A，B两点，若|AB|＝2eq \r(3)，则p＝________.
[答案] 2
[解析] 由抛物线y2＝2px(p>0)的准线为l：x＝－eq \f(p,2)，圆x2＋y2＝4的圆心为O(0,0)，半径r＝2，则圆心O到准线l的距离d＝eq \f(p,2)，则|AB|＝2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(4－\f(p2,4))＝2eq \r(3)，解得p＝2.
四、解答题
14．(2025·河南五育联盟综合测试)已知曲线M上的任意一点到点(1,0)的距离比它到直线x＝－2的距离小1.
(1)求曲线M的方程；
(2)设点E(0,1)．若过点A(2,1)的直线与曲线M交于B，C两点，求△EBC的面积的最小值．
[解析] (1)由已知得，曲线M上的任意一点到点(1,0)的距离与它到直线x＝－1的距离相等，
所以曲线M的轨迹是以(1,0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线，
所以曲线M的方程为y2＝4x.
(2)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
显然，过点A(2,1)的直线BC斜率不为0，设其方程为x＝my＋2－m，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋2－m，,y2＝4x，))整理得y2－4my＋4(m－2)＝0，
其中Δ＝16m2－16(m－2)＝16(m2－m＋2)＝16eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－\f(1,2)))2＋28>0，
由韦达定理得：y1＋y2＝4m，y1y2＝4(m－2)，
所以△EBC的面积S＝eq \f(1,2)×|EA|×|y1－y2|＝|y1－y2|＝eq \r(y1＋y22－4y1y2)＝eq \r(16m2－16m－2)＝4eq \r(m2－m＋2)＝4eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－\f(1,2)))2＋\f(7,4))，
当m＝eq \f(1,2)时，Smin＝4eq \r(\f(7,4))＝4×eq \f(\r(7),2)＝2eq \r(7)，
所以△EBC的面积的最小值为2eq \r(7).
B组能力提升
1．(2024·湖北孝感重点中学模拟)设P为抛物线C：y2＝4x上的动点，A(2,4)关于P的对称点为B，记P到直线x＝－1，x＝－3的距离分别为d1，d2，则d1＋d2＋|AB|的最小值为( )
A．2eq \r(17)＋2 B．2eq \r(13)＋2
C．eq \r(17)＋2 D．eq \r(13)＋eq \r(17)＋2
[答案] A
[解析] 由题意知d2＝d1＋2，因为A(2,4)关于P的对称点为B，所以|PA|＝|PB|，所以d1＋d2＋|AB|＝2d1＋2＋2|PA|＝2(d1＋|PA|)＋2＝2(|PF|＋|PA|)＋2≥2|AF|＋2＝2eq \r(17)＋2，所以当P在线段AF上时，d1＋d2＋|AB|取得最小值，且最小值为2eq \r(17)＋2.
2．(2025·广东部分学校质检)抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，则|AF|＋4|BF|的最小值为( )
A．5 B．9
C．8 D．10
[答案] B
[解析] 解法一：由题意可知F(1,0)，
设lAB：x＝ky＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立直线AB与抛物线方程
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,x＝ky＋1，))⇒y2－4ky－4＝0⇒y1y2＝－4，
所以x1x2＝eq \f(y\\al(2,1),4)·eq \f(y\\al(2,2),4)＝1，
而|AF|＋4|BF|＝x1＋1＋4(x2＋1)＝x1＋4x2＋5≥2eq \r(x1·4x2)＋5＝9，
当且仅当x1＝2，x2＝eq \f(1,2)时取得等号．故选B.
解法二：由抛物线焦点弦性质可得eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)＝1，
∴|AF|＋4|BF|＝(|AF|＋4|BF|)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,|AF|)＋\f(1,|BF|)))
＝5＋eq \f(|AF|,|BF|)＋eq \f(4|BF|,|AF|)≥5＋2eq \r(\f(|AF|,|BF|)·\f(4|BF|,|AF|))＝9.
(当且仅当|AF|＝2|BF|＝3时取等号，即|AF|＋4|BF|的最小值为9.故选B.)
3．(多选题)(2025·广西钦州示范性高中开学考试)过抛物线y2＝4x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点，过点A作抛物线的切线PA，则下列说法正确的是( )
A．|AB|的最小值为4
B．当eq \(AF,\s\up6(→))＝3eq \(FB,\s\up6(→))时，|AB|＝eq \f(10,3)
C．以线段AB为直径的圆与直线x＝－1相切
D．当|AB|最小时，切线PA与准线的交点坐标为(－1,0)
[答案] ACD
[解析] 依题意可设直线AB的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
则x1>0，x2>0，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋1，,y2＝4x，))消x整理得y2－4my－4＝0，
则y1y2＝－4，代入y2＝4x得x1x2＝1，
则|AB|＝x1＋x2＋2＝x1＋eq \f(1,x1)＋2≥2eq \r(x1·\f(1,x1))＋2＝4，当且仅当x1＝x2＝1时取等号，
所以|AB|的最小值为4，故A正确；
结合A可得eq \(AF,\s\up6(→))＝(1－x1，－y1)，eq \(FB,\s\up6(→))＝(x2－1，y2)，
由eq \(AF,\s\up6(→))＝3eq \(FB,\s\up6(→))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x1＝3x2－1，,－y1＝3y2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝3，,x2＝\f(1,3)，))
|AB|＝x1＋x2＋2＝eq \f(16,3)，故B错误；
由题意得抛物线的准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)，
设A，B，M在准线上的射影为A′，B′，M′，
则|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|MM′|＝eq \f(1,2)(|AA′|＋|BB′|)＝eq \f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝eq \f(1,2)|AB|，
所以以线段AB为直径的圆与直线x＝－1相切，故C正确；
结合A可得，当|AB|最小时，不妨取A(1,2)，
则可设切线PA的方程为x＝n(y－2)＋1，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ny－2＋1，,y2＝4x，))，
消x整理得y2－4ny＋8n－4＝0，
则Δ＝16n2－4(8n－4)＝0，解得n＝1，所以切线PA的方程为x＝y－1，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝y－1，,x＝－1，))解得x＝－1，y＝0，即切线PA与准线的交点坐标为(－1,0)，故D正确．
4．(2024·宁夏银川一中模拟)斜率为k的直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝9相切于点M，且M为线段AB的中点，则k＝________.
[答案] ±eq \f(2\r(5),5)
[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝2x0，,y1＋y2＝2y0，))又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝4x1，,y\\al(2,2)＝4x2，))
两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，
则k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(4,y1＋y2)＝eq \f(2,y0).
设圆心为C(5,0)，则kCM＝eq \f(y0,x0－5)，
因为直线l与圆相切，所以eq \f(2,y0)·eq \f(y0,x0－5)＝－1，
解得x0＝3，代入(x－5)2＋y2＝9
得y0＝±eq \r(5)，k＝eq \f(2,y0)＝eq \f(2,±\r(5))＝±eq \f(2\r(5),5).
5．双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,3)＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴垂直的直线交双曲线C于A、B两点，△F1AB的面积为12，抛物线E：y2＝2px(p>0)以双曲线C的右顶点为焦点．
(1)求抛物线E的方程；
(2)如图，点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(P,2)，t))(t≠0)为抛物线E的准线上一点，过点P作y轴的垂线交抛物线于点M，连接PO并延长交抛物线于点N，求证：直线MN过定点．
[解析] (1)设F2(c,0)(c>0)，则c＝eq \r(a2＋3)，
令x＝c代入C的方程有|yA|＝eq \f(3,a)，
∴S△F1AB＝eq \f(1,2)×2c×2|yA|＝eq \f(6\r(a2＋3),a)＝12，
∴a＝1，故eq \f(p,2)＝a＝1，即p＝2，
∴抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)证明：由(1)知：P(－1，t)(t≠0)，则Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t2,4)，t))，
直线PO的方程为y＝－tx，代入抛物线E的方程有Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,t2)，－\f(4,t)))，
当t2≠4时，kMN＝eq \f(t＋\f(4,t),\f(t2,4)－\f(4,t2))＝eq \f(4t,t2－4)，
∴直线MN的方程为y－t＝eq \f(4t,t2－4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(t2,4)))，
即y＝eq \f(4t,t2－4)(x－1)，
∴此时直线MN过定点(1,0)，
当t2＝4时，直线MN的方程为x＝1，
此时仍过点(1,0)即直线MN过定点．
C组拓展应用(选作)
(2025·山西大学附中开学考)在直角坐标系xOy中，抛物线x2＝4y与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点．
(1)若M点的横坐标为4，求抛物线在M点处的切线方程；
(2)探究y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)由已知，得M(4,4)，因为y＝eq \f(1,4)x2，所以y′＝eq \f(1,2)x，斜率k＝eq \f(1,2)×4＝2，
因此，切线方程为y－4＝2(x－4)，即2x－y－4＝0.
(2)存在符合题意的点P(0，－a)，理由如下：
设点P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.
联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋a，,y＝\f(x2,4)，))得x2－4kx－4a＝0，
因为a>0，则Δ＝16k2＋16a>0，
可得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a，
从而k1＋k2＝eq \f(y1－b,x1)＋eq \f(y2－b,x2)＝eq \f(kx1＋a－b,x1)＋eq \f(kx2＋a－b,x2)
＝eq \f(2kx1x2＋a－bx1＋x2,x1x2)＝eq \f(－8ka＋4ka－b,－4a)＝eq \f(ka＋b,a)，
因为k不恒为0，可知当且仅当b＝－a时，恒有k1＋k2＝0，
则直线PM与直线PN的倾斜角互补，
故∠OPM＝∠OPN，
所以点P(0，－a)符合题意．