2026届高考数学一轮总复习提能训练练案50圆的方程直线与圆的位置关系

这是一份2026届高考数学一轮总复习提能训练练案50圆的方程直线与圆的位置关系，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．(2025·湖北云学名校联盟调研)如果直线ax＋by＝4与圆x2＋y2＝4有两个不同的交点，那么点P(a，b)与圆的位置关系是( )
A．P在圆外
B．P在圆上
C．P在圆内
D．P与圆的位置关系不确定
[答案] A
[解析] 由题意得eq \f(|－4|,\r(a2＋b2))4，所以点(a，b)在圆外，故选A．
2．(2025·山西临汾模拟)已知直线l过圆x2－2x＋y2＝0的圆心，且与直线2x＋y－3＝0垂直，则l的方程为( )
A．x－2y＋1＝0 B．x＋2y－1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x－2y－1＝0
[答案] D
[解析] 由x2－2x＋y2＝0⇒(x－1)2＋y2＝1，所以圆心坐标为(1,0)，因为直线2x＋y－3＝0的斜率为－2，所以与直线2x＋y－3＝0垂直的直线l的斜率为eq \f(1,2)，所以l的方程为：y＝eq \f(1,2)(x－1)，即x－2y－1＝0，故选D.
3．(2024·河南洛阳期中)如图，一座圆拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽12米，则当水面下降1米后，水面宽为( )
A．eq \r(19)米 B．eq \r(51)米
C．2eq \r(19)米 D．2eq \r(51)米
[答案] D
[解析] 如图建立直角坐标系，则拱圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2，又B(6,0)，C(0,2)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(36＋b2＝r2，,b－22＝r2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝－8，,r2＝100，))∴拱圆方程为x2＋(y＋8)2＝100，当y＝－1时，x＝±eq \r(51)，∴水面宽为2eq \r(51).故选D.
4．已知直线3x＋4y－4＝0与圆C相切于点T(0,1)，圆心C在直线x－y＝0上，则圆C的方程为( )
A．(x－3)2＋(y－3)2＝13
B．(x－3)2＋(y＋3)2＝25
C．(x＋3)2＋(y－3)2＝13
D．(x＋3)2＋(y＋3)2＝25
[答案] D
5．(2024·湘豫名校联考)已知直线l：y＝2eq \r(2)x＋b与圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝9相切，则实数b＝( )
A．8－2eq \r(2)或－10－2eq \r(2)
B．－11或9
C．11或－9
D．－8＋2eq \r(2)或10＋2eq \r(2)
[答案] A
[解析] 依题知圆心C(1，－1)，半径为3，则eq \f(|2\r(2)－－1＋b|,\r(2\r(2)2＋－12))＝3，解得b＝8－2eq \r(2)或b＝－10－2eq \r(2).故选A．
6．(2024·江苏常州一中调研)点(x，y)在曲线y＝eq \r(4－x2)－2上，则|3x－4y＋4|的取值范围为( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，\f(18,5))) B．[2,18]
C．[1,9] D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，\f(9,5)))
[答案] B
[解析] 如图，曲线y＝eq \r(4－x2)－2为圆x2＋(y＋2)2＝4的上半圆，圆心A(0，－2)，半径为2，B(2，－2)，
令3x－4y＝t，则当直线l：3x－4y－t＝0过点B(2，－2)时，t＝14；
当直线l与半圆相切时eq \f(|t－8|,\r(32＋42))＝2(t0)，则圆的半径为a.故圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2，再把点(2,0)代入得(2－a)2＋(0－a)2＝a2，解得a＝2，故圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4，故所求圆的圆心为(2,2)，故圆心到直线2x＋y－11＝0的距离d＝eq \f(|2×2＋2－11|,\r(22＋12))＝eq \r(5).故选D.
8．(2024·河南郑州外国语学校月考)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A．－eq \f(5,3)或－eq \f(3,5) B．－eq \f(3,2)或－eq \f(2,3)
C．－eq \f(5,4)或－eq \f(4,5) D．－eq \f(4,3)或－eq \f(3,4)
[答案] D
[解析] 圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为C(－3，2)，半径r＝1.如图，作出点A(－2，－3)关于y轴的对称点B(2，－3)．由题意可知，反射光线的反向延长线一定经过点B.设反射光线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y－(－3)＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切可得eq \f(|k－3－2－2k－3|,\r(1＋k2))＝1，即|5k＋5|＝eq \r(1＋k2)，整理得12k2＋25k＋12＝0，即(3k＋4)(4k＋3)＝0，解得k＝－eq \f(4,3)或k＝－eq \f(3,4)，故选D.
9．(2025·湖北武汉江夏一中、汉阳一中联考)若圆x2＋y2＋4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2eq \r(2)，则直线l的斜率的取值范围是( )
A．[2－eq \r(3)，2＋eq \r(3)] B．[－2－eq \r(3)，－2＋eq \r(3)]
C．[－2－eq \r(3)，2＋eq \r(3)] D．[－2－eq \r(3)，2－eq \r(3)]
[答案] B
[解析] 根据题意，圆x2＋y2＋4x－4y－10＝0的标准方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝18，其圆心为(－2,2)，半径r＝3eq \r(2)，若圆x2＋y2＋4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2eq \r(2)，则圆心(－2,2)到直线l的距离d≤3eq \r(2)－2eq \r(2)＝eq \r(2)，直线l：ax＋by＝0的斜率k＝－eq \f(a,b)，∴直线l：kx－y＝0，则有eq \f(|2＋2k|,\r(1＋k2))≤eq \r(2)，解得－2－eq \r(3)≤k≤－2＋eq \r(3)，故选B.
二、多选题
10．(2025·贵州贵阳摸底)在同一平面直角坐标系中，直线mx－y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的位置可能为( )
[答案] ABD
[解析] 直线mx－y＋1＝0过定点(0,1)，显然点(0,1)在圆x2＋y2＝2内，因此直线mx－y＋1＝0与圆x2＋y2＝2必相交，C错误；而直线mx－y＋1＝0表示平面内过点(0,1)的除直线x＝0外的任意直线，因此选项ABD都可能．故选ABD.
11．(2025·湖南部分学校联考)已知直线l：(m＋1)x＋2y＋2m－2＝0与圆C：x2＋y2－2y－8＝0，则( )
A．直线l与圆C一定相交
B．直线l过定点(－2,2)
C．圆心C到直线l距离的最大值是2eq \r(2)
D．使得圆心C到直线l的距离为2的直线l有2条
[答案] AB
[解析] 由题意可知直线l过定点A(－2,2)，圆心C的坐标为(0,1)，半径为3，则点A在圆C内，从而直线l与圆C一定相交，故A，B正确；设圆心C到直线l的距离为d，则d≤|AC|＝eq \r(5)，则C错误；因eq \f(|2m|,\r(m＋12＋4))＝2得m＝－eq \f(5,2)，所以使得圆心C到直线l的距离为2的直线l有且仅有1条，则D错误．
三、填空题
12．(2024·广东摸底联考)已知直线l：4x－3y－4＝0，请写出一个满足以下条件的圆M的方程____________.
①圆M与x轴相切；
②圆M与直线l相切；
③圆M的半径为2.
[答案] x2＋(y－2)2＝4或(x－5)2＋(y－2)2＝4或(x－2)2＋(y＋2)2＝4或(x＋3)2＋(y＋2)2＝4(写出其中的一个即可)
[解析] 当圆心为M(a,2)时，圆M与直线l相切，即eq \f(|4a－10|,\r(42＋32))＝2，解得a＝0或a＝5.当圆心为M(a，－2)时，圆M与直线l相切，即eq \f(|4a＋2|,\r(42＋32))＝2，解得a＝2或a＝－3.所以圆的方程为x2＋(y－2)2＝4或(x－5)2＋(y－2)2＝4或(x－2)2＋(y＋2)2＝4或(x＋3)2＋(y＋2)2＝4.
13．(2023·广东佛山模拟)已知点A(1,0)，B(3,0)，若eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝2，则点P到直线l：3x－y＋4＝0的距离的最小值为____________.
[答案] eq \r(10)－eq \r(3)
[解析] 设点P的坐标为(x，y)，
∴eq \(PA,\s\up6(→))＝(1－x，－y)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(3－x，－y)，
∵eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝2，∴(x－2)2＋y2＝3，
即P的轨迹是以(2,0)为圆心，半径为eq \r(3)的圆，点(2,0)到直线l的最短距离为eq \r(10)，则可得点P到直线l的距离的最小值为eq \r(10)－eq \r(3).
14．(2022·新课标Ⅱ卷)设点A(－2,3)，B(0，a)，直线AB关于直线y＝a的对称直线为l，已知l与圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围为____________.
[答案] eq \f(1,3)≤a≤eq \f(3,2)
[解析] 因为kAB＝eq \f(a－3,2)，所以直线AB关于直线y＝a的对称直线为(3－a)x－2y＋2a＝0，由题意得eq \f(|3a－3＋4＋2a|,\r(4＋3－a2))≤1，整理解得eq \f(1,3)≤a≤eq \f(3,2).
四、解答题
15．(2024·河南许昌中学定位考试)已知圆C过点M(0，－2)，N(3,1)，且圆心C在直线x＋2y＋1＝0上．
(1)求圆C的方程；
(2)设直线ax－y＋1＝0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)解法一：∵kMN＝1，
∴MN中垂线的方程为y＋eq \f(1,2)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))，
即x＋y－1＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－1＝0，,x＋2y＋1＝0，))得C(3，－2)，又r2＝|CM|2＝9，
∴圆C的方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝9，
即x2＋y2－6x＋4y＋4＝0.
解法二：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)－E＋1＝0，,4－2E＋F＝0，,10＋3D＋E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－6，,E＝4，,F＝4，))
所以圆C的方程为x2＋y2－6x＋4y＋4＝0.
(2)不存在这样的实数a，使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB.
理由如下：假设符合条件的实数a存在．
由(1)得圆心C为(3，－2)，因为直线l垂直平分弦AB，
所以圆心C(3，－2)必在直线l上，
所以直线l的斜率kPC＝－2.
又kAB＝a＝－eq \f(1,kPC)，所以a＝eq \f(1,2).
又圆C的半径r＝3，圆心C到直线eq \f(1,2)x－y＋1＝0的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋2＋1)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋1))＝eq \f(9\r(5),5)>3，
所以不存在这样的实数a，使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB.
B组能力提升
1．(2023·贵州铜仁适应性考试)过A(0,1)、B(0,3)两点，且与直线y＝x－1相切的圆的方程可以是( )
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝2
B．(x－2)2＋(y－2)2＝5
C．(x－1)2＋(y－2)2＝2
D．(x＋2)2＋(y－2)2＝5
[答案] C
[解析] 因为A(0,1)，B(0,3)，则线段AB的垂直平分线所在直线的方程为y＝2，设圆心为C(t,2)，则圆C的半径为r＝eq \f(|t－2－1|,\r(2))＝eq \f(|t－3|,\r(2))，又因为r＝|AC|＝eq \r(t2＋2－12)＝eq \r(t2＋1)，所以eq \f(|t－3|,\r(2))＝eq \r(t2＋1)，整理可得t2＋6t－7＝0，解得t＝1或t＝－7，当t＝1时，r＝|AC|＝eq \r(2)，此时圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2；当t＝－7时，r＝|AC|＝5eq \r(2)，此时圆的方程为(x＋7)2＋(y－2)2＝50.综上所述，满足条件的圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2或(x＋7)2＋(y－2)2＝50.故选C．
2．(2025·湖北八校联考)已知点A(－1,0)，B(0,3)，点P是圆(x－3)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最小值为( )
A．6 B．eq \f(11,2)
C．eq \f(9,2) D．6－eq \f(\r(10),2)
[答案] D
[解析] 两点A(－1,0)，B(0,3)，则|AB|＝eq \r(－12＋32)＝eq \r(10)，直线AB方程为y＝3x＋3，圆(x－3)2＋y2＝1的圆心C(3,0)，半径r＝1，点C到直线AB：3x－y＋3＝0的距离d＝eq \f(|12|,\r(32＋－12))＝eq \f(6\r(10),5)，因此点P到直线AB距离的最小值为d－r＝eq \f(6\r(10),5)－1，所以△PAB面积的最小值是eq \f(1,2)×eq \r(10)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6\r(10),5)－1))＝6－eq \f(\r(10),2).故选D.
3．(2024·江西稳派上进名校联盟联考)“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点P(x，y)是阴影部分(包括边界)的动点，则eq \f(y,x－2)的最小值为( )
A．－eq \f(2,3) B．－eq \f(3,2)
C．－eq \f(4,3) D．－1
[答案] C
[解析] 记A(2,0)，则k＝eq \f(y,x－2)为直线AP的斜率，故当直线AP与半圆x2＋(y－1)2＝1(x>0)相切时，得k最小，此时设AP：y＝k(x－2)，故eq \f(|－1－2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq \f(4,3)或k＝0(舍去)，即kmin＝－eq \f(4,3).故选C．
4．(2025·江苏常州调研)已知点P在直线y＝－x－3上运动，M是圆O：x2＋y2＝1上的动点，N是圆C：(x－9)2＋(y－2)2＝16上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．13 B．11
C．9 D．8
[答案] D
[解析] 根据圆的性质可得|PM|＋|PN|≥|PO|＋|PC|－5，又O(0,0)关于直线y＝－x－3的对称点为G(－3，－3)，C(9,2)，|PM|＋|PN|≥|GC|－5＝eq \r(9＋32＋2＋32)－5＝8，当P，G，C三点共线时，等号成立．故选D.
5．(2025·江苏南京外国语学校调研)已知圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，若直线y＝kx＋5上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为60°，则实数k的取值范围是____________.
[答案] k≥0或k≤－eq \f(8,15)
[解析] 圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，则圆心为C(－1,1)，半径r＝2，设两切点为A，B，则|PA|＝|PB|，因为∠APB＝60°，在Rt△PAC中∠APC＝eq \f(1,2)∠APB＝30°，|AC|＝r＝2，所以|PC|＝4，因此只要直线l上存在点P，使得|PC|＝4即可满足题意．圆心C(－1,1)，所以圆心到直线的距离d＝eq \f(|－k－1＋5|,\r(k2＋1))≤4，解得k≥0或k≤－eq \f(8,15).
C组拓展应用(选作)
(2024·天津五所重点高中联考)已知圆C经过点A(1,3)和B(5,1)，且圆心C在直线x－y＋1＝0上．
(1)求圆C的方程；
(2)设直线l经过点(0,3)，且l与圆C相切，求直线l的方程；
(3)P为圆上任意一点，在(1)的条件下，求(x＋1)2＋(y＋2)2的最小值．
[解析] (1)因为圆心C在直线x－y＋1＝0上，
所以设圆C的圆心C(a，a＋1)，半径为r(r>0)，
所以圆的方程为(x－a)2＋(y－a－1)2＝r2，
因为圆C经过点A(1,3)和B(5,1)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－a2＋3－a－12＝r2，,5－a2＋1－a－12＝r2，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a2－6a＋5＝r2，,2a2－10a＋25＝r2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5，,r＝5，))
所以圆C的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝25.
(2)由题意设直线l的方程为y＝kx＋3或x＝0，
当l的方程为x＝0时，验证可知l与圆C相切；
当l的方程为y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0时，
圆心C到直线l的距离为d＝eq \f(|5k－6＋3|,\r(k2＋1))＝5，
解得k＝－eq \f(8,15)，
所以l的方程为y＝－eq \f(8,15)x＋3，即8x＋15y－45＝0.
所以直线l的方程为x＝0或8x＋15y－45＝0.
(3)由(1)知圆心为C(5,6)，半径为5，
则圆心与点(－1，－2)的距离为d＝eq \r(62＋82)＝10，
因为(x＋1)2＋(y＋2)2可以看作圆上任意一点P(x，y)与点(－1，－2)的距离的平方，
所以(x＋1)2＋(y＋2)2的最小值为(10－5)2＝25.