九年级数学上册第一学期期末综合测试卷（沪科版 24秋）

这是一份九年级数学上册第一学期期末综合测试卷（沪科版 24秋），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．tan 30°的值等于( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(3),2) C．1 D.eq \r(3)
2．抛物线y＝2(x＋9)2－3的顶点坐标是( )
A．(9，3) B．(9，－3) C．(－9，3) D．(－9，－3)
3. [母题：教材P71练习T4 ]如图，直线AD∥BE∥CF，DE＝2， EF＝4.若AC＝9，则BC的长为( )
A．5 B．5.5 C．6 D．6.5
4. 2023年9月，占地约3.23平方千米的合肥园博园正式对外全面开放，主办方精心筹建的舞台展区深受广大游客的青睐，其中某两个展区入口之间的距离为155米，在一张比例尺为1：2 000的导游图上，它们之间的距离大约相当于( )
A．一支粉笔的长度 B．数学课本的长度
C．一把家用扫帚的长度 D．课桌的宽度
5．[母题：教材P85习题T5 ]如图，已知△ABC∽△ADB，点D是AC的中点，AC＝4，则AB的长为( )
A．2 B．4 C．2 eq \r(2) D．4 eq \r(2)
6.雁门关，位于山西省忻州市雁门山中，是长城上的重要关隘，以“险”著称，被誉为“中华第一关”．由于地理环境特殊，行车高速路上的隧道较多，如图①是雁门关隧道，其截面为抛物线型，如图②为截面示意图，线段OA表示水平的路面，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．经测量OA＝10 m，抛物线的顶点P到OA的距离为9 m，则抛物线的函数表达式为( )
A．y＝－eq \f(1,9)(x＋5)2 B．y＝－eq \f(1,25)(x－5)2
C．y＝－eq \f(1,25)(x＋5)2＋9 D．y＝－eq \f(9,25)(x－5)2＋9
7．如图，在平面直角坐标系中，一块墨迹遮挡了横轴的位置，只留下部分纵轴和部分正方形网格，该网格的每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点．若格点A，B在函数y＝eq \f(k,x)(x>0)的图象上，则k的值为( )
A．6 B．12
C．24 D．48
8. 如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，若Rt△ABC是“好玩三角形”且∠A＝90°，则tan∠ABC＝( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(3),2)或eq \f(2 \r(3),3) D.eq \f(\r(3),2)或eq \f(\r(3),3)
9．已知反比例函数y＝eq \f(k,x)与一次函数 y＝－x＋b 的部分图象如图所示，则函数 y＝x2－bx＋k－1 的大致图象为( )

10．如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论一定正确的是( )
A．若BP＝1，则OE＝2 B．若BP＝1，则OQ＝eq \f(13,5)
C．OA2＝OE·OP D．OQ2＝OA·OF
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．已知△ABC中，∠A＝90°，tan B＝eq \f(1,2)，则sin C＝________．
12.如图，抛物线y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以AC为对角线的正方形ABCD的另外两个顶点B，D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形ABCD为它的内接正方形．当抛物线y＝－eq \f(1,4)x2＋k是“美丽抛物线”时，k＝________．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x与双曲线y＝eq \f(k,x)交于点A，B，C分别是x轴，y轴上的点，且∠BAC＝90°，若四边形OBAC的面积为5，则k＝________．
14．[易错题]如图，在正方形ABCD中，AB＝4，M为BC的中点，点N在射线AD上，过点N作NE⊥AM于点E，连接MN，请探究下列问题：
(1)eq \f(AE,AN)＝________；
(2)当△MEN与△ABM相似时，AN＝________．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．计算：2sin 60°－3tan 30°－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))eq \s\up12(0)＋(－1)2 025.
16．如图，△ABC的顶点都在网格点上，点A的坐标为(－1，3)．
(1)以点O为位似中心，把△ABC按2：1放大，在y轴的左侧，画出放大后的△DEF；
(2)点A的对应点D的坐标是________；
(3)S△ABO：S四边形ABED＝________．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．[2024·合肥市包河区模拟]如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴，y轴的交点分别为(1，0)和(0，－3)．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)结合函数图象，直接写出当y＞－3时，x的取值范围．
18．如图，F为四边形ABCD的边CD上的一点，连接AF并延长，交BC的延长线于点E，已知∠DAE＝∠E.
(1)求证：△ADF∽△ECF；
(2)若CF＝2，AF＝2EF，求DC的长．
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图，直线y1＝－x＋4，y2＝eq \f(3,4)x＋b都与双曲线y＝eq \f(k,x)交于点A(1，m)，这两条直线分别与x轴交于B，C两点．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)直接写出当x＞0时，不等式－x＋4>eq \f(k,x)的解集；
(3)若点P在x轴上，连接AP，AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．
20.为了预防近视，要求学生写字姿势应保持“一尺、一拳、一寸”，即眼睛与书本距离约为一尺(约33 cm)，胸前与课桌距离约为一拳，握笔的手指与笔尖距离约为一寸．如图，BD为桌面，某同学眼睛P看作业本A的俯角为50°，身体离书桌的距离BC＝9 cm，眼睛到桌面的距离PC＝20 cm.
(1)通过计算，请判断这位同学的眼睛与作业本的距离是否符合要求；
(2)为确保符合要求，需将作业本沿BA方向移动．当眼睛P看作业本A的俯角为37°时，求作业本移动的距离．(参考数据：sin 50°≈0.77，cs 50°≈0.64，tan 50°≈1.19，sin 37°≈0.60，cs 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，结果精确到0.1)
六、(本题满分12分)
21.阅读以下材料，解答问题．
规定：两个函数y1，y2的图象关于x轴对称，则称这两个函数互为“x函数”，例如：函数y1＝2x＋2与y2＝－2x－2的图象关于x轴对称，则这两个函数互为“x函数”．
(1)若二次函数y1与二次函数y＝x2－2x＋3互为“x函数”，则二次函数y1的表达式为____________；
(2)若二次函数y2与二次函数y＝kx2＋4x＋k－2(k为非零常数)互为“x函数”，且二次函数y＝kx2＋4x＋k－2的最大值为1，请求出二次函数y2的表达式．
七、(本题满分12分)
22. [2023·合肥市瑶海区期中]如图，在锐角三角形ABC中，CE⊥AB于点E，点D在边AC上，连接BD交CE于点F，且EF·FC＝FB·DF.
(1)求证：BD⊥AC；
(2)求证：△AEC∽△FEB；
(3)连接AF，已知EF：BE＝3：5，求AF：BC.
八、(本题满分14分)
23. 如图①所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立如图②所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线y＝a(x－20)2＋k的一部分，山坡OA上有一堵防御墙，其竖直截面为四边形ABCD，墙宽BC＝ 2米，BC与x轴平行，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米．
(1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10米，
①求抛物线的表达式；
②试通过计算说明石块能否飞越防御墙；
(2)若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上(包括端点B，C)，求a的取值范围．
答案
一、1．A 2．D 3．C 4．A 5．C 6．D
7．B 【点拨】根据图象可知，点A的横坐标为2，点B的横坐标为4，设点A的坐标为(2，m)，则点B的坐标为(4，m－3)．
∵点A，B在函数y＝eq \f(k,x)(x>0)的图象上，
∴4(m－3)＝2m，解得m＝6，
∴点A的坐标为(2，6)，∴k＝2×6＝12.
8．C 【点拨】①如图①.
在Rt△ABC中，∠A＝90°，CE是△ABC的中线，
设AB＝EC＝2a，则AE＝a，∴AC＝eq \r(3)a，
∴tan∠ABC＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(\r(3),2).
②如图②.
在Rt△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的中线，
设EB＝AC＝2a，则AE＝a，∴AB＝eq \r(3)a，
∴tan∠ABC＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(2eq \r(3),3)．
综上所述，tan∠ABC＝eq \f(eq \r(3),2)或eq \f(2eq \r(3),3)．

9．B 【点拨】∵一次函数y＝－x＋b的图象经过第一、二、四象限，且与y轴交于正半轴，反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象经过第一、三象限，∴b>0，k>0，
∴函数 y＝x2－bx＋k－1 的图象开口向上，对称轴为直线
x＝eq \f(b,2)>0.
∵反比例函数y＝eq \f(k,x)与一次函数 y＝－x＋b 的图象有两个交点，
∴方程eq \f(k,x)＝－x＋b 有两个不相等的实数根，
即方程x2－bx＋k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2－4k＞0，
∴对于方程x2－bx＋k－1＝0 ，Δ＝b2－4k＋4＞0，
∴函数 y＝x2－bx＋k－1 的图象与x轴有两个交点．
10．B 【点拨】易知AB＝BC＝AD＝3，∠DAB＝∠ABC＝∠ADC＝90°.∵BP＝CQ＝1，∴AP＝BQ＝4.
在Rt△APD中，AD＝3，AP＝4，∴PD＝5.
∵正方形ABCD中，AD∥BC，∴△PBE∽△PAD，
∴eq \f(PB,PA)＝eq \f(BE,AD)，∴eq \f(1,4)＝eq \f(BE,3)，
∴BE＝eq \f(3,4)，∴QE＝eq \f(13,4).
在△DAP与△ABQ中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AD＝BA，,∠DAP＝∠ABQ，,AP＝BQ，))
∴△DAP≌△ABQ，∴∠P＝∠Q.
∵AD∥BC，，∴∠ADP＝∠OEQ，∴△QOE∽△PAD，
∴eq \f(QO,PA)＝eq \f(OE,AD)＝eq \f(QE,PD)＝eq \f(\f(13,4),5)，∴OE＝eq \f(39,20)，OQ＝eq \f(13,5)，
故选项A错误，选项B正确；
∵△QOE∽△PAD，∴∠QOE＝∠PAD＝90°，
∴∠DOA＝∠AOP＝90°，∴∠P＋∠OAP＝90°.
∵∠DAO＋∠OAP＝90°，∴∠DAO＝∠P.
∵∠DOA＝∠AOP，∴△DAO∽△APO，
∴eq \f(AO,PO)＝eq \f(DO,AO)，∴AO2＝OD·OP.
∵AE＞AB，∴AE＞AD，
∴OD≠OE，∴OA2≠OE·OP，
故选项C错误；
∵∠ADF＝∠DOA＝90°，
∴∠DAO＋∠ADO＝∠ADO＋∠FDO＝90°，
∠DOF＝90°，
∴∠DAO＝∠FDO.∵∠AOD＝90°＝∠DOF，
∴△DAO∽△FDO，
∴eq \f(OD,OF)＝eq \f(OA,OD)，∴OD2＝OA·OF.
∵OD不一定等于OQ，∴OQ2不一定等于OA·OF，故选项D错误．
二、11．eq \f(2eq \r(5),5)
12．8 【点拨】∵y＝－eq \f(1,4)x2＋k，
∴抛物线的顶点A的坐标为(0，k)，点C的坐标为(0，0)，
∴点D的坐标为(eq \f(1,2)k，eq \f(1,2)k)．
将(eq \f(1,2)k，eq \f(1,2)k)代入y＝－eq \f(1,4)x2＋k，得eq \f(1,2)k＝－eq \f(1,16)k2＋k，
解得k＝0(舍)或k＝8.
13．－5 【点拨】过点A分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M和N.
∵点A在直线y＝－x上，则设A(a，－a)．
∴AM＝AN.
又∵AM⊥x轴，AN⊥y轴，∠MON＝90°，
∴四边形AMON是正方形．∴∠MAN＝90°，
∴∠MAC＋∠CAN＝90°.
又∵∠BAC＝90°，∴∠BAM＋∠MAC＝90°，
∴∠BAM＝∠CAN.
又∵AM＝AN，∠AMB＝∠ANC＝90°，
∴△ABM≌△ACN(ASA)．∴S△ABM＝S△ACN.
∴S正方形AMON＝S四边形ABOC＝5.
故－a·(－a)＝5，得a2＝5.∵aeq \f(k,x)的解集为1＜x＜3.
(3)y1＝－x＋4，令y1＝0，则x＝4，
∴点B的坐标为(4，0)．
把A(1，3)的坐标代入y2＝eq \f(3,4)x＋b，得3＝eq \f(3,4)＋b，
∴b＝eq \f(9,4)，∴y2＝eq \f(3,4)x＋eq \f(9,4).
令y2＝0，则x＝－3，即C(－3，0)，
∴BC＝7.
∵AP把△ABC的面积分成1:3两部分，
∴CP＝eq \f(1,4)BC＝eq \f(7,4)或BP＝eq \f(1,4)BC＝eq \f(7,4)，
∴P的坐标为(－eq \f(5,4)，0)或(eq \f(9,4)，0)．
20．【解】(1)易知∠ACP＝90°，∠PAC＝50°.
在Rt△APC中，sin∠PAC＝sin 50°＝eq \f(PC,PA)，
∴PA＝eq \f(PC,sin 50°)≈eq \f(20,0.77)≈26(cm)．∵26＜33，
∴这位同学的眼睛与作业本的距离不符合要求．
(2)如图，在Rt△APC中，tan∠PAC＝tan 50°＝eq \f(PC,AC)，
∴AC＝eq \f(PC,tan 50°)≈eq \f(20,1.19)≈16.8(cm)．
易知∠PA′C＝37°.
在Rt△A′PC中，tan∠PA′C＝tan 37°＝eq \f(PC,A′ C)，
∴CA′＝eq \f(PC,tan 37°)≈eq \f(20,0.75)≈26.7(cm)，
∴CA′－CA≈9.9cm.
答：作业本移动的距离约为9.9cm.
六、21．【解】(1)y1＝－x2＋2x－3
(2)∵二次函数y＝kx2＋4x＋k－2的最大值为1，
∴eq \f(4k（k－2）－16,4k)＝1，
解得k＝4(舍去)或k＝－1，
∴y＝－x2＋4x－3.
∵二次函数y2与二次函数y＝kx2＋4x＋k－2(k为非零常数)互为“x函数”，
∴二次函数y2的表达式为y2＝x2－4x＋3.
七、22．(1)【证明】∵EF·FC＝FB·DF，
∴eq \f(EF,DF)＝eq \f(FB,FC).
∵∠BFE＝∠CFD，∴△BFE∽△CFD，
∴∠FEB＝∠FDC.
∵CE⊥AB，∴∠FEB＝90°，
∴∠FDC＝90°，即BD⊥AC.
(2)【证明】由(1)得△BFE∽△CFD，
∴∠EBF＝∠DCF.
∵CE⊥AB，∴∠FEB＝∠AEC＝90°，
∴△AEC∽△FEB.
(3)【解】由(2)得△AEC∽△FEB，
∴eq \f(AE,FE)＝eq \f(EC,EB).∴eq \f(AE,EC)＝eq \f(FE,EB).
∵CE⊥AB，∴∠AEF＝∠CEB＝90°，
∴△AEF∽△CEB，∴eq \f(AF,BC)＝eq \f(EF,BE).
∵EF：BE＝3：5，∴AF：BC＝3：5.
八、23．【解】(1)①由题意知，抛物线的表达式为y＝a(x－20)2＋10，
把(0，0)代入表达式，得400a＋10＝0，
解得a＝－eq \f(1,40)，
∴抛物线的表达式为y＝－eq \f(1,40)(x－20)2＋10，
即y＝－eq \f(1,40)x2＋x.
②易知点C与点O的水平距离为30米，垂直距离为6米．
当x＝30米时，y＝－eq \f(1,40)×900＋30＝7.5(米)．
∵7.5＞6，∴石块能飞越防御墙．
(3)由题可知抛物线y＝a(x－20)2＋k，B(28，6)，C(30，6)．
把O(0，0)，B(28，6)的坐标代入表达式，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0＝a（0－20）2＋k，,6＝a（28－20）2＋k，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,56)，,k＝\f(50,7).))
把C(30，6)，O(0，0)的坐标代入表达式，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0＝a（0－20）2＋k，,6＝a（30－20）2＋k，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,50)，,k＝8.))