高考数学精品讲义练习【一轮复习】第十章　10．9　概率统计与其他知识的综合问题

这是一份高考数学精品讲义练习【一轮复习】第十章　10．9　概率统计与其他知识的综合问题，共8页。

会综合利用概率统计知识解决概率统计与数列、函数、导数等知识的综合问题．
考点1 概率统计与数列的综合问题
【例1】 一个不透明的袋子中装有大小、质地相同的40个小球，其中10个红球，10个黄球，20个绿球，依次随机抽取小球，每次只取1个小球．解答下列问题：
(1)若取出的小球不再放回．
①求最后抽取的小球是黄球的概率；
②求红球比其余两种颜色小球更早取完的概率；
③设随机变量X为最后一个红球被取出时所需的取球次数，求E(X).
(2)若取出的小球又放回袋中，直到取到红球就停止取球，且最多取n次球，设随机变量Y为取球次数，求证：E(Y)＝4－ eq \f(3n,4n-1).
【解】 (1)①最后抽取的小球颜色是黄色，则第40次取球恰好为黄球，设事件A为第40次取球恰好为黄球，则P(A)＝ eq \f(10,40)＝ eq \f(1,4).
②设事件B为最后抽取的小球是黄球，事件C为最后抽取的小球是绿球，事件D为红球比其余两种颜色小球更早取完．
P(D)＝P(BD)＋P(CD)＝P(B)P(D|B)＋P(C)P(D|C)＝ eq \f(10,40)× eq \f(20,30)＋ eq \f(20,40)× eq \f(10,20)＝ eq \f(5,12).
③X的可能取值为10，11，12，…，40.
P(X＝k)＝ eq \f(C eq \\al(9,k－1),C eq \\al(10,40))，E(X)＝ eq \i\su(k＝10,40,k) eq \f(C eq \\al(9,k－1),C eq \\al(10,40))＝ eq \f(1,C eq \\al(10,40)) eq \i\su(k＝10,40,k)C eq \\al(9,k－1)＝ eq \f(1,C eq \\al(10,40)) eq \i\su(k＝10,40,k) eq \f((k－1)！,9！(k－10)！)＝
eq \f(10,C eq \\al(10,40)) eq \i\su(k＝10,40, ) eq \f(k！,10！(k－10)！)＝.
因为＝C eq \\al(10,10)＋C eq \\al(10,11)＋…＋C eq \\al(10,40)＝C eq \\al(11,41)，所以E(X)＝ eq \f(10,C eq \\al(10,40))C eq \\al(11,41)＝ eq \f(410,11).
(2)证明：设p＝ eq \f(1,4)，则Y的分布列为
E(Y)＝1× eq \f(1,4)＋ eq \f(2,4)× eq \f(3,4)＋ eq \f(3,4)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))) eq \s\up12(2)＋…＋ eq \f(n－1,4)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))) eq \s\up12(n－2)＋n eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))) eq \s\up12(n－1)，
eq \f(3,4)E(Y)＝ eq \f(1,4)× eq \f(3,4)＋ eq \f(2,4)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(3,4)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))) eq \s\up12(3)＋…＋ eq \f(n－1,4)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))) eq \s\up12(n－1)＋n eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))) eq \s\up12(n)，
两式相减可得 eq \f(1,4)E(Y)＝ eq \f(1,4)＋ eq \f(1,4)× eq \f(3,4)＋ eq \f(1,4)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(1,4)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))) eq \s\up12(3)＋…＋ eq \f(1,4)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))) eq \s\up12(n－2)＋ eq \f(3n＋1,4)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))) eq \s\up12(n－1)－n eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))) eq \s\up12(n)＝ eq \f(1,4)× eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))\s\up12(n－1),1－\f(3,4))＋ eq \f(3n＋1,4)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))) eq \s\up12(n－1)－n eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))) eq \s\up12(n)＝1＋(n－1)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))) eq \s\up12(n)－n eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))) eq \s\up12(n)＝1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))) eq \s\up12(n)，
所以E(Y)＝4－4× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))) eq \s\up12(n)＝4－ eq \f(3n,4n-1).
高考中有时将概率、统计等问题与数列交汇在一起进行考查，此类问题常常以概率、统计为命题情境，同时考查等差数列、等比数列的判定及其前n项和，解题时要准确把握题中所涉及的事件，明确其所属的事件类型．
【对点训练1】 现有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒中装有2个红球和1个白球，乙盒中装有1个红球和1个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复n(n∈N*)次这样的操作后，记甲盒中红球的个数为Xn，甲盒中恰有1个红球的概率为an，恰有2个红球的概率为bn（注：所有小球大小、形状、质地均相同）.
(1)求a1，b1的值；
(2)设cn＝2an＋bn，求证：cn＋1＝ eq \f(1,6)cn＋1；
(3)求Xn的数学期望E(Xn).
解：(1)由题可知a1＝ eq \f(2,3)× eq \f(1,2)＝ eq \f(1,3)，b1＝ eq \f(2,3)× eq \f(1,2)＋ eq \f(1,3)× eq \f(1,2)＝ eq \f(1,2).
(2)证明：n次操作后，甲盒有3个红球的概率P(Xn＝3)＝1－an－bn，
由全概率公式知an＋1＝ eq \f(1,3)an＋ eq \f(1,3)bn，bn＋1＝ eq \f(2,3)an＋ eq \f(1,2)bn＋1·(1－an－bn)＝1－ eq \f(1,3)an－ eq \f(1,2)bn，∴2an＋1＋bn＋1＝ eq \f(1,6)(2an＋bn)＋1，
∴cn＋1＝ eq \f(1,6)cn＋1.
(3)由(2)得cn＋1＝ eq \f(1,6)cn＋1，
∴cn＋1－ eq \f(6,5)＝ eq \f(1,6) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cn－\f(6,5)))，
又∵c1－ eq \f(6,5)＝2a1＋b1－ eq \f(6,5)＝－ eq \f(1,30)，
∴数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(cn－\f(6,5)))是以－ eq \f(1,30)为首项， eq \f(1,6)为公比的等比数列，
∴cn＝－ eq \f(1,30)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6))) eq \s\up12(n－1)＋ eq \f(6,5)，
∴E(Xn)＝1·an＋2·bn＋3·(1－an－bn)＝3－(2an＋bn)＝ eq \f(9,5)＋ eq \f(1,5)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6))) eq \s\up12(n).
考点2 概率统计与函数、导数的综合问题
【例2】 （2024·河北衡水模拟）已知甲口袋有m(m≥1，m∈N*)个红球和2个白球，乙口袋有n(n≥1，n∈N*)个红球和2个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球．
(1)当m＝4，n＝2时．
(ⅰ)求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率；
(ⅱ)设小明4次摸球中，摸出白球的个数为X，求X的数学期望．
(2)当m＝n时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为P，则当m为何值时，P最大？
【解】 (1)小明从甲口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为 eq \f(2,4＋2)＝ eq \f(1,3)，从乙口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为 eq \f(2,2＋2)＝ eq \f(1,2).
(ⅰ)设“小明4次摸球中，至少摸出1个白球”为事件A，则“小明4次摸球中，摸出的都是红球”为事件 eq \x\t(A)，且P（ eq \x\t(A)）＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3))) eq \s\up12(2)×1－ eq \f(1,2)2＝ eq \f(1,9)，所以P(A)＝1－P（ eq \x\t(A)）＝1－ eq \f(1,9)＝ eq \f(8,9).
(ⅱ)X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
由(ⅰ)，得P(X＝0)＝P（ eq \x\t(A)）＝ eq \f(1,9)，P(X＝1)＝C eq \\al(1,2)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))× eq \f(1,3)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3))) eq \s\up12(2)×C eq \\al(1,2)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))× eq \f(1,2)＝ eq \f(1,3)，P(X＝2)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(2)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3))) eq \s\up12(2)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋C eq \\al(1,2)×1－ eq \f(1,3)× eq \f(1,3)×C eq \\al(1,2)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))× eq \f(1,2)＝ eq \f(13,36)，P(X＝3)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(2)×C eq \\al(1,2)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))× eq \f(1,2)＋C eq \\al(1,2)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))× eq \f(1,3)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(1,6)，P(X＝4)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(2)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(1,36)，
所以E(X)＝0× eq \f(1,9)＋1× eq \f(1,3)＋2× eq \f(13,36)＋3× eq \f(1,6)＋4× eq \f(1,36)＝ eq \f(5,3).
(2)由m＝n，可视为小明从甲口袋中有放回地摸出一个球，连续摸4次，相当于4次独立重复试验．
设小明每次摸出一个红球的概率为k(0