高考数学精品讲义练习【一轮复习】第十章　10．8　概率统计的综合问题

这是一份高考数学精品讲义练习【一轮复习】第十章　10．8　概率统计的综合问题，共12页。
会综合利用概率统计知识，解决频率分布直方图、回归模型、独立性检验与分布列的综合问题．
考点1 频率分布直方图与分布列的综合
【例1】 为提高学生的环保意识，某大学举办了一次环保知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了100人，统计发现他们的竞赛分数均分布在[450，950]内，根据调查的结果绘制了竞赛分数的频率分布直方图，如图所示．分数不低于850分的学生被称为“特优选手”．
(1)求a的值，并估计该校学生竞赛分数的第70百分位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)现采用比例分配的分层随机抽样的方式从分数在[750，850），[850，950]内的两组学生中共抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记被抽取的4名学生中“特优选手”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．
【解】 (1)由频率分布直方图知(0.001 5×2＋a＋0.002 5＋0.001 0)×100＝1⇒a＝0.003 5.
设第70百分位数为m，前两组所占频率为(0.001 5＋0.003 5)×100＝0.5，
前三组所占频率为(0.001 5＋0.003 5＋0.002 5)×100＝0.75，则m位于第三组数据中，
所以 eq \f(m－650,70%－50%)＝ eq \f(750－m,75%－70%)⇒m＝730，即第70百分位数的估计值为730.
平均数 eq \x\t(x)＝(500×0.001 5＋600×0.003 5＋700×0.002 5＋800×0.001 5＋900×0.001 0)
×100＝670，
即该校学生竞赛成绩的平均数的估计值为670.
(2)由(1)知分数在[750，850），[850，950]内的两组学生分别有100×0.001 5×100＝15（人），100×0.001 0×100＝10（人），
所以各自抽取的人数分别为10× eq \f(15,15＋10)＝6，10× eq \f(10,15＋10)＝4，
显然“特优选手”有4人，
故X可取0，1，2，3，4，则P(X＝0)＝ eq \f(C eq \\al(4,6),C eq \\al(4,10))＝ eq \f(1,14)，P(X＝1)＝ eq \f(C eq \\al(3,6)C eq \\al(1,4),C eq \\al(4,10))＝ eq \f(8,21)，P(X＝2)＝ eq \f(C eq \\al(2,6)C eq \\al(2,4),C eq \\al(4,10))＝ eq \f(3,7)，P(X＝3)＝ eq \f(C eq \\al(1,6)C eq \\al(3,4),C eq \\al(4,10))＝ eq \f(4,35)，P(X＝4)＝ eq \f(C eq \\al(4,4),C eq \\al(4,10))＝ eq \f(1,210)，
所以X的分布列为
E(X)＝0× eq \f(1,14)＋1× eq \f(8,21)＋2× eq \f(3,7)＋3× eq \f(4,35)＋4× eq \f(1,210)＝ eq \f(8,5).
高考中常将频率分布直方图与分布列等交汇在一起进行考查，解题时要正确理解频率分布直方图，能利用频率分布直方图正确计算出各组数据．概率问题以计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来．
【对点训练1】 某甜品店为了解某款甜品的销售情况，进而改变制作工艺，根据以往的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示. 假设每天的销售量相互独立，用频率估计概率．
(1)估计某一天此款甜品销售量不超过60个的概率．
(2)用X表示在未来3天里，此款甜品日销售量超过60个的天数，求随机变量X的分布列和数学期望．
(3)该店改变了制作工艺以后，抽取了连续30天的销售记录，发现这其中有20天的销售量都超过70个，根据抽查结果，能否认为改变工艺后，此款甜品的销售情况发生了变化？请说明理由．
解：(1)设事件A为“某一天此款甜品销售量不超过60个”，
所以P(A)＝(0.01＋0.03)×10＝0.4.
(2)根据题意得X～B(3，0.6)，则
P(X＝0)＝0.43＝0.064，
P(X＝1)＝C eq \\al(1,3)×0.6×0.42＝0.288，
P(X＝2)＝C eq \\al(2,3)×0.62×0.4＝0.432，
P(X＝3)＝0.63＝0.216，
所以X的分布列为
所以E(X)＝0×0.064＋1×0.288＋2×0.432＋3×0.216＝1.8.
(3)可以认为改变制作工艺后，此款甜品的销售情况发生了变化．理由如下：
改变制作工艺前，设事件C表示“日销售量超过70个”，用Y表示30天内日销售量超过70个的天数，
由频率分布直方图可得P(C)＝0.2，则Y～B(30，0.2)，
所以E(Y)＝30×0.2＝6 eq \f(40,41)≈0.976>0.75，
因此，销量y与年份代码x有较强的线性相关关系．
eq \(b,\s\up6(^))＝ eq \f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\t(x) \x\t(y),\i\su(i＝1,5,x) eq \\al(2,i)－5\x\t(x)2)＝ eq \f(295－5×3×17,55－45)＝4，
eq \(a,\s\up6(^))＝ eq \x\t(y)－ eq \(b,\s\up6(^)) eq \x\t(x)＝17－4×3＝5，
故y关于x的经验回归方程为 eq \(y,\s\up6(^))＝4x＋5.
(2)由题意可得，X的可能取值为0，1，2，3，
则P(X＝0)＝ eq \f(C eq \\al(0,4)C eq \\al(3,4),C eq \\al(3,8))＝ eq \f(1,14)，
P(X＝1)＝ eq \f(C eq \\al(1,4)C eq \\al(2,4),C eq \\al(3,8))＝ eq \f(3,7)，
P(X＝2)＝ eq \f(C eq \\al(2,4)C eq \\al(1,4),C eq \\al(3,8))＝ eq \f(3,7)，
P(X＝3)＝ eq \f(C eq \\al(3,4)C eq \\al(0,4),C eq \\al(3,8))＝ eq \f(1,14)，
所以X的分布列为
所以E(X)＝0× eq \f(1,14)＋1× eq \f(3,7)＋2× eq \f(3,7)＋3× eq \f(1,14)＝ eq \f(3,2).
高考中常将回归模型与分布列等交汇在一起进行考查，求经验回归方程时要充分利用已知数据，合理利用公式减少运算．求解概率问题时要注意概率模型的应用，明确所求问题所属的事件类型是关键．
【对点训练2】 （2024·山东日照二模）某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，并统计分析测试成绩以确定员工绩效等级．
(1)已知该公司甲部门有3名负责人，乙部门有4名负责人，该公司从甲、乙两部门中随机选取3名负责人做测试分析，记负责人来自甲部门的人数为随机变量X，求X的最有可能的取值．
(2)该公司统计了七个部门测试的平均成绩x（满分100分，成绩为整数）与绩效等级优秀率y，如下表所示：
根据数据绘制散点图，初步判断，选用y＝λecx作为回归方程．令z＝ln y，经计算得 eq \x\t(z)≈－0.642， eq \f(\i\su(i＝1,7,x)izi－7\x\t(x) \x\t(z),\i\su(i＝1,7,x) eq \\al(2,i)－7\x\t(x)2)≈0.02.
(ⅰ)已知某部门测试的平均成绩为60分，估计其绩效等级优秀率；
(ⅱ)根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩x～N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数 eq \x\t(x)，σ2近似为样本方差s2，经计算s≈20，求某个部门绩效等级优秀率不低于0.78的概率．
参考公式与数据：①ln 0.15≈－1.9，e1.2≈3.32，ln 5.2≈1.65.
②经验回归方程 eq \(y,\s\up6(^))＝ eq \(b,\s\up6(^))x＋ eq \(a,\s\up6(^))中， eq \(b,\s\up6(^))＝， eq \(a,\s\up6(^))＝ eq \x\t(y)－ eq \(b,\s\up6(^)) eq \x\t(x).
③若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ