人教B版 (2019)选择性必修 第三册数列的应用教学设计

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第三册数列的应用教学设计，共8页。教案主要包含了导入新课，探究新知，课堂小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。
一、导入新课
幽默故事：一位中国老太太与一位美国老太太在黄泉路上相遇美国老太太说，她住了一辈子的宽敞房子，也辛苦了一辈子，昨天刚还清了银行的住房贷款；而中国老太太却叹息地说，她三代同堂一辈子，昨天刚把买房的钱攒足.
指出：我国现代都市人的消费观念正在变迁—花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生，许多年轻人过起了名副其实的“负翁”生活；贷款购物，分期还款已深入我们生活在当前的市场环境中，分期还款被很多商家看作是抢占市场份额的有效手段，为迎合消费者的心理，商家各尽所能；但是面对商家和银行提供的各种分期还款服务，究竟选择什么样的方式好呢？
（投影仪出示）有关分期还款的知识：
1.分期还款是一种新的还款方式，就是可以不一次性将款付清，就使用商品（或贷款），还款时可以分期将款逐步还清
2.分期还款中，一般规定每次还款额相同；每期还款的时间间隔相同.
3.分期还款中，每月按利息复利计算（即上月（年）的利息要计入下月（年）的本金）.
4.分期还款中，贷款（或商品价值）与每期还款额在贷款付清之前，会随时间推移而不断增值，即分期还款的总额高于一次性还款的总额.
5.分期所付的款连同到最后一次还款时所生的利息之和，等于商品售价及从购物到最后一次还款时的利息之和；即每期还款产生的本利和的累加与商品的还款总额相等（此为解题之关键）.
6.分期还款的数学方法是等比数列求和.
二、探究新知
1.分期还款与数列
教师出示关于分期还款的相关知识，并提出问题.
我们知道，当偿还银行贷款时，需要将本金和利息一起偿还分期还款是一种很常见的还款方式，其本质是将本金和利息分推到每一期偿还.目前,常见的分期还款方式有“等额本金还款法”“等额本息还款法”.你能根据这两种还款方式的名称猜出它们的不同吗?如果向银行贷款本金元,打算分成期偿还,并且每一期的利率为,记每期还款的钱数构成的数列为
，
你能写出两种还款方法中,第期所要还的钱数的表达式吗?
学生可能对“等额本金还款法”与“等额本息还款法”不太了解,教师给予介绍:
顾名思义,“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还,每一期所还款金额由两部分组成,一部分为每期本金,即贷款本金除以还款期数,另一部分是利息,即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率.因此这种方式中,
每期还款.
利用上面情境中的符号有
.
设计意图：使学生了解相关金融概念：“等额本金还款法”.
例1 自主创业的大学生张华向银行贷款200000元租赁了一处经营场所,因为预计前期经营状况会比较好,张华跟银行约定按照“等额本金还款法”分10年进行还款,贷款的年利率为.设第年张华的还款金额为元,求出的表达式,并说出数列的特征.
解 因为每期所还本金为
（元），
因此,第年以前已还本金总额为元,从而有
.
可以看出,是一个递减的等差数列.
设计意图:使学生体会从实际问题中抽象出数列模型的过程,即“分析问题一数学表达一数学建模”.
“等额本息还款法”是将本金和利息平均分配到每一期进行偿还,因此每一期所还钱数相等,即
尝试与发现：
假设你现在手中有1000元钱，而且你打算一年以后再使用这笔钱，那么一年以后，这笔钱所能买到的东西价值最多只能是1000元吗？为什么？由此你能得到什么启发？
学生小组讨论交流，在教师的引导下汇报如下：
因为可以将这笔钱存入银行中，而到期之后银行会支付利息，因此一年后使用这笔钱时，所能买到的东西价值是不止1000元的例如，假设一年定期的存款利率为5%，不计利息税，则一年后的本息和为
(元).
即一年后可以买到价值 1050 元的东西.
教师小结:
换句话说,现在的1000元相当于一年后的1050元.类似地,如果记现在的元相当于年后的元,银行存款的年利率为且每年结算一次利息(不计利息税,下同),则,即
经济学上,一般称为的现值,而为的未来值.可以看出,现值的计算公式提供了不同时期资金换算的方法,因此在日常生活中有广泛应用.
设计意图:通过实例介绍现值、未来值的概念,使学生了解相关知识.
问题:在前面的情境中,如果用“等额本息还款法”进行还款,每一期所还钱数为多少元?
学生小组讨论汇报:
在前面的情境中,如果用“等额本息还款法”进行还款,设贷款时的资金元为现值,且每一期所还钱数为元,则:
第1期所还钱的现值为元;
第2期所还钱的现值为元;
……
第期所还钱的现值为元.
因为最后还款的现值总和应为元,因此
，
又因为,所以由等比数列前项求和公式可解得
.
设计意图:使学生了解相关金融概念:“等额本息还款法”.
例2 刚考入大学的小明准备向银行贷款5000元购买一台笔记本电脑,然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款.小明与银行约定:每个月还一次款,分12次还清所有的欠款,且每个月还款的钱数都相等,贷款的月利率为.试求出小明每个月所要还款的钱数（精确到元).
解可以看出,小明选择的还款方式为“等额本息还款法”,因此
(元).
即小明每个月要还款约430.33元.
设计意图：使学生再次感受解决实际问题的过程：“分析问题一数学表达一数学建模一解决问题一回归生活”
2.政府支出的“乘数”效应与数列
经济学家凯恩斯在解释政府财政政策时指出，如果政府的支出增加，那么就会产生“乘数”效应.
例如，政府如果增加道路维修费用300亿元，那么这笔费用将会使部分居民收入增加假设这些居民将收入增加量的75%用于国内消费，25%用于存储或国外消费，那么国内消费的金额将会产生第2轮影响，其也会使部分居民收入增加.收入增加了的居民又会将一定比例的收入增加量用于国内消费，因此又会产生新的一轮影响……假设每一个受影响的居民消费理念都一样，那么经过30轮影响之后，最后的国内消费总额将会是300亿元的倍数（最初政府支出也算是国内消费），也就是说有了“乘数”效应.
事实上,在这个例子中,如果设第轮消费的金额为元,则;
第1轮居民用于消费的金额为
(亿元);
第2轮居民用于消费的金额为
(亿元);
……
第30轮居民用于消费的金额为
(亿元).
因此,经过30轮后,国内消费金额是
（亿元）.
政府的初始支出为300亿元,而国内消费最后约为1200亿元,因此国内消费约是初始支出的4倍.
在学生了解政府支出的“数乘”效应后,教师出示例3,帮助学生理解相关内容.
例3 假设政府增加某项支出100亿元,每个受惠的居民会将的额外收人用于国内消费,求经过30轮影响之后,最后的国内消费总额(最初政府支出也算是国内消费,结果精确到1亿元).
解 依题意可知,经过30轮影响之后,最后的国内消费总额为
（亿元）.
设计意图:使学生了解政府支出的“乘数”效应本质是增长率函数模型.
3.其他
除了前面学习的分期还款和政府支出的“数乘”效应与数列有关,生活中还有其他不少方面都与数列模型有关，教师给出下面的例子.
例4 有些食物中含有一定量的微量元素，当人体摄入微量元素之后，微量元素会随着尿液、汗液等部分排出假设某人每天吃进某微量元素10mg，该微量元素每天以的比率排出，则30天后在此人身体中积累了多少该微量元素？（设一开始某人体内该微量元素为0，计算结果精确到0.1mg.）
解 设第天时此人体内有改量元素,则:第1天此人身体内的微量元素为
；
第2天此人身体内的微量元素为
；
第3天此人身体内的微量元素为
；
第30天此人多体内的微量元素为
.
即30天后在此人身体中积累了约的该微量元素.
例5 某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元,已知每年可获利,但由于竞争激烈,每年年底需从利润中取出200万元资金进行科研、技术改造与该项目的资金为万元.
（1）写出的值以及数列的递推公式;
（2）证明:为等比数列,并求出数列的通项公式;
（3）求出至少要经过多少年,该项目的资金才可以达到或超过翻两番(即为原来的4倍)的目标.(取)
解 （1）由题意知
，
而且
.
（2）由（1）可知
，
又因为,
所以可知,
从而可知为等比数列.
因此
所以.
（3）令,可得,
因此,
所以,
因此.
即至少要经过12年，项目的资金才可以达到或超过翻两番的目标.
三、课堂小结
1.分期还款中的计算涉及的数学知识：等比、等差数列前n项和公式.
数学思想：列方程解未知数.
2解决实际问题的基本过程：生活实际中的问题→存在的可行方案→启迪思维，留有余地→搜集、整理信息→独立探究方案→提出解答，并给答辩→创建数学模型→验证并使用模型→结论分析.
3.问题来源于现实，问题处处存在，要善于发现问题并抓住问题本质；而探究问题时往往不会一帆风顺，要勇于战胜困难，磨砺自己意志.
4.促进学生知识迁移——分期还款及以复利增长型问题可类似解决.
四、布置作业
教材第47页习题5-4A第3，4，5题.
板书设计
教学研讨
本节内容比较抽象，因此教师创设情境，与实际生活相联系，让学生感到数学就在身边，身边处处有数学，从而增强学好数学的信心，用已掌握的数学知识解决身边的实际问题，同时尊重差异，实施合作学习.
由于本节课的教学内容不多，建议教师在教学时从以下两个方面改进：（1）建立数学模型，而不是就题论题；（2）增加适当的课堂练习.
5.4数列的应用
1.分期还款与数列
（1）等额本金还款法
顾名思义，“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率因此这种方式中，
每期还款
例1
（2）等额本息还款法
“等额本息还款法”是将本金和利息平均分配到每期进行偿还，因此每一期所还钱数相等，即
例2
2.政府支出的“数乘”效应与数列.
例3
3.其他
例4
例5