四川省眉山市洪雅县2024-2025学年九年级下学期期中统考数学试卷（解析版）

这是一份四川省眉山市洪雅县2024-2025学年九年级下学期期中统考数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）
1. 的倒数是（ ）
A. 2025B.
C. D.
【答案】C
【解析】的倒数是，故选：C．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵，选项错误，故A不合题意．
∵，选项错误，∴B不合题意．
∵，选项错误，∴C不合题意．
∵，选项正确，∴D符合题意．
故选：D．
3. 下面几个几何体，从正面看到的形状是圆的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A．从正面看到的形状是正方形；
B．从正面看到的形状是圆；
C．从正面看到的形状是三角形；
D．从正面看到的形状是圆的是矩形．
故选：B．
4. 洪雅地处四川盆地西南，属成都平原经济区，是成德眉资同城化发展辐射区．全县森林面积206万亩，森林覆盖率超，被誉为“绿海明珠”“天然氧吧”．其中，206万用科学记数法可以表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】206万，
故选：B．
5. 学校为了解“阳光体育”活动开展情况，随机调查了50名学生一周参加体育锻炼时间，数据如下表所示：
这些学生一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）
A. 16，15B. 11，15C. 8，8.5D. 8，9
【答案】C
【解析】这50名学生这一周在校的体育锻炼时间是8小时的人数最多，故众数为8；
统计表中是按从小到大的顺序排列的，最中间两个人的锻炼时间分别是8，9，故中位数是（8+9）÷2=8.5．
故选：C．
6. 如图，在△ABC中，点D在边AB上，DE∥BC交AC于点E，AE＝AC，若线段BC＝30，那么线段DE长为（ ）
A. 5B. 10C. 15D. 20
【答案】B
【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，
∵AE＝AC，BC＝30，∴，解得，DE＝10，
故选：B．
7. 如图，中，弦与半径相交于点D，连接，OC．若，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，，∴，
∴，∴，
故选D．
8. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个实数根，
∴，即，
解得：且；
故选：D.
9. 医用酒精消毒液可杀灭肠道致病杆菌、化脓性球菌、白色念珠菌，适用于人体的手部消毒和一般物体表面消毒，在一次实验中，要将浓度为的酒精，稀释为的酒精，设需要加水．根据题意，下列方程正确的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据稀释前后酒精的质量不变，可表示出稀释后酒精的浓度，
列方程为：
故选：C．
10. 如图，中，，，，利用尺规在、上分别截取，，使；分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．点P为上一动点，则的最小值为（ ）
A. 1B.
C. D. 无法确定
【答案】C
【解析】如图，过点G作于H．
由作图可知，平分，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
即，
根据垂线段最短可知，的最小值为，
故选：C．
11. 若关于的方程解为正数，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且D. 且
【答案】D
【解析】，
，
，
，
，
∵方程的解为正数，且分母不等于0，
∴，，∴，且，
故选：D．
12. 如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB=AD；③GE=DF；④OC=2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（ ）
A. ①②③B. ①③④C. ①④⑤D. ②③④
【答案】B
【解析】根据折叠的性质知∠DGF=∠OGF，∠AGE=∠OGE，
∴∠FGE=∠OGF+∠OGE=(∠DGO+∠AGO) =90°，
同理∠GEC=90°，
∴∠FGE+∠GEC=180°
∴GF∥EC；故①正确；
根据折叠的性质知DG=GO，GA=GO，
∴DG=GO=GA，即点G为AD的中点，
同理可得点E为AB的中点，
设AD=BC=2a，AB=CD=2b，则DG=GO=GA=a，OC=BC=2a，AE=BE=OE=b，
∴GC=3a，
Rt△CDG中，CG2=DG2+CD2，
即(3a)2=a2+(2b)2，
∴b=，
∴AB=2=AD，故②不正确；
设DF=FO=x，则FC=2b-x，
在Rt△COF中，CF2=OF2+OC2，
即(2b-x)2=x2+(2a)2，
∴x==，即DF=FO=，GE=a，
∴，
∴GE=DF；故③正确；
∴，
∴OC=2OF；故④正确；
∵∠FCO与∠GCE不一定相等，
∴△COF∽△CEG不成立，故⑤不正确；
综上，正确的有①③④，
故选：B．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
13. 因式分解：_____．
【答案】
【解析】.
14. 如图，四边形与四边形位似，位似中心为点．点A与点对应，若，四边形的面积为6，则四边形的面积为______．
【答案】
【解析】∵四边形与四边形位似，且，
∴四边形与四边形相似，相似比为，
∴四边形与四边形的面积比为，
∵四边形面积为6，
∴四边形的面积为．
15. 已知、是方程的两个实数根，则________．
【答案】0
【解析】∵、是方程的两个实数根，
∴，，∴．
16. 如图，边长为1的等边沿着直线箭头方向平行滑动，每次滑动1个单位，的初始位置位于，在y轴上，与坐标原点重合，滑动2025次后滑动至位置，则点的坐标是_____________．
【答案】
【解析】边长为1的等边沿着直线箭头方向平行滑动，
∴，，，
设，则，解得，
即，∴，
同理可得，，……，
∴．
17. 如图，菱形，点C在x正半轴上，，反比例函数（）的图像经过点A，交边于点D，若的面积为，则k的值为__________．
【答案】2
【解析】如图，过点A作于E，
∵四边形是菱形，
∴，且，
∴是等边三角形，且，∴，
∵，∴，∴，∴，
故答案为：．
18. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的对称轴为，与轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：①；②；③；④若x1，x2为方程的两个根，则；其中正确的有______（填序号）．
【答案】③④
【解析】∵抛物线的对称轴为直线，
∴，∴，∴，故①错误；
∵抛物线开口向下，对称轴在轴的右边，与轴交点在正半轴上，
∴，，，
∴，故②错误；
∵抛物线的对称轴为直线，时，
∴时，，即，
∴，
∴，故③正确；
∵由图象可得：，，
∴，故④正确；
∴正确的有③④．
三、解答题（本大题共8个小题，19题，20题每题8分，21题−25题，每题10分，26题12分，共78分）
19. 计算：．
解：．
20. 化简求值：，其中．
解：原式
，
将代入得：原式．
21. 为传承中华优秀传统文化，不断提升青少年的审美和人文素养，我县某学校举办了以“绽放艺术风采、激发强国力量”为主题的艺术展演活动．张老师从全校50个班中随机抽取了A、B、C、D共4个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）张老师所调查的4个班共征集到作品 件，在扇形统计图中，表示A班的扇形周心角的度数为，则B班的扇形周心角的度数为 ，并补全条形统计图；
（2）如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1名作者是男生，3名作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率（要求用树状图或列表法写出分析过程）．
解：（1）根据题意，调查的总件数（件）；
B班的作品数为（件），
B班的扇形周心角的度数为：，
补全条形统计图为：
（2）设男生为B，女生为，画树状图如下：
一共有12种等可能性，一男一女有6种等可能性，
所以恰好抽中一男一女的概率．
22. 如图，在中，，垂足为，，垂足为，与，分别相交于点，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
在和中，，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
由（1）已证：，
∴，
在中，，即，
解得或（不符合题意，舍去），
∴，
又∵，，
∴的面积为．
23. “绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行，某自行车店在销售某型号自行车时，标价1500元．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．
（1）求该型号自行车的进价是多少元？
（2）若该型号自行车的进价不变，按标价出售，该店平均每月可售出60辆：若每辆自行车每降价50元，每月可多售出10辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？
解：（1）设进价为元，
则：，解得：，
∴改型号自行车进价1000元.
（2）设自行车降价元，获利为元，
则，
∴对称轴：，∵，
∴当时，，
答：降价100元时每月利润最大，最大为32000元．
24. 一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点，与y轴交于点M．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）在y轴上取一点N，当的面积为4时，求点N的坐标；
（3）将直线向下平移2个单位后得到直线，当函数值时，求x的取值范围（直接写出答案）．
解：（1），，∴，
由，得，，
.
（2），，
，当时，，则，
或.
（3）∵直线向下平移2个单位长度后得到直线，
∴，
当时，
解得，，
根据函数图象可得：当时，或．
25. 如图，已知的两弦的延长线交于圆外一点P，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积（计算结果保留π）；
（3）若，，求的半径．（直接写出答案）．
（1）证明：∵的两弦的延长线交于圆外一点P，
∴四边形为的内接四边形，，
∴，∴，
∵，∴；
（2）连接并延长，交于点，连接，则为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴的半径为2，
∴的面积为；
（3）作于点，连接，连接，则：，
∵，∴，
设，，则：，
由（1）知：，∴，∴，
∴，
∴，∴，
∴，
∵，∴，
即：的半径为．
26. 如图1，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，过点A直线交y轴于点D，交抛物线于点．
（1）抛物线解析式为 ；
（2）如图2，点F为抛物线上曲线上一动点，连接，，，求四边形面积的最大值；
（3）如图3，点P为线段上一动点，Q为线段上一动点，且，连接，，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由．
解：（1）把，，代入抛物线解析式得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）过点F作轴于点G，如图所示：
把代入得：，
解得：，，∴，
∴，
设直线的解析式为，把，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点F的坐标为，则，
∴，
，
∵，
∴当时，取最大值，
∵面积一定，，
∴当面积最大时，四边形面积的最大，
∴四边形面积的最大值为．
（3）存在；过点D作轴，截取，连接、，如图所示：
把代入的解析式得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，
∵两点之间线段最短，
∴当M、P、O三点共线时，最小，且最小值为，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为．人数（人）
9
16
14
11
时间（小时）
7
8
9
10