2024-2025学年黑龙江省哈尔滨三十二中高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年黑龙江省哈尔滨三十二中高一（下）期末数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知一组数据从小到大排列：10，20，30，40，50，60，70，80，90，100，则该组数据的40%分位数为( )
A. 35B. 40C. 45D. 50
2.复数z满足z=2−ii，则|z|=( )
A. 1B. 3C. 2D. 5
3.已知向量a=(x,−1)，b=(−2,3)，若a//b，则x=( )
A. −23B. 23C. −32D. 32
4.在△ABC中，若b=3，c= 6，C=π4，则角B的大小为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. π3或2π3
5.甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶20次，命中环数的频率分布条形图如图.设甲、乙命中环数的众数分别为Z甲，Z乙，方差分别为S甲2，s乙2，则( )
A. Z甲=Z乙,s甲2s乙2
C. Z甲>Z乙,s甲2>s乙2D. Z甲s乙2
6.某校高一年级1000名学生在一次考试中的成绩的频率分布直方图如图所示，现用分层抽样的方法从成绩40～70分的同学中共抽取80名同学，则抽取成绩50～60分的人数是( )
A. 20
B. 30
C. 40
D. 50
7.一个不透明袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，先后不放回地摸出两个球，若第二次摸出球的号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择未被摸出的球，则选到3号球的概率为( )
A. 16B. 13C. 12D. 23
8.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD−A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器绕边BC倾斜.随着倾斜度的不同，在下面四个命题中错误的是( )
A. 没有水的部分始终呈棱柱形
B. 棱A1D1始终与水面所在平面平行
C. 水面EFGH所在四边形的面积为定值
D. 当容器倾斜如图(3)所示时，BE⋅BF是定值
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.小明用某款手机性能测试APP对10部不同品牌的手机的某项性能进行测试，所得的分数按从小到大的顺序(相等数据相邻排列)排列为：81，84，84，87，x，y，93，96，96，99，已知总体的中位数为90，则( )
A. x+y=180
B. 该组数据的均值一定为90
C. 该组数据的众数一定为84和96
D. 若要使该总体的标准差最小，则x=y=90
10.袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是( )
A. 至少有一个白球与都是白球B. 恰有一个红球与白、黑球各一个
C. 至少一个白球与至多有一个红球D. 至少有一个红球与两个白球
11.正三棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则下列说法正确的是( )
A. 该正三棱台的上底面积是 3B. 该正三棱台的侧面面积是60
C. 该正三棱台的表面积是12 21+10 3D. 该正三棱台的高是593
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z为纯虚数，满足|z|= 2，则z=______．
13.球员A罚球命中的概率是0.7，球员B罚球命中的概率是0.6，且两人罚球是否命中相互独立.那么在一次两人罚球过程中，至少有一人罚球命中的概率是______.(用小数表示)
14.如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，则四棱锥S−ABCD的体积与正方体体积的比为______．
四、解答题：本题共4小题，共47分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题11分)
已知平面向量a=(1,x)，b=(2x+3,−x)，x∈R．
(Ⅰ)若a⊥b，求x的值；
(Ⅱ)若a//b，求|a−b|
16.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA=PC，E为PB的中点．
(1)求证：PD//面AEC；
(2)求证：平面AEC⊥平面PDB．
17.(本小题12分)
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且ab=a2+b2−c2．
(1)求角C；
(2)若△ABC的面积S=5 34，且c= 21，求△ABC的周长．
18.(本小题100分)
长沙是一座历史悠久、文化旅游资源丰富的城市.为更好地了解游客对长沙旅游体验的感受，长沙市旅游部门随机选择100名游客对长沙旅游体验进行满意度评分(满分100分)，根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，求x的值；
(2)估计这100名游客对长沙旅游体验满意度评分的平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)；
(3)旅游部门的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在[50,60)，[60,70)的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行单独访问，求选取的2人中，恰有1人评分在[50,60)内，另1人在[60,70)内的概率．
答案解析
1.【答案】C
【解析】解：一组数据从小到大排列：10，20，30，40，50，60，70，80，90，100，
由题知该组数据共有10个，
∵10×40%=4，
∴这组数据的40%分位数为40+502=45．
故选：C．
根据百分位数求解规则直接求解即可．
本题考查百分位数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：z=2−ii=−1−2i，
故|z|= (−1)2+(−2)2= 5．
故选：D．
先对z化简，再结合复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由a/​/b，得3x−(−1)×(−2)=0，解得x=23．
故选：B．
根据给定条件，利用向量共线的坐标表示列式计算．
本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：∵b=3，c= 6，C=π4，
由正弦定理可得，bsinB=csinC，
∴sinB=bsinCc=3× 22 6= 32，
∵b>c，
B>C，
∴B=13π或2π3，
故选：D．
结合正弦定理即可直接求解sinB，进而可求B．
本题主要考查了利用正弦定理求解三角形，属于基础试题．
5.【答案】B
【解析】解：根据图表知，甲、乙命中环数的众数均为7环，则Z甲=Z乙；
甲运动员命中的环数比较分散，乙运动员命中的环数比较集中，则s甲2>s乙2．
故选：B．
观察给定的图表，利用众数的意义和运动员命中环数的集中与分散程度判断即可．
本题主要考查了众数和方差的定义，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由频率分布直方图得抽取成绩在50～60分的频率为：
0.015×10=0.15，
40～70分的频率为：
(0.005+0.015+0.020)×10=0.40，
∴抽取成绩50～60分的人数是：
80×(人)．
故选：B．
由频率分布直方图得抽取成绩在50～60分的频率为0.15，40～70分的频率为0.40，利用分层抽样能求出抽取成绩50～60分的人数．
本题考查频率分布直方图、分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】C
【解析】解：根据题意，从标有数字1，2，3，先后不放回地摸出两个球，
则所有可能结果有(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，
能选到3号球的结果有(1,3)，(2,3)，(2,1)，
故可以选到3号球的概率P=36=12．
故选：C．
根据题意，分别列举选球的可能性，再根据互斥事件的概率公式求解即可．
本题考查古典概型的计算，注意列举法的应用，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：将容器绕边BC倾斜，随着倾斜度的不同，
平面A1EFB1//平面D1HGC1，
平面B1C1GF，平面A1D1HE，平面EHGF，平面A1B1C1D1都是平行四边形，
∴没有水的部分始终呈棱柱形，故A正确；
A1D1/​/EH，A1D1⊄水面EHGF，EH⊂水面EHGF，
∴棱A1D1始终与水面所在平面平行，故B正确；
在图(1)中，水面EFGH所在四边形的面积为长方形ABCD的面积，
在图(3)中，水面EFGH所在四边形的面积大于长方形ABCD的面积，故C错误；
当容器倾斜如图(3)所示时，有水的部分形成一个直三棱柱，
设三棱柱的底面为三角形，高为BC，根据水的体积为定值，
可得底面三角形的面积为定值，故BE⋅BF是定值，故D正确．
故选：C．
结合几何体的结构特征和三棱柱的体积公式，逐项判定，能求出结果．
本题考查几何体的结构特征和三棱柱的体积公式等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查中位数、平均数、标准差、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
依题意可得x+y=180，即可求出平均数，即可判断A、B，再利用特殊值判断C，利用基本不等式判断D．
【解答】
解：对于A、B，∵总体的中位数为90，∴x+y=180，
∴该组数据的均值为110(81+84+84+87+x+y+93+96+96+99)=90，故A，B均正确；
对于C，当x=y=90时，众数为84，90，96，当x=87，y=93时，众数为84，87，93，96，故C错误；
对于D，要使该总体的标准差最小，即方差最小，即(x−90)2+(y−90)2最小，
(x−90)2+(y−90)2≥(x+y−180)22=0，
当且仅当x−90=y−90时，即x=y=90时等号成立，故D正确．
故选ABD．
10.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查互斥事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件的定义的合理运用．
利用互斥事件的定义直接求解．
【解答】
解：袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，
在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立．
在B中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故B成立；
在C中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C不成立；
在D中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D成立；
故选：BD．
11.【答案】AC
【解析】解：对于选项A：
因为正三棱台的上底面为正三角形，其边长为2，
所以上底面面积为S1=12×2× 22−12= 3，所以A正确；
对于选项B：
正三棱台的侧面为等腰梯形，所以侧面积为：
S2=3×12×(2+6)× 52−(6−22)2=12 21，所以B错误；
对于选项C：
该正四棱台的下底面面积为S3=12×6× 62−32=9 3．
所以该正四棱台的表面积为S=S1+S2+S3=12 21+10 3，所以C正确；
对于选项D：
设ℎ为正三棱台的高，根据勾股定理可得ℎ2+(6 33−2 33)2=25，
解得OO1=ℎ= 593，所以D错误．
故选：AC．
根据正三棱台的结构特征和表面积公式进行计算求解即可．
本题考查正三棱台的侧面积和表面积、高，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
12.【答案】± 2i
【解析】解：复数z为纯虚数，
可设z=bi，b≠0，
因为|z|= 2，所以b=± 2，故z=± 2i．
故答案为：± 2i．
设z=bi，b≠0，根据模长得到b=± 2，求出答案．
本题主要考查复数模公式，是基础题．
13.【答案】0.88
【解析】解：球员A罚球命中的概率是0.7，球员B罚球命中的概率是0.6，且两人罚球是否命中相互独立，
记事件A=“球员A和球员B至少一人罚球命中”，
则其对立事件为A−=“罚球命中两人都未罚球命中”，
由相互独立事件同时发生的概率乘法公式得：
P(A−)=(1−0.7)×(1−0.6)=0.12，
∴P(A)=1−0.12=0.88．
故答案为：0.88．
正难则反，先求其对立事件的概率，即两人都未命中的概率即可．
本题考查相互独立事件等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
14.【答案】13
【解析】解：设正方体棱长为a，则VABCD−A1B1C1D1=a3，VS−ABCD=a33．
所以体积的比为13．
故答案为：13．
令正方体棱长为a，求出正方体的体积及四棱锥的体积即可判断．
本题考查棱锥的体积，属于中档题．
15.【答案】解：(1)∵a⊥b，
∴a⋅b=(1,x)⋅(2x+3,−x)=2x+3−x2=0
整理得：x2−2x−3=0
解得：x=−1，或x=3
(2)∵a/​/b
∴1×(−x)−x(2x+3)=0
即x(2x+4)=0
解得x=−2，或x=0
当x=−2时，a=(1,−2)，b=(−1,2)
a−b=(2,−4)
∴|a−b|=2 5
当x=0时，a=(1,0)，b=(3,0)
a−b=(−2,0)
∴|a−b|=2
故|a−b|的值为2 5或2．
【解析】(1)由a⊥b，a⋅b=0，我们易构造一个关于x的方程，解方程即可求出满足条件的x的值．
(2)若a/​/b，根据两个向量平行，坐标交叉相乘差为零，构造一个关于x的方程，解方程求出x的值后，分类讨论后，即可得到|a−b|.
本题考查的知识是数量积判断两个平面向量的垂直关系，向量的模，平行向量与共线向量，其中根据“两个向量平行，坐标交叉相乘差为零，两个向量若垂直，对应相乘和为零”构造方程是解答本题的关键．
16.【答案】解：(1)证明：设AC∩BD=O，连接EO，
因为O，E分别是BD，PB的中点
，所以PD//EO…(4分)
而PD⊄面AEC，EO⊂面AEC，
所以PD/​/面AEC…(7分)
(2)连接PO，因为PA=PC，
所以AC⊥PO，
又四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD…(10分)
而PO⊂面PBD，BD⊂面PBD，PO∩BD=O，
所以AC⊥面PBD…(13分)
又AC⊂面AEC，
所以面AEC⊥面PBD…(14分)
【解析】(1)设AC∩BD=O，连接EO，证明PD//EO，利用直线与平面平行的判定定理证明PD/​/面AEC．
(2)连接PO，证明AC⊥PO，AC⊥BD，通过PO∩BD=O，证明AC⊥面PBD，然后证明面AEC⊥面PBD
本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力．
17.【答案】C=π3；
6+ 21．
【解析】(1)因为ab=a2+b2−c2，由余弦定理，得到csC=a2+b2−c22ab=12，
又0