2024-2025学年上海市长宁区延安中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市长宁区延安中学高一（下）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设s=(x−1)4+4(x−1)3+6(x−1)2+4(x−1)+1，它等于下式中的( )
A. x4B. (x−1)4C. (x+1)4D. (x−2)4
2.已知n，m∈N，1≤m≤n，则下列等式中恒成立的是( )
A. Anm=n(n−1)(n−2)⋯(n−m)B. Cnm=n!(n−m)!
C. Cnm+Cnm−1=Cn+1m−1D. Anm+mAnm−1=An+1m
3.已知函数y=f(x)，其导函数y=f′(x)的图象如图所示，则下列命题中错误的
是( )
A. 函数y=f(x)有2个驻点
B. 函数y=f(x)在x=1处取得极小值
C. 函数y=f(x)有极大值，没有极小值
D. 函数y=f(x)在(−∞,3)上是严格增函数
4.已知有一组样本数据为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，若删掉其中的两个数据x和y，得到新的一组样本数据，则下列说法中一定错误的是( )
A. 若xy=18，则极差不变B. 若xy=18，则第75百分位数不变
C. 若x+y=11，则平均数不变D. 若x+y=11，则中位数不变
5.抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件A=“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，B=“n次中至多有一次正面朝上”.下列说法正确的是( )
A. 当n=2时，P(AB)=P(B)
B. 当n=2时，P(AB)=P(A)P(B)
C. 当n=3时，P(AB)=P(A)P(B)
D. 当n=3时，P(A+B)=P(A)+P(B)
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
6.已知随机事件A、B满足P(A)=15，P(A∩B)=17，则P(B|A)= ______．
7.从10名数学老师中选出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班.若老师甲必须参加且不安排在假期第一天值班，则不同的值班安排方法种数为______．
8.已知某游戏玩家玩一款过关游戏，第一关通过的概率是0.9，第二关通过的概率是0.7，则该游戏玩家连续通过第一关和第二关的概率为______．
9.某小组有男生4名，女生3名，若从这7人中任选3名代表，记选出的代表中男生人数为Y，则P(Y≥1)= ______．
10.若随机变量X服从二项分布B(3,13)，则P(X=1)= ______．
11.在一次满分为100分的数学考试中，学生的数学成绩X近似服从正态分布N(70,σ2).已知P(60≤X≤70)=0.3，则从中任选一名学生的数学成绩不低于80分的概率为______．
12.某校艺术节总汇演，已知高一，高二，高三分别选送了4，3，2个节目，若高一的节目彼此都不相邻，高二的节目必须相邻，共计有______种出场顺序．
13.在(2−x3)(1+x)10的展开式中，x5的系数是______．
14.已知抽样统计甲、乙两位同学8次数学成绩，绘制成如图所示的茎叶图，则成绩更稳定的那位同学成绩的方差为______．
15.某商店组织了一场盲盒抽奖活动，组织方共准备了20个盲盒，其中有5个盲盒内有奖品.抽奖者甲先拿起了一个盲盒，正在犹豫是否打开的时候，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为p，则p= ______．
16.某公司招聘员工分笔试和面试两个环节，应聘者需从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取的20道题，每道题答对得10分，答错不得分.甲答对笔试每道题的概率为23，答对面试每道题的概率为12.假设每道题都是相互独立的，则甲得______分的概率最大．
17.至少通过一个正方体的3条棱中点的平面个数为______．
三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题12分)
设(1−x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn，且Cn3=Cn7．
(1)求n与a0的值；
(2)求a2+a4+a6+a8+a10的值．
19.(本小题12分)
如图为某平台向100名观众征集某电影的评分结果的频率分布直方图．
(1)求m的值；
(2)估计这100名观众评分的平均数．
20.(本小题12分)
甲、乙两名同学最近50次的投篮情况如下：
用频率估计概率，解答下列问题．
(1)若从甲、乙两人中随机选择1人投篮1次，求投中的概率；
(2)若甲、乙两人各投篮2次，甲、乙每次投中与否相互独立，求至少投中3次的概率；
(3)设甲、乙进行投篮比赛，约定甲、乙轮流投篮，第一次由甲先投.规定：若其中一人比另一个人多投中2次，则停止比赛(例如：甲第一次投中，乙第一次未投中，甲第二次投中，则停止比赛，乙不再投第二次)，投中次数多的赢得比赛；若甲、乙都投完了5次，则也停止比赛，投中次数多的获胜，次数相同则为平局.甲、乙每次投中与否相互独立.求甲投了第三次后停止比赛的概率．
21.(本小题12分)
已知a∈R，f(x)=ax−(2a+1)lnx−2x．
(1)若x=1是函数y=f(x)的驻点，求a的值；
(2)当a≥12时，求函数y=f(x)的单调区间；
(3)当a=2时，对于任意的x∈[1,e]，是否存在n≥1，且n∈N，使得f(x)≤n−sinn−3成立，若存在，求n的取值范围？若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由于s=(x−1)4+4(x−1)3+6(x−1)2+4(x−1)+1=[(x−1)+1]4=x4，
故选：A．
根据二项式定理，所给的式子即[(x−1)+1]4的展开式，从而得出结论．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：对于A，Anm=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)，故A错误；
对于B，Cnm=n!m!(n−m)!，故B错误；
对于C，Cnm+Cnm−1=Cn+1m，故C错误；
对于D，Anm+mAnm−1=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)+mn(n−1)(n−2)⋯(n−m+2)
=(n−m+1+m)n(n−1)(n−2)⋯(n−m+2)
=(n+1)n(n−1)(n−2)…(n−m+2)
=An+1m，故D正确．
故选：D．
根据排列数公式、组合数公式对选项逐一进行分析．
本题主要考查了组合数公式和排列数公式的应用，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由导函数的图像知，x=1和x=3时，f′(x)=0，所以函数y=f(x)有两个驻点，A正确；
对于B，函数f(x)在(−∞,1)，(1,3)上单调递增，所以x=1不是极小值点，B错误；
对于C，函数f(x)在(−∞,1)，(1,3)上单调递增，在x=3右侧单调递减，则x=3为极大值点，所以函数y=f(x)有极大值，没有极小值，C正确；
对于D，当x∈(−∞,3)时，f′(x)≥0，函数y=f(x)在(−∞,3)上是严格增函数，D正确．
故选：B．
导函数为0的点有两个可判断A；函数f(x)在x=1左右两边单调性相同，所以x=1不是极小值点，B错误；根据极大值、极小值的定义进行判断，C正确；由当x∈(−∞,3)时f′(x)≥0且导数的零点不连续可判断D正确，综合可得答案．
本题考查函数导数与单调性的关系，涉及“驻点”、“极值点”的定义，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：有一组样本数据为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，
删掉其中的两个数据x和y，得到新的一组样本数据，
对于A，极差表示的是数据中最大值与最小值之差，
∵删掉的两个数据满足xy=18，所以x，y一定不是1和10．
∴此时极差仍为10−1=9，保持不变，故A正确；
对于B，删除两个数据前，
∵75%×10=7.5，∴第75百分位数为第8个数：8．
删除两个数据后，∵xy=18，∴x，y可能是2和9，3和6．
∵75%×8=6，∴第75百分位数为第6个数和第7个数的平均值．
当x，y是2和9时，第75百分位数为7+82=7.5；
当x，y是3和6时，第75百分位数为8+92=8.5；
可以发现，第75百分位数变了，所以B错误；
对于C，删除数据前，平均数为1+2+3+4+5+6+7+8+9+1010=5.5．
删除数据后，∵x+y=11，∴平均数为55−118=5.5，保持不变，故C正确；
对于D，删除数据前，中位数为5+62=5.5．
删除数据后，∵x+y=11，∴x，y可能是(1,10)，(2,9)，(3,8)，(4,7)，(5,6)．
此时中位数为5.5，保持不变，故D正确．
故选：B．
利用极差、百分位数、平均数和中位数的概念和性质对选项逐一判断即可．
本题考查极差、百分位数、平均数、中位数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由题意可知：抛掷一枚质地均匀的硬币，正面、反面向上的概率均为12，
且事件A−=“n次中均为正面朝上或均为反面朝上”，则P(A−)=(12)n+(12)n=12n−1，
则P(A)=1−P(A−)=1−12n−1，P(B)=(12)n+n×12×(12)n−1=n+12n，
且事件AB=“n次中仅有一次正面朝上”，则P(AB)=n×12×(12)n−1=n2n．
对于选项AB：若n=2，则P(A)=1−12=12，P(B)=322=34，P(AB)=222=12，
可得P(AB)≠P(B)，P(AB)≠P(A)P(B)，故AB错误；
对于选项CD：若n=3，则P(A)=1−122=34，P(B)=423=12，P(AB)=323=38，
可得P(AB)=P(A)P(B)，P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)=34+12−38=78，
即P(A+B)≠P(A)+P(B)，故C正确，D错误．
故选：C．
根据对立事件结合独立事件概率乘法公式求P(A)，P(B)，P(AB).对于AB：代入n=2，分析判断即可；对于CD：代入n=3，结合事件的运算分析判断．
本题考查对立事件、相互独立事件的概率相关知识，属于中档题．
6.【答案】57
【解析】解：因为随机事件A、B满足P(A)=15，P(A∩B)=17，
所以P(B|A)=P(AB)P(A)=1715=57．
故答案为：57．
利用条件概率公式代入计算即可．
本题考查条件概率公式，属于基础题．
7.【答案】144
【解析】解：从10名老师中选出3人安排值班，其中甲老师必须参加且不能安排在第一天，
首先，甲老师有2种选择(第二天或第三天)，
然后，从剩下的9名老师中选出2人安排在剩余的两天，共有A92=9×8=72种方法，
根据分步乘法计数原理，总的安排方法数为2×72=144种．
因此，不同的值班安排方法种数为144．
故答案为：144．
利用分步乘法计数原理求解．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
8.【答案】0.63
【解析】解：∵某游戏玩家玩一款过关游戏，第一关通过的概率是0.9，第二关通过的概率是0.7，
∴由相互独立事件概率乘法公式得：
该游戏玩家连续通过第一关和第二关的概率为：
P=0.9×0.7=0.63．
故答案为：0.63．
根据独立事件的概率相乘即可得到结果．
本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】3435
【解析】解：某小组有男生4名，女生3名，若从这7人中任选3名代表，
记选出的代表中男生人数为Y，
则Y=0表示3个女生，0个男生，故P(Y=0)=C33C40C73=135，
∴P(Y≥1)=1−P(Y=0)=3435．
故答案为：3435．
由题意知，从7人选3名代表，求选出男生人数至少为1人的概率，可以通过求对立事件：选中男生为0人的概率，进而得出答案．．
本题考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】49
【解析】解：随机变量X服从二项分布B(3,13)，
依题意，P(X=1)=C31(13)1(23)2=49．
故答案为：49．
利用二项分布概率公式计算即得．
本题考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】0.2
【解析】解：根据题意可知，学生的数学成绩X近似服从正态分布N(70,σ2)，P(60≤X≤70)=0.3，
根据正态分布的对称性P(70≤X≤80)=0.3，
所以P(X≥80)=P(X≥70)−P(70≤X≤80)=0.5−0.3=0.2．
故答案为：0.2．
根据正态分布的对称性和性质可求得某区间的概率．
本题考查了正态分布的对称性，属于基础题．
12.【答案】864
【解析】解：根据题意，高一，高二，高三分别选送了4，3，2个节目，若高一的节目彼此都不相邻，高二的节目必须相邻，
将高二3个节目捆绑，则有A33=6种排法，
再与高三2个节目进行排列进行排列有6A33=36种，
再将高一4个节目插入4个空，则有36A44=36×24=864种．
故答案为：864．
根据题意将高二3个节目捆绑，再结合排列组合相关知识可解．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
13.【答案】459
【解析】解：因为(2−x3)(1+x)10=2(1+x)10−x3(1+x)10，
所以x5的系数是2C105−C102=504−45=459．
故答案为：459．
首先将式子展开得2(1+x)10−x3(1+x)10，再利用二项式的展开通项分别求得对应的系数，则得到问题所要求的x5的系数．
本题考查了二项式展开式的通项公式，重点考查了二项式定理的应用，属中档题．
14.【答案】1174
【解析】解：由茎叶图得：
甲同学的8次成绩依次为：76、77、77、87、89、90、91、93，
甲同学的平均数为x1−=18(76+77+77+87+89+90+91+93)=85，
甲同学的方差为：
S12=18[(76−85)2+2(77−85)2+(87−85)2+(89−85)2+…+(93−85)2]
=18[(−9)2+2(−8)2+22+42+52+62+82]=1772，
由茎叶图得：
乙同学的8次成绩依次为：78、79、88、89、90、91、92、93，
乙同学的平均数为：
x2−=18(78+79+88+89+90+91+92+93)=87.5，
乙同学的方差为：
S12=18[(78−87.5)2+(79−87.5)2+(88−87.5)2+(89−87.5)2+…+(93−87.5)2]
=18[(−192)2+(−172)2+(12)2+(32)2+(52)2+(72)2+(92)2+(112)2]=1174．
∴乙同学的成绩更稳定，其方差为1174，
∴成绩更稳定的那位同学成绩的方差为1174．
故答案是：1174．
根据题意，由茎叶图分析读出甲乙的成绩，再由方差公式分别计算甲、乙的方差，结合方差的意义分析可得答案．
本题考查茎叶图、平均数、方差的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】1972
【解析】解：设事件A表示甲第一次拿的盲盒有奖，则A−表示甲第一次拿的盲盒无奖，B表示甲最终中奖．
因为共有20个盲盒，其中5个盲盒有奖，
所以P(A)=520=14，P(A−)=20−520=34．
若A发生，此时组织方拿走一个没有奖品的盲盒后，还剩19个盲盒，其中4个有奖，
甲再选另一个盲盒打开，则P(B|A)=418=29；
若A−发生，此时组织方拿走一个没有奖品的盲盒后，还剩19个盲盒，其中5个有奖，
甲再选另一个盲盒打开，则P(B|A−)=518．
所以P(B)=P(A)P(B|A)+P(A−)P(B|A−)
=14×29+34×518=1972．
所以p=1972．
故答案为：1972．
先计算甲第一次拿的盲盒有奖情况下，选择另外一个盲盒有奖的概率，再计算甲第一次拿的盲盒没有奖情况下，选择另外一个盲盒有奖的概率，然后利用全概率公式求解即可．
本题考查全概率公式，属于基础题．
16.【答案】120
【解析】解：某公司招聘员工分笔试和面试两个环节，
应聘者需从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取的20道题，
每道题答对得10分，答错不得分．甲答对笔试每道题的概率为23，答对面试每道题的概率为12．
假设每道题都是相互独立的，
设应聘者答对笔试和面试备选题分别x，y道的概率最大，
则P(x)=C10x(23)x(1−23)10−x=C10x(23)x(13)10−x，
P(y)=C10y(12)y(1−12)10−y=C10y(12)10
依题意，C10x(23)x(13)10−x≥C10x+1(23)x+1(13)9−xC10x(23)x(13)10−x≥C10x−1(23)x−1(13)11−x，解得193≤x≤223
∵x∈N，∴x=7，由题意知y=5时，P(y)最大，
∴甲得分为(7+5)×10=120的概率最大．
故答案为：120．
设应聘者答对笔试和面试备选题分别x，y道的概率最大，先利用二项分布概率公式列出概率表达式，依题列出不等式组求得193≤x≤223，根据x，y∈N*，求得x，y，继而得出答案．
本题考查二项分布概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17.【答案】81
【解析】解：12条棱的中点，任选3个点都不共线，则有C123=220个平面，
其中4个点共面有3+6+12=21个，6点共面有4个，重复的有21×(C43−1)+4(C63−1)=21×3+4×19=139．
所以共有220−139=81个．
故答案为：81．
利用排除法，结合点共面的性质进行求解即可．
本题主要考查简单计数问题，利用组合公式，减去不满足条件的平面个数是解决本题的关键，是中档题．
18.【答案】n=10，a0=1；
511．
【解析】(1)由Cn3=Cn7，得n=10，
在(1−x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn中，
取x=0，得a0=1，
所以n=10，a0=1．
(2)由(1)知，(1−x)10=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10，
当x=1时，a0+a1+a2+a3+⋯+a9+a10=0，
当x=−1时，a0−a1+a2−a3+⋯−a9+a10=210，
因此a0+a2+a4+a6+a8+a10=0+2102=512，
所以a2+a4+a6+a8+a10=511．
(1)利用组合数的性质求出n，取x=0求出a0．
(2)利用赋值法，结合(1)的结论求出a2+a4+a6+a8+a10的值．
本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题．
19.【答案】0.015；
79.5．
【解析】(1)由题意可得：(0.010+m+0.020+0.030+0.025)×10=1，解得：m=0.015．
(2)估计这100名观众评分的平均数为：x−=55×0.1+65×0.15+75×0.2+85×0.3+95×0.25=79.5．
(1)利用所有小长方形的面积和为1可得答案．
(2)将每个矩形的中点乘以每个矩形的高再乘以10后相加可估计平均数．
本题考查由频率分布直方图求参数、平均数，属于基础题．
20.【答案】1120；
39100；
63500．
【解析】(1)根据题意可知，甲同学的投篮命中率为3050=35，乙同学的投篮命中率为2550=12，
从甲、乙中随机选择1人投篮1次，投中的概率为12×35+12×12=1120；
(2)根据题意可知，甲、乙两人各投篮2次，至少投中3次的概率为
(35)2×12×12×2+(12)2×35×25×2+(35)2×(12)2=39100；
(3)根据题意可知，甲投了3次，则乙投了2次，又甲比乙多投中2次，则有2种情况，
第一种情况：甲投中了3次，乙投中了1次，
即甲每次投篮都投中，乙第一次投篮投中，第二次投篮没投中，其概率为(35)3×12×(1−12)=27500，
第二种情况，甲投中了2次，乙投中了0次，
即甲第一、三次投篮都投中，第二次投篮没投中，乙每次投篮都没投中；或甲第二、三次投篮投中，第一次投篮没投中，乙每次投篮都没投中，
其概率为(35)2×(1−35)×(1−12)2+(35)2×(1−35)×(1−12)2=36500，
所以甲投了第三次后停止比赛的概率为27500+36500=63500．
(1)求出甲、乙投篮的命中率，再由全概率公式计算可得；
(2)根据相互独立事件的概率公式计算可得；
(3)依题意甲投了3次，则乙投了2次，又甲比乙多投中2次，则有2种情况，第一种情况：甲投中了3次，乙投中了1次，第二种情况，甲投中了2次，乙投中了0次，根据相互独立事件的概率公式计算可得．
本题考查了相互独立事件的概率公式，属于基础题．
21.【答案】a=1；
当a=12时，函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，无单调递减区间；
当a>12时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1a)和(2,+∞)，单调递减区间为(1a,2)；
存在，n≥4，n∈N．
【解析】解：(1)由f(x)=ax−(2a+1)lnx−2x，x>0，
则f′(x)=a−2a+1x+2x2，
因为x=1是函数y=f(x)的驻点，
所以f′(1)=a−(2a+1)+2=0，解得a=1．
(2)由f(x)=ax−(2a+1)lnx−2x，x>0，
则f′(x)=a−2a+1x+2x2=ax2−(2a+1)x+2x2=(ax−1)(x−2)x2，
令f′(x)=0，得x=1a或x=2，
当a=12时，f′(x)=(12x−1)(x−2)x2=12⋅(x−2)2x2≥0，
则函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，无单调递减区间；
当a>12时，1a0，得0