2024-2025学年上海市长宁区延安中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市长宁区延安中学高一（下）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设s=(x−1)4+4(x−1)3+6(x−1)2+4(x−1)+1，它等于下式中的( )
A. x4B. (x−1)4C. (x+1)4D. (x−2)4
2.已知n，m∈N，1≤m≤n，则下列等式中恒成立的是( )
A. Anm=n(n−1)(n−2)⋯(n−m)B. Cnm=n!(n−m)!
C. Cnm+Cnm−1=Cn+1m−1D. Anm+mAnm−1=An+1m
3.已知函数y=f(x)，其导函数y=f′(x)的图象如图所示，则下列命题中错误的是( )
A. 函数y=f(x)有2个驻点
B. 函数y=f(x)在x=1处取得极小值
C. 函数y=f(x)有极大值，没有极小值
D. 函数y=f(x)在(−∞,3)上是严格增函数
4.已知有一组样本数据为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，若删掉其中的两个数据x和y，得到新的一组样本数据，则下列说法中一定错误的是( )
A. 若xy=18，则极差不变B. 若xy=18，则第75百分位数不变
C. 若x+y=11，则平均数不变D. 若x+y=11，则中位数不变
5.抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件A=“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，B=“n次中至多有一次正面朝上”.下列说法正确的是( )
A. 当n=2时，P(AB)=P(B)
B. 当n=2时，P(AB)=P(A)P(B)
C. 当n=3时，P(AB)=P(A)P(B)
D. 当n=3时，P(A+B)=P(A)+P(B)
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
6.已知随机事件A、B满足P(A)=15，P(A∩B)=17，则P(B|A)= ______．
7.从10名数学老师中选出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班.若老师甲必须参加且不安排在假期第一天值班，则不同的值班安排方法种数为______．
8.已知某游戏玩家玩一款过关游戏，第一关通过的概率是0.9，第二关通过的概率是0.7，则该游戏玩家连续通过第一关和第二关的概率为______．
9.某小组有男生4名，女生3名，若从这7人中任选3名代表，记选出的代表中男生人数为Y，则P(Y≥1)= ______．
10.若随机变量X服从二项分布B(3,13)，则P(X=1)= ______．
11.在一次满分为100分的数学考试中，学生的数学成绩X近似服从正态分布N(70,σ2).已知P(60≤X≤70)=0.3，则从中任选一名学生的数学成绩不低于80分的概率为______．
12.某校艺术节总汇演，已知高一，高二，高三分别选送了4，3，2个节目，若高一的节目彼此都不相邻，高二的节目必须相邻，共计有______种出场顺序．
13.在(2−x3)(1+x)10的展开式中，x5的系数是______．
14.已知抽样统计甲、乙两位同学8次数学成绩，绘制成如图所示的茎叶图，则成绩更稳定的那位同学成绩的方差为______．
15.某商店组织了一场盲盒抽奖活动，组织方共准备了20个盲盒，其中有5个盲盒内有奖品.抽奖者甲先拿起了一个盲盒，正在犹豫是否打开的时候，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为p，则p= ______．
16.某公司招聘员工分笔试和面试两个环节，应聘者需从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取的20道题，每道题答对得10分，答错不得分.甲答对笔试每道题的概率为23，答对面试每道题的概率为12.假设每道题都是相互独立的，则甲得______分的概率最大．
17.至少通过一个正方体的3条棱中点的平面个数为______．
三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题12分)
设(1−x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn，且Cn3=Cn7．
(1)求n与a0的值；
(2)求a2+a4+a6+a8+a10的值．
19.(本小题12分)
如图为某平台向100名观众征集某电影的评分结果的频率分布直方图．
(1)求m的值；
(2)估计这100名观众评分的平均数．
20.(本小题12分)
甲、乙两名同学最近50次的投篮情况如下：
用频率估计概率，解答下列问题．
(1)若从甲、乙两人中随机选择1人投篮1次，求投中的概率；
(2)若甲、乙两人各投篮2次，甲、乙每次投中与否相互独立，求至少投中3次的概率；
(3)设甲、乙进行投篮比赛，约定甲、乙轮流投篮，第一次由甲先投.规定：若其中一人比另一个人多投中2次，则停止比赛(例如：甲第一次投中，乙第一次未投中，甲第二次投中，则停止比赛，乙不再投第二次)，投中次数多的赢得比赛；若甲、乙都投完了5次，则也停止比赛，投中次数多的获胜，次数相同则为平局.甲、乙每次投中与否相互独立.求甲投了第三次后停止比赛的概率．
21.(本小题12分)
已知a∈R，f(x)=ax−(2a+1)lnx−2x．
(1)若x=1是函数y=f(x)的驻点，求a的值；
(2)当a≥12时，求函数y=f(x)的单调区间；
(3)当a=2时，对于任意的x∈[1,e]，是否存在n≥1，且n∈N，使得f(x)≤n−sinn−3成立，若存在，求n的取值范围？若不存在，请说明理由．
参考答案
1.A
2.D
3.B
4.B
5.C
6.57
7.144

9.3435
10.49
11.0.2
12.864
13.459
14.1174
15.解：设事件A表示甲第一次拿的盲盒有奖，则A−表示甲第一次拿的盲盒无奖，B表示甲最终中奖．
因为共有20个盲盒，其中5个盲盒有奖，
所以P(A)=520=14，P(A−)=20−520=34．
若A发生，此时组织方拿走一个没有奖品的盲盒后，还剩19个盲盒，其中4个有奖，
甲再选另一个盲盒打开，则P(B|A)=418=29；
若A−发生，此时组织方拿走一个没有奖品的盲盒后，还剩19个盲盒，其中5个有奖，
甲再选另一个盲盒打开，则P(B|A−)=518．
所以P(B)=P(A)P(B|A)+P(A−)P(B|A−)
=14×29+34×518=1972．
所以p=1972．
故答案为：1972．
16.解：某公司招聘员工分笔试和面试两个环节，
应聘者需从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取的20道题，
每道题答对得10分，答错不得分．甲答对笔试每道题的概率为23，答对面试每道题的概率为12．
假设每道题都是相互独立的，
设应聘者答对笔试和面试备选题分别x，y道的概率最大，
则P(x)=C10x(23)x(1−23)10−x=C10x(23)x(13)10−x，
P(y)=C10y(12)y(1−12)10−y=C10y(12)10
依题意，C10x(23)x(13)10−x≥C10x+1(23)x+1(13)9−xC10x(23)x(13)10−x≥C10x−1(23)x−1(13)11−x，解得193≤x≤223
∵x∈N，∴x=7，由题意知y=5时，P(y)最大，
∴甲得分为(7+5)×10=120的概率最大．
故答案为：120．
17.解：12条棱的中点，任选3个点都不共线，则有C123=220个平面，
其中4个点共面有3+6+12=21个，6点共面有4个，重复的有21×(C43−1)+4(C63−1)=21×3+4×19=139．
所以共有220−139=81个．
故答案为：81．
18.(1)由Cn3=Cn7，得n=10，
在(1−x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn中，
取x=0，得a0=1，
所以n=10，a0=1．
(2)由(1)知，(1−x)10=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10，
当x=1时，a0+a1+a2+a3+⋯+a9+a10=0，
当x=−1时，a0−a1+a2−a3+⋯−a9+a10=210，
因此a0+a2+a4+a6+a8+a10=0+2102=512，
所以a2+a4+a6+a8+a10=511．
19.(1)由题意可得：(0.010+m+0.020+0.030+0.025)×10=1，解得：m=0.015．
(2)估计这100名观众评分的平均数为：x−=55×0.1+65×0.15+75×0.2+85×0.3+95×0.25=79.5．
20.(1)根据题意可知，甲同学的投篮命中率为3050=35，乙同学的投篮命中率为2550=12，
从甲、乙中随机选择1人投篮1次，投中的概率为12×35+12×12=1120；
(2)根据题意可知，甲、乙两人各投篮2次，至少投中3次的概率为
(35)2×12×12×2+(12)2×35×25×2+(35)2×(12)2=39100；
(3)根据题意可知，甲投了3次，则乙投了2次，又甲比乙多投中2次，则有2种情况，
第一种情况：甲投中了3次，乙投中了1次，
即甲每次投篮都投中，乙第一次投篮投中，第二次投篮没投中，其概率为(35)3×12×(1−12)=27500，
第二种情况，甲投中了2次，乙投中了0次，
即甲第一、三次投篮都投中，第二次投篮没投中，乙每次投篮都没投中；或甲第二、三次投篮投中，第一次投篮没投中，乙每次投篮都没投中，
其概率为(35)2×(1−35)×(1−12)2+(35)2×(1−35)×(1−12)2=36500，
所以甲投了第三次后停止比赛的概率为27500+36500=63500．
21.解：(1)由f(x)=ax−(2a+1)lnx−2x，x>0，
则f′(x)=a−2a+1x+2x2，
因为x=1是函数y=f(x)的驻点，
所以f′(1)=a−(2a+1)+2=0，解得a=1．
(2)由f(x)=ax−(2a+1)lnx−2x，x>0，
则f′(x)=a−2a+1x+2x2=ax2−(2a+1)x+2x2=(ax−1)(x−2)x2，
令f′(x)=0，得x=1a或x=2，
当a=12时，f′(x)=(12x−1)(x−2)x2=12⋅(x−2)2x2≥0，
则函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，无单调递减区间；
当a>12时，1a0，得0