2024-2025学年四川省成都市实验外国语学校八年级下学期期末考试数学检测试卷

这是一份2024-2025学年四川省成都市实验外国语学校八年级下学期期末考试数学检测试卷，共44页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
成都市实验外国语学校 2024-2025 学年下期期末考试
八年级数学学科试题
考试时间：120 分钟 总分：150 分
注：1 ．本卷分为 A ，B 两卷，A 卷 100 分，B 卷 50 分；
2 ．所有题目在答题卷上作答．
A 卷（共 100 分）
第Ⅰ卷（选择题，共 32 分）
一、选择题（每小题 4 分，共 32 分；请将所选答案的字母代号填涂在答题卡上）
1 ．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A．
B．
C．
D．
2 ．下列各项变形是，是因式分解的是( )
A ．5 - m2 = (5 + m)(5 - m) B ．
C ．(a -1)(a - 2) = a2 - 3a + 2 D ．a2 + 4a + 4 = (a + 2)2
3 ．在平面直角坐标系中，将点A(3, -2) 向右平移 4 个单位长度后的对应点的坐标是( )
A ．(-1, -2) B ．(7,-2) C ．(3, -6) D ．(3, 2)
4 ．如果a > b ，则下列式子正确的是( )
A ．a - 3 < b - 3 B ．-a > -b C ． D ．3a < 3b
5 ．菱形和矩形都具有的性质是( )
A ．对角线互相垂直
B ．对角线相等
C ．对角线平分一组对角
D ．对角线互相平分并且是中心对称图形
6 ．若关于x 的一元二次方程(m + 1)x2 - 2x + 1 = 0 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ( )
A ．m < 0 且m ≠ -1 B ．m ≥ 0
C ．m ≤ 0 且m ≠ -1 D ．m < 0
7 ．如图，将直角三角形 ABC 沿着点 B 到点 C 的方向平移 3cm 得到三角形 DEF,且 DE 交 AC 于点 H ，AB ＝6cm ．BC ＝9cm ．DH ＝2cm ．那么图中阴影部分的面积为( )
A ．9 cm2 B ．10 cm2 C ．15 cm2 D ．30 cm2
8．施工队要铺设一段全长 2000 米的管道，因在高考期间需停工两天，实际每天施工需比原 来计划多 50 米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工 x 米， 则根据题意所列方程正确的是( )
B ．
D ．
第Ⅱ卷（非选择题，共 68 分）
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分；答案写在答题卡上）
9 ．如果代数式 有意义，则m 的取值范围是 ．
10 ．若 n 边形的外角和为(n - 2)×180° ,则 n = ．
11 ．把多项式x2 + mx + 6因式分解得(x+3)(x+2)，则 m = .
12 ．如图，在平行四边形ABCD 中， Ð ABC 的角平分线交AD 于点E ，上BCD 的角平分线 交AD 于点F ，若 AB = 7 ，BC = 10 ，则 EF 的长为( )
13 ．如图，△ABC 中，AB ＝AC，以点 C 为圆心，CB 长为半径画弧，交 AB 于点 B 和点 D，再分别以点 B 、D 为圆心，大于长为半径画弧， 两弧相交于点 M，作射线 CM 交 AB 于点 E ．若 AE ＝2 ，BE ＝1，则 EC 的长度是 ．
三、解答题（本大题共 5 个小题，共 48 分；解答过程写在答题卡上）
14 ．（1）分解因式 x3 - 4x2 + 4x ；
（2）解不等式组
（3）解方程
（4）解方程：x2 - 5x - 1 = 0 ．
15 ．先化简，再求值 请从-2 、-1 、0 、1 、2 中选择一个合适 的值代入求值．
16．如图所示的正方形网格中，△ABC 的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画 图和解答下列问题：
(1)将△ABC 沿 x 轴翻折后再沿 x 轴向右平移 1 个单位，在图中画出平移后的△A1B1C1 ．
(2)作△ABC 关于坐标原点成中心对称的△A2B2 C2 ．
(3)求△ABC 的面积．
17 ．如图， 。ABCD 中，O 是对角线AC 的中点， 过点 O 作直线分别交AB，CD 于点 E， F， 交AD，CB 的延长线分别于点 G ， H，连接 AH，CG ．
(1)求证：四边形AHCG 是平行四边形；
(2)当OE 丄 AB 时，且AE = 5 ，DF = 3 ，EF = 6 ， 求。ABCD 的面积．
18 ．如图 1 ，函数 与 x 轴交于点 A，与y 轴交于点 B，点 C 与点 A 关于y 轴对称．
(1)求直线 =的函数解析式；
(2)设点M 是 x 轴上的一个动点，过点 M 作y 轴的平行线，交直线AB 于点 Q，交直线BC 于 点 P．
①若△PQB 的面积为 ，求点 M 的坐标．
@连接BM ，如图 2，在点 M 的运动过程中是否存在点 P，使上BMP = 上BAC ，若存在，请 求出点 P 坐标，若不存在，请说明理由．
B 卷（共 50 分）
一、填空题（本大题 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分；答案写在答题卡上）
1 1 -2y + xy - 2x
19 ．已知实数 x，y 满足 + = 2，则 = ．
x y 3x + xy + 3y
20 ．根据如图所示的部分函数图像，可得不等式ax + b > mx + n 的解集为 ．
21 ．已知关于 x 的分式方程 = 1 的解为负数，则字母 a 的取值范围是 ．
22 ．如图， △ABC 中，AB = AC ，上BAC = a ，点 D 在△ABC 内部，且使得
上ABD = 上 则上ACD 的度数为 ．
23 ．如图，在平面直角坐标系中，AO = 8 ，BO = 6，点 C 在OA 上，点 D 在OB 上， OC = 2 ，分别连接BC，AD 交于 F 点．若上BFD = 45° ,则 F 的坐标为 ．
二、解答题（本大题共 3 个小题，共 30 分；解答过程写在答题卡上）
24 ．某学校为参加春运会的同学准备了钢笔和笔记本两种奖品，已知钢笔比笔记本每件多 12 元；学校计划用 1200 元购买钢笔，960 元购买笔记本，购买笔记本的数量是钢笔数量的 2 倍．
(1)求钢笔和笔记本两种奖品的单价．
(2)购买当日，正逢商店周年庆典，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案：
计划购买钢笔、笔记本两种奖品共 200 件，购买资金不少于 1856 元且不超过 1880 元，问购 买钢笔、笔记本两种奖品有哪几种方案？
25 ．如图，在正方形ABCD 中，AB = 2 ，点 E 为正方形ABCD 的对角线AC 上一动点．
(1)如图 1，过点E 作EF 丄 EB 交边CD 于点F ，当点F 在边CD 上时，求出EF 与BE 的大小 关系并证明；
(2)如图 2，在（1）的条件下，过点 F 作FG 丄 AC ，垂足为点 G，在点E 运动的过程中，EG
的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，请说明理由．
(3)如图3，若点 M是射线CD 上的一个动点，连接BE ，BM ，且始终满足CM = 2AE ，设 t = 2BE + BM ，求 t2 的最小值．
26 ．在平面直角坐标系xOy 中，对于直线l1 ：y = k1x 和直线l2 ：y = k2x ，在l1 上取一点A ， 在l2 上取一点B ，若 OA = m ，OB = n ，以 OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则平行四 边形OACB 为【k1 ，k2 ；m ，n 】的相关平行四边形， Ð AOB 称为【k1 ，k2 ；m ，n 】的
相关角，OA 的对边BC 称为【k1 ，k2 ；m ，n 】的相关对边．特别地，当k = 0 时，直线 y = kx ，即直线 y = 0 ，代表 x 轴．
例如：如图，l1 ： ，l2 ：y = 2x ，OA = 4 ，OB = 6 ，则平行四边形OACB 为【 ，2 ； 4 ，6 】的相关平行四边形， Ð AOB 为【 ，2 ；4 ，6 】的相关角，OA 的对边BC 为【 ， 2 ；4 ，6 】的相关对边．
(1)若平行四边形OACB 是【0 ， ；1 ，2 】的相关平行四边形，则【 0 ， ；1 ，2 】的 相关角的度数是______ ° ;
(2)若平行四边形 ODEF 是【 1 ，-1； m ，n 】的相关平行四边形，当点(4, -3) 在【 1 ，-1； m ，n 】的相关对边上时，求 n 的值；
(3)当【 k1 ，k2 ；m ，m 】的相关对边与【 k1 ，k3 ；m ，m 】（其中k2 ≠ k3 ）的相关对边都 经过点(1,5) 时，直接写出m 的取值范围．
1 ．B
【分析】本题考查识别轴对称图形与中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的概念 判断即可．识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．识别中心对称 图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与自身重合．
【详解】解：A ．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B ．既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意；
C ．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
D ．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B．
2 ．D
【分析】利用因式分解的定义判断即可．
【详解】解：A 、5 -m2＝（ 、 +m）（ 、/5 -m），故此选项不符合题意；
B 、 ），右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故此选项不符合题 意；
C、（a -1）（a -2）＝a2 -3a+2，是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意； D 、a2+4a+4＝（a+2）2 ，右边是几个整式的积的形式，属于因式分解，故此选项符合题意． 故选：D．
【点睛】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．
3 ．B
【分析】此题主要考查坐标与图形变化-平移．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左 移减；纵坐标上移加，下移减．根据坐标的平移规律解答即可．
【详解】解：将点 A(3, -2) 向右平移 4 个单位长度后的对应点的坐标是(3 +4, -2) ，即 (7,-2) ，
故选：B．
4 ．C
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，①不等式的两边同时加上（或减去）同一个 数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同 一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号 的方向改变；利用不等式的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：A ．: a > b ，: a - 3 > b - 3，原变形错误，故该选项不符合题意；
B ．: a > b ，:-a < -b ，原变形错误，故该选项不符合题意；
原变形正确，故该选项符合题意；
D ．: a > b ，: 3a > 3b ，原变形错误，故该选项不符合题意； 故选：C．
5 ．D
【分析】根据菱形与矩形都是特殊的平行四边形， 他们都具有平行四边形的性质，利用平行 四边形的性质排查即可．
【详解】菱形与矩形都是特殊的平行四边形， 具有平行四边形的性质，对角线互相平分，且 是中心对称图形，
A. 对角线互相垂直，菱形具有，而矩形不具有；
B. 对角线相等矩形具有，而菱形不具有；
C. 对角线平分一组对角菱形具有，而矩形不具有；
D. 对角线互相平分并且是中心对称图形菱形矩形都具有． 故选择：D．
【点睛】本题考查菱形与矩形的性质， 掌握菱形矩形是特殊的平行四边形，找出平行四边形 具有的性质解决问题是关键．
6 ．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)， 若 Δ = b2 - 4ac > 0，则方程有两个不相等的实数根，若 Δ = b2 - 4ac = 0，则方程有两个相等 的实数根，若 Δ = b2 - 4ac 0 且m +1 ≠ 0 ，解此不等式组即可求得答案．
【详解】解：Q 关于x 的一元二次方程(m + 1)x2 - 2x + 1 = 0 有两个不相等的实数根， : Δ = (-2)2 - 4(m +1) > 0 ，
解得：m < 0 ，
Qm +1≠ 0 ，
:m ≠ -1，
:m 的取值范围是：m < 0 且m ≠ -1． 故选：A．
7 ．C
【分析】根据平移的性质可得到相等的边和角，利用平行线分线段成比例可求出 EC，再根 据 S 四边形 HDFC ＝S△EFD -S△ECH 即可解答．
【详解】解：由平移的性质知，DE ＝AB ＝6cm ，HE ＝DE -DH ＝4cm ，CF ＝BE ＝3cm， HCⅡDF ， -1 ，
由 ② 得，x ≤ 1，
:不等式组的解集为-1< x ≤ 1； （3 ）
方程两边同时乘以最简公分母(x - 2)(x +2) 得，x (x + 2) + 6(x - 2) = (x + 2)(x - 2) ， 解得x = 1 ，
检验：把x = 1 代入(x - 2)(x + 2) 得，(x - 2)(x + 2) ≠ 0 ， : x =1 是原方程的解；
（4）x2 - 5x - 1 = 0 ，
Δ = (-5)2 - 4× 1 × (-1) = 29 > 0 ，
15 ． ，当 x =0 时，原式= 1；当 x =1 时，原式
【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算， 再把分子分母因式分解，则约分得到原
式 ，然后根据分式有意义的条件把 x =1 代入计算即可．
解
: x +1 ≠ 0 ，(2 + x )(2 - x ) ≠ 0 ， : x ≠ -1 ，x ≠ ±2 ，
:当x = 0 时，原式
或当x =1 时，原式 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值： 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求 出分式的值．
16 ．(1)见解析
(2)见解析 (3)2.5
【分析】本题主要考查了作轴对称的性质， 平移作图，中心对称作图，解题的关键是作出对 应点的坐标．
（1）先找出 A 、B 、C 先关于x 轴的对称点，再向右平移 1 个单位后的对应点A1 、B1 、
C1 ，然后顺次连接即可；
（2）先作出关于原点对称的点 A2 、B2 、C2 ，然后顺次连接即可；
（3）用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图， △A1B1C1 为所作三角形；
（2）解：如图，则△A2B2 C2 为所求作三角形；
（3）解：S△ABC = 2 × 3 - × 1 × 2 - × 1 × 2 - × 1 × 3 = 2.5 ．
17 ．(1)见解析 (2)48
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质：
（1）根据 □ABCD 中ADⅡBC 可得AG ∥HC ，再证 △GAO≌△HCO (AAS) ，推出 AG = CH ，即可判定四边形 AHCG 是平行四边形；
（2）先证 △EOA≌△FOC (ASA )，推出 CF = AE = 5 ，进而求出 □ABCD 的底和高，即可求出 面积．
【详解】（1）证明：Q YABCD 中，ADⅡBC ，
: AG ∥HC ，
: 上GAO = 上HCO ，上AGO = 上CHO ， 又Q O 是对角线AC 的中点，
: OA = OC ，
: △GAO≌△HCO (AAS) ，
: AG = CH ，
: 四边形AHCG 是平行四边形；
（2）解：Q YABCD 中，AB P DC ， : 上EAO = 上FCO ，
又Q OA = OC ，上EOA = 上FOC ，
: △EOA≌△FOC (ASA )，
: CF = AE = 5 ，
: CD = CF + DF = 5 + 3 = 8 ，
: AB = CD = 8 ，
Q OE 丄 AB ，
: EF 为YABCD 中AB 边上的高， : SY ABCD = AB . EF = 8 × 6 = 48 ．
18 ．
3 9 3 9
(2)①点M 的坐标为(2, 0) 或(-2, 0) ；；@点P 的坐标为P(- 2 , 16 ) 或P(2 , 20 ) ．
【分析】（1）先确定出点B 坐标和点A 坐标，进而求出点C 坐标，最后用待定系数法求出直 线BC 解析式；
（2）①先表示出PQ，最后用三角形面积公式即可得出结论；
@分点M在y 轴左侧和右侧，由对称得出上BAC = 上ACB ，上BMP + 上BMC = 90° ,所以，当
上MBC = 90° 即可，利用勾股定理建立方程即可求解．
解：对于 由x = 0 得：y = 2 ，:B(0, 2) ．
由y = 0 得 解得x = -6 ，: A(-6, 0) ， Q 点C 与点A 关于y 轴对称．
: C(6, 0)
设直线BC 的函数解析式为y = kx + b ， 解得
:直线BC 的函数解析式为
①设点M (m, 0) ，则点 点 过点B 作BD 丄 PQ 与点D ，
则
即 解得m = ±2 ，
故点M 的坐标为(2, 0) 或(-2, 0) ；
②如图，当点M在y 轴的左侧时，
Q 点C 与点A 关于y 轴对称，
:AB = BC ，
:上BAC = 上BCA ， Q上BMP = 上BAC ， :上BMP = 上BCA，
Q上BMP + 上BMC = 90° ,
:上BMC + 上BCA = 90°
:上MBC = 180° - (上BMC + 上BCA) = 90° ,
:BM 2 + BC2 = MC2 ，
设M (x, 0) ，则
:BM 2 = OM 2 + OB2 = x2 + 22 ，MC 2 = (6 - x) 2 ，BC2 = OC2 + OB2 = 62 + 22 = 40 ， : x 2 + 4 + 4 0 = (6 - x ) 2 ，解得
当点M在y 轴的右侧时，
2 20
同理可得P( , ) ，
3 9
综上，点P 的坐标为 或
【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形 的判定，勾股定理，坐标轴上点的特点，分类讨论是解本题的关键．
根据 得出x + y = 2xy ，变形 为 最后代入求 值即可．
即x + y = 2xy ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了分式的求值，解题的关键是由 得出x + y = 2xy ．
x y
20 ．x < 4
【分析】观察图象，直线y = ax + b 在y = mx + n 上方时对应 x 的取值范围即为不等式的解集． 【详解】由图象可得，
当直线y = ax + b 在y = mx + n 上方时，x 的取值范围为x < 4 ，
则不等式ax + b > mx + n 的解集为x < 4 ， 故答案为：x < 4 ．
【点睛】本题考查根据一次函数交点求不等式的解集，熟练掌握一次函数与不等式的关系是 解题的关键．
21 ．a < -1 且a ≠ -2
【分析】解分式方程得 x = a + 1，由题意可知 a +1 < 0 ，当 x = -1 时，a = -2 ，方程有增根． 【详解】解：方程两边同时乘以 x +1，得
2x - a = x +1 ，
解得：x = a + 1 ， ∵解为负数，
: a +1< 0 ， : a < -1 ，
当x = -1 时，a = -2 ， : a < -1 且a ≠ -2 ，
故答案为：a < -1 且a ≠ -2 ．
【点睛】本题考查分式方程的解； 熟练掌握分式方程的解法，对分式方程切勿遗漏增根的情 况是解题的关键．
22 ．30° ## 30 度
【分析】本题主要考查了三角形的综合问题，涉及等腰三角形的等边三角形的判定和性质， 全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，有一定难度，根据题意做出适当的辅助线是 解题的关键．
如图，在 △ABC 内作上CAE = 上BAD ，且使得AE = AD ，连DE, CE ，证明 △ABD≌△ACE ， 得到△ACE 为等腰三角形，再证明△ADE 为等边三角形，推出 △DCE 为等腰三角形，由三
角形外角的性质得出上ACD = 上AED 即可．
【详解】如图，在 △ABC 内作上CAE = 上BAD ，且使得 AE = AD ，连DE, CE ，
Q在△ABD 和△ACE 中，
ï
ì AB = AC
í上BAD = 上CAE ， ïl AD = AE
:△ABD≌△ACE (SAS) ， : BD = EC ，
Q 上ABD = 上BAD ，
: △ABD 为等腰三角形，AD = BD ，
: △ACE 为等腰三角形，AD = EC = BD = AE ，
Q 上CAE = 上BAD ，上BAC = a ，上BAD = - 30° ,
:上DAE = 上BAC - 上BAD - 上CAE
= 60°,
:△ADE 为等边三角形，
:DE = AE = CE,
: △DCE 为等腰三角形， 延长 CE 交 AD 于 F 点，
,
Q 上AEF = 上EAC + 上ECA
,
上DEF = 上ECD + 上EDC
:上AED = 上AEF + 上DEF
= 2上ACE + 2上DCE
= 2 (上ACE + 上DCE)
= 2上ACD,
故答案为：30° .
23 ．
【分析】在 x 轴负半轴上取点 构造 △AOG ∽△BOC ，推出
ÐGAO = ÐCBO ，进而证明 GK Ⅱ BC ， ÐAKG = ÐKAG = 45° ,推出 AG = GK ，再证
△AOG≌△GHK (AAS)，根据对应边相等求出点 K 的坐标， 将直线AK 与BC 的解析式联立， 即可得出交点 F 的坐标．
【详解】解：Q BO = 6 ，OC = 2 ， : = ，
如图，在 x 轴负半轴上取点 作GK 丄 AG 交AD 的延长线于点 K，作 KH 丄 x 轴于点 H，
Q ÐGAO + ÐAGO = 90° , ÐKGB + ÐAGO = 90° ,
: ÐGAO = ÐKGB ；
OG OC 1
Q ÐAOG = ÐBOC = 90° , = = ，
OA OB 3
: △AOG ∽△BOC ，
: ÐGAO = ÐCBO ，
: ÐKGB = ÐCBO ，
: GK Ⅱ BC ，
: ÐAKG = ÐBFD = 45° ,
又Q GK 丄 AG ，
: ÐAKG = ÐKAG = 45° ,
: △KAG 是等腰直角三角形，
: AG = GK ，
又Q ÐAOG = ÐGHK = 90° , ÐGAO = ÐKGH ， : △AOG≌△GHK (AAS)，
设直线AK 的解析式为y = kx + b ，
将 代入，得 ， 解得 ，
:直线AK 的解析式为y = -2x + 8 ，
同理可得直线BC 的解析式为 ， 联立
解得 ，
:直线AK 与直线BC 的交点坐标为 ， 即 F 的坐标为 ，
故答案为
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质， 求一次函数解析式，两条直线的交点问题，平 行线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等，合理做出辅助线是解题 的关键．
24 ．(1)钢笔的单价为 20 元，笔记本的单价为 8 元
(2)有 3 种方案，①购买钢笔 60 件，则购买购买笔记本 140 件；②购买钢笔 61 件，则购买 购买笔记本 139 件；③购买钢笔 62 件，则购买购买笔记本 138 件
【分析】本题考查分式方程的实际应用、 一元一次不等式组的实际应用，理解题意列出方程 是解题的关键．
（1）设购买笔记本的单价为 x 元，则钢笔的单价为(x +12) 元，根据题意列分式方程求解即
可；
（2）设购买钢笔 a 件，则购买购买笔记本(200 - a )件，根据题意列一元一次不等式组求得 a 的取值范围，即可求解．
【详解】（1）解：设购买笔记本的单价为 x 元，则钢笔的单价为(x +12) 元，
根据题意，得 ， 解得x = 8 ，
经检验x =8 是原方程的解， : x + 12 = 20 ，
答：钢笔的单价为 20 元，笔记本的单价为 8 元；
（2）解：设购买钢笔 a 件，则购买购买笔记本(200 - a )件， 根据题意，得1856 ≤ 0.8 × 20a + 8 (200 - a ) ≤ 1880 ，
解得 ，
:整数 a 的值为 60 ，61 ，62， :有 3 种方案，如下：
①购买钢笔 60 件，则购买购买笔记本 140 件； @购买钢笔 61 件，则购买购买笔记本 139 件；
③购买钢笔 62 件，则购买购买笔记本 138 件．
25 ．(1) EB = EF
(2) EG 的长度不变，值为 /2 ，理由见解析
(3) 20 + 8
【分析】（1）连接 ED ， 证 △ECB≌△ECD (SAS) ，得 EB = ED ， ÐCBE = ÐCDE ，再证
ÐEFD = ÐCDE ，则 DE = EF ，即可得出结论；
（2）连接BD ，如图 2 ．首先证得 △BOE≌△EGF ，则有BO = EG ，只需求出BO 的长即可 得解；
（3）过点D 在正方形外构造作 △ABE≌△CRS(SAS) ，然后取中位线得KM = 2RS = 2BE ，从 而可得t = 2BE + BM = MK + BM ，再构造直角三角形求出 BK2 即可得出结论．
【详解】（1）解：连接 ED ，如图 1 所示：
∵四边形ABCD 是正方形，
: CB = CD ， ÐECB = ÐECD = 45° , 在 △ECB 和 △ECD 中，
:△ECB≌△ECD (SAS) ，
:EB = ED ， ÐCBE = ÐCDE ， Q EF 丄 EB ，
: ÐBEF = 90° ,
又∵ ÐBCD = 90°
:ÐCBE + ÐCFE = 180° ,
Q ÐCFE + ÐEFD = 180° ,
:ÐEFD = ÐCBE ，
:ÐEFD = ÐCDE ，
:DE = EF ，
:BE = EF ；
（2）解：点 E 在运动过程中，EG 的长度不变，值为、 ．理由如下： 连接BD ，与 AC 相交于点O ，如图 2．
:四边形ABCD 是正方形， : 上BOE = 90° ,
: EF 丄 EB ，即 上BEF = 90° ,
: 上EBO = 90° - 上BEO = 上FEG ， : FG 丄 AC ，即 上EGF = 90° , :上BOE = 上EFG ，
在△ BOE 和△EGF 中，
: △BOE≌△EGF (AAS)， :BO = EG ，
:四边形ABCD 是正方形，
: OB = OA ，上AOB = 90° ,
: AB2 = 2OB2 ，
Q AB = 2 ，
负值不合题意，已经舍去)
:点E 在运动过程中，EG 的长度不变，值为、 ；
（3）解：如图 3 所示：过点C 在正方形外作上KCD = 45° , 使KC = 2AB = 4 ，取KC 、MC 中点R 、S ，连接KM 、BK 、RS ，过K 点作KT丄 BC ，垂足为T ，
: KM = 2RS ，上KCT = 90° - 上KCD = 45° , : KT = CT = 2 ，
:四边形ABCD 是正方形，
:上ACB = 上ACD = 上BAE = 45°
:上BAE = 上KCT = 45° ,
Q MC = 2AE ，MS = CS ， : AE = CS ，
又 : △ABE≌△CRS(SAS) ， : BE = RS ，
: 2BE = 2RS = MK ，
: t = 2BE + BM = MK + BM
即：当B 、M 、K 三点共线时，t 最小，t2 的最小值为t2 = BK2 ， : BT = BC + CT = 2 + 2 ，
在Rt△BHG 中，由勾股定理得：BK2 = BT2 + KT2 = (2 + 2)2 + (2)2 = 20 + 8 ，
: t2 的最小值为20 + 8 ．
【点睛】本题是四边形综合题目， 考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直 角三角形的判定与性质、勾股定理等知识， 本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰直
角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
26 ．(1)120 或60
(3) < m ≤
【分析】本题考查了正比例函数与平行四边形的性质， 正方形的性质，菱形的性质，勾股定 理的应用；
（1）根据题意得出两条直线为 y = 0 ，y = 3x ，则 上AOB = 60° 或上AOB = 120° ;
（2）先得出点(2, 2) 是在矩形的边上，根据题意画出图形，即可求解；
（3）根据新定义，设M(1, 5)，勾股定理求得OM ，进而分M在边上和对角线上两种情况求 得临界值，即可求解．
【详解】（1）解：如图，
∵平行四边形OACB 是【0 ， ；1 ，2 】的相关平行四边形， :l1 为x 轴，l2 为y = x ，OA = 1, OB = 2 ，
过点A 作AD 丄 x 轴，
∵ A (1, 0)，代入 y = x ，得 y = : AD =
取OD 的中点E ，连接OE, AE ，则 OE = AE = OA = 1
:△OAE 是等边三角形， : 上DOA = 60°
: 上AOB = 120° ,则【 0 ， ；1 ，2 】的相关角的度数是120°
当B 在第一象限时，B, D 重合，此时上AOB = 60° ,则【 0 ， ；1 ，2 】的相关角的度数 是60°
故答案为：120 或60 ．
（2）解：∵平行四边形ODEF 是【1 ，-1； m ，n 】的相关平行四边形 :四边形ODEF 是矩形，
①当点(4, -3) 在直线y = x + b 上时，-3 = 4 + b ，解得：b = -7 ，则 y = x - 7
联立 解得
②当点(4, -3) 在直线y = -x + b 上时，-3= -4 + b ，解得：b = 1，则 y = -x +1 联立 解得：
综上所述，n 的值为 或 ；
（3）解：点(1,5) 与原点的距离为 设M(1, 5)，
∵【 k1 ，k2 ；m ，m 】的相关对边与【 k1 ，k3 ；m ，m 】（其中k2 ≠ k3 ）的相关对边都经过 点(1,5) 时
又OA = OB ，则平行四边形 OAMB 是菱形，则M为菱形的顶点，
①当M 在y = k2x 上时，则 ，此时 m 取得最大值，如图所示
②当M在菱形的对角线上时，且菱形AODM 为正方形时，菱形的边长最小，即m 取得最
小值的临界值（取不到最小值），如图所示，菱形 AODM , AOCB ，OA 的对边分别为 BC, DM ，
: OC = OD ，又k2 ≠ k3 ，要使CB 经过M 点，则 即m > 、