广东省深圳市南山区2024-2025学年七年级下学期期末数学试题

这是一份广东省深圳市南山区2024-2025学年七年级下学期期末数学试题，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列四种中国古代青铜器上的纹饰中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列运算中正确的是（ ）
A．(a−b)2=a2+b2B．a⋅a6=a6
C．6a6÷2a3=3a2D．(a3)2=a6
3．如图，小明将一块直角三角板摆放在直尺上，直角顶点落在直尺的边上。若∠1=55°，则∠2的度数为（ ）
A．255°B．35°C．455°D．555°
4．下列说法正确的是（ ）
A．小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件；
B．从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的概率为35。
C．买一张中国福利彩票，中奖是必然事件：
D．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为12，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上。
5．茶文化是中国对茶认识的一种具体表现，其内涵与茶具设计之间存在着密不可分的联系。如图，向茶杯中匀速注水，下列哪幅图象能较好刻画出茶杯中水面高度的变化情况（ ）
A．B．
C．D．
6．在体育课上，老师组织同学们进行跳远练习，如图是小深跳远时沙坑的示意图，测量成须时先用皮尺从后脚印的点A处垂直拉至起跳线1的点B处，然后记录AB的长度，这样做的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短：B．过两点有且只有一条直线；
C．垂线段最短；D．过一点可以作无数条直线。
7．如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A，B处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接最出A，B间的距离。为此，小明和小华两位同学提供了如下测量方案：
对于方案1和方案2，下列说法正确的是（ ）
A．1、2都不可行B．1不可行、2可行
C．1可行、2不可行D．1、2都可行
8．如果将（a+b）n（n为非负整数）的展开式每一项按字母ɑ的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：
观察上述每个式子的各项系数，我们可以得到如右图所示的数表，这就是我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到的数表“杨辉三角”，他揭示了（a+b）n展开后的各项系数的规律。根据这个表，（a+b）7的展开式中所有项系数的和为（ ）
A．128B．256C．512D．108
二、填空题（每小题3分，共15分，请将正确的答案填在答题卡上）
9．若am=2，a"=8，则am+n= 。
10．一个不透明的袋子里装有红、蓝两种颜色的球共40个，每个球除颜色外都相同，每次摸球前先把球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋子里，不断重复这一过程，将实验后的数据整理成下表：
请估计袋中红球的个数是 。
11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=52°，D、E分别在AB、AC上，将ADE沿DE折叠得到△FDE，且满足EF//AB，则∠EDF= .
​​
12．小南设计了如下的运算程序：任意写下一个三位数（三位数字相同的除外），重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减去最小的数，得到差。重复这个过程，则按照此程序运算2025次后得到的数是 。
13．如图，在△ABC中，AC⊥BC，AC=BC，点D在△ABC内部，且满足∠ADC=90°，若CD=6，则△BCD的面积为 .
三、解答题（本题共7小题，其中第14题8分，第15题7分，第16题8分，第17题9分，第18题9分，第19题10分，第20题10分，共61分）
14．计算
（1）(−1)2025−(π−2025)0+(12)−1；
（2）(2x2y)2×(−xy2)÷x4y3。
15．化简与求值：
[（2a+b）2-（2a+b）（2a-b）]÷2b，其中a=2，b=-1。
16．如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度。
（1）请画出四边形ABCD关于直线m成轴对称的四边形A'B'C'D'：
（2）请在直线m上确定一点P，使PC+PD最短。
17．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=30°。
（1）请用尺规作线段BC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点B：（保留作图痕迹，不用写作法）
（2）在（1）的条件下，AD和DE相等吗？请说明理由。
18．如果不复习，学习过的知识会随时间的推移而逐渐被遗忘。德国心理学家艾宾浩斯最早研究了记忆遗忘规律。他根据自己得到的测试数据描绘了一条曲线（如图所示），这就是艾宾浩斯遗忘曲线。
观察图象，回答下列问题：
（1）自变量是 ，因变量是 .
（2）由图象知，遗忘速度先 后 ；记忆留存率随学习后时间的增长而逐渐 .
（3）请说明图中点B的实际意义：
（4）有研究表明，如及时复习，经过一天记忆能保持98%。由此，你对数学学习有什么感悟？
19．综合与实践
数形结合是一种重要的数学思想方法，借助图形的直观性，可以对很多数学问题进行直观推导。在学习整式乘法运算时，启航小组同学利用图1所示的正方形和长方形卡片拼成了如图2所示的大正方形，发现这个图形可以直观解释完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2。
（1）【初步体验】
①领航小组同学拼出了如图3所示的长方形，这个图形可以解释的等式为 .
②护航小组同学要拼成一个长为（a+3b），宽为（a+b）的长方形，那么需要A型卡片 张，B型卡片 张，C型卡片 张：
（2）【实践操作】
从A，B，C三种卡片中选取几张，用它们拼成一个面积为（2a2+5ab+2b2）的长方形，请在图4方框中画出你的拼图：
（3）【实践探究】
远航小组同学用5张C类卡片按图5所示方式不重叠地放在长方形BFGH内，阴影部分的面积S1与S2的差与EH的长度无关，设EH的长为x，请探究a与b的数量关系，并说明理由。
20．在面对复杂数学问题时，“特殊化与转化”是重要的问题解决策略。从特殊图形出发，将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，将一般转化为特殊，有助于我们发现解决问题的思路。
【问题背景】
如图1，在等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上任意一点，且BD=CE，连接AD、BE，AD与BE相交于点O。
（1）【特例感知】
当点D为BC中点，点E为AC中点时，请直按写出线段AD与BE的数量关系 ，∠AOE= ；
（2）【一般探究】
当D、E分别为边BC，AC上任意一点时，第一问的结论还成立吗？请说明理由：
（3）【拓展延伸】
如图2，在等边△ABC中，P、M分别为边AB、AC上的点，且AM=BP，过点P作PQ//BE交AC于点Q，交AD于点G；过点M作MN∥AD交BC于点N，交BE于点F，则
①∠MFE= .
②求证：PQ=MN。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、 不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、是轴对称图形，故B符合题意；
C、不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、不是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形的定义：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；根据定义逐一判断即可解答.
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】
解：A、(a−b)2=a2−2ab+b2，计算错误，故A不符合题意；
B、a⋅a6=a7，计算错误，故B不符合题意；
C、6a6÷2a3=3a3，计算错误，故C不符合题意；
D、 (a3)2=a6，计算正确，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式得(a−b)2=a2−2ab+b2，可判断A；根据同底数幂的乘法得a⋅a6=a7，可判断B；根据同底数幂得除法得6a6÷2a3=3a3，可判断C；根据幂的乘方得(a3)2=a6，可判断D；逐一判断即可判断.
3．【答案】B
【知识点】角的运算；补角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，∵∠1=55°，AB//CD，
∴∠3=∠1 =55°，
∴∠2= 180°-90°-∠3=35°.
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质得到∠3=∠1 =55°，再结合三角板的特殊角根据角度的和差运算即可解答.
4．【答案】A
【知识点】事件的分类；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：
A、随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，掷3颗骰子，3颗全是6点朝上是可能发生但不必然发生的事件，因此属于随机事件，故A正确；
B、从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，偶数为2和4，共2个，概率应为25，故B错误；
C、买中国福利彩票中奖是可能发生但非必然发生的事件，属于随机事件，而非必然事件，故C错误
D、拋硬币正面朝上的概率为12，连续抛2次的结果可能为(正正)、 (正反)、(反正)、(反反)，其中“必有1次正面”不成立(如两次均为反面)，故D错误；
故答案为：A.
【分析】根据随机事件的定义：随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，可判断A，C；根据概率的公式可求解从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，偶数为2和4，概率应为25，可判断B；根据概率的定义可判断D；逐一判断即可解答.
5．【答案】B
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：∵茶杯下细上粗，
∴水面高度在茶杯中上升的速度先快后慢；
故答案为：B.
【分析】根据茶杯的形状可判断水面高度上升的速度，由此即可解答.
6．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：这样做的理由是垂线段最短，
故答案为：C.
【分析】垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，由此判断即可解答.
7．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：方案1：在△AOB与△COD中，
AO=OC，∠AOB=∠COD，OB= OD，
∴△AOB≅△COD(SAS)，
∴AB=CD.
方案2：在△AOB与△EOF中，
AO=EО，
∠AOB=∠EOF，
OB=OF
∴△AOB≅△EOF(SAS)，
∴AB=EF.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件发现方案1，方案2都可以利用SAS证明两个三角形全等，即两种方案都可行，由此即可解答.
8．【答案】A
【知识点】有理数的乘方法则；探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：当n=0时，展开式中所有项的系数和为1，
当n= 1时，展开式中所有项的系数和为2=2' ，
当n=2时，展开式中所有项的系数和为4=22 ，
当n=3时，展开式中所有项的系数和为8=23，
由此可知(a+b)n展开式中所有项的系数和为2n，
则(a+b)7展开式中所有项的系数和是27=128.
故答案为：A.
【分析】根据多项式展开式的系数观察发现(a+b)n展开式中所有项的系数和为2n，由此即可解答.
9．【答案】16
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解： ∵ am+n= am· an， 且am=2，an=8
∴ am+n=2×8=16
故答案为：16.
【分析】根据同底数幂的乘法公式的逆用可得am+n= am· an， 代入数值计算即可解答.
10．【答案】10
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：观察表格中数据，随着摸球次数增加(500次及以上)， 摸到红球的频率稳定在0.25左右，因此可估计摸到红球的概率约为0.25，
设袋中红球个数为x总球数为40得到：x40=0.25，
解得x=10
故答案为：10.
【分析】根据大量重复试验中频率的稳定性，当试验次数足够多时，频率会趋近于概率，由此计算即可解答.
11．【答案】71°
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）；补角；两直线平行，同位角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图：
∵∠C=90°，∠B=52°，
∴∠A=38°，
∵EF//AB
∴∠BDF=∠A=32°
由折叠的性质得∠EDF=∠ADE，
∴ ∠EDF180°−38°2=71°
故答案为：71°.
【分析】先由直角三角形两锐角互余可求出∠A=38°， 根据折叠的性质得∠EDF=∠ADE，再根据EF // AB得∠BDF=∠A=32°，然后根据平角的定义计算即可解答.
12．【答案】495
【知识点】有理数的减法法则；探索规律-计数类规律
【解析】【解答】解：根据题干任意写下一个三位数（三位数字相同的除外）
以三位数321为例：
1.最大数： 321，最小：123 差： 321 - 123= 198，
2.最大数：981，最小数： 189差： 981- 189= 792，
3.最大数： 972，最小数： 279差： 972 - 279=693，
4.最大数： 963， 最小数： 369差：963- 369= 594
5.最大数： 954， 最小数： 459差： 954-459= 495，
6.最大数：954，最小数： 459差： 954-459= 495 ，
开始重复我们发现，从第5步开始，结果稳定在495
故答案为：495.
【分析】题干描述的这个过程其实是一个迭代过程，对于大多数三位数，经过几次这样的操作后，结果会收敛到一个固定值，即不再变化，逐一计算即可解答.
13．【答案】18
【知识点】垂线的概念；三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：如图：过点B作CD延长线的垂线交于点E，
∵BE⊥CD， AD⊥DC
∴∠ADC=∠BEC
∵AC⊥BC
∴∠ACD+∠BCE=90°；∠ACD+∠CBE=90°；
∴∠ACD=∠EBC，
∵AC=BC，
∴∆ACD≅∆CBE(AAS)
∴BE=CD=6，
∴ △BCD的面积12×6×6=18.
故答案为：18.
【分析】根据一线三垂直的全等模型利用AAS判定∆ACD≅∆BCE，利用全等三角形的性质可得BE=CD=6，再利用三角形的面积公式计算，解答即可.
14．【答案】（1）解：原式=-1-1+2
=0
（2）解：原式=4x4y2· (−xy2)÷x4y3
=-4xy
【知识点】单项式乘单项式；零指数幂；负整数指数幂；积的乘方运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】(1)根据乘方的运算得 (−1)2025=−1，计算零指数幂得(π−2025)0=1，计算负指数幂得(12)−1=2，最后计算加减即可解答；
(2)先计算积的乘方得到(2x2y)2=4x4y2，再依次计算乘除即可解答.
15．【答案】解：原式=(4a2+4ab+b2-4a2+b2)÷2b
=(4ab+2b2)÷2b
=2a+b
当a=2，b=-1时，
原式=2×2−1=3
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；多项式除以单项式；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】根据完全平方公式展开 （2a+b）2 =4a2+4ab+b2 ， 根据平方差公式展开 （2a+b）（2a-b 得4a2-b2，合并化简得4ab+2b2，再进行多项式的除法运算，最后代入a=2，b=-1，计算即可解答.
16．【答案】（1）解：如图：
（2）解：如图：
【知识点】两点之间线段最短；轴对称图形；作图﹣轴对称；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】
（1）根据花轴对称图形的方法：画出四边形ABCD关于直线m成轴对称的四边形A'B'C'D' ，即可解答；
（2）根据将军饮马模型： PC = PC ‘，因而连接D，C’与m的交点即为P点，解答即可.
17．【答案】（1）解：如图所示
（2）解：相等，理由如下：
∵ ∠A=90° ，
∴DA⊥AB，
∵BC的垂直平分线为DE
∴DB=DC
∵∠C=30°，∠A=90° ，
∴∠C=∠DBC=30° ，∠ABC=60° ，
∴∠ABD=30° ，
∴BD平分∠ABC
∵DA⊥AB，DE⊥BC，
∴AD=DE
【知识点】垂线的概念；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）分别以B，C为圆心画弧，按照基本的尺规作图步骤即可解答；
（2）结合作图先证明∠C=∠DBC=30°，从而得到BD平分∠ABC，再根据角平分线的性质可知AD=DE，解答即可.
18．【答案】（1）学习后的时间x；记忆留存率y
（2）快；慢；减少
（3）解：学习后第1个小时，记忆留在李为44.2%；
（4）解：建议学习新事务和新知识后要及时复习，做到温故知新。
【知识点】函数的图象；通过函数图象获取信息；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】
解：（1）观察图像，横坐标为学习后的时间x，是自变量；纵坐标是记忆留存率y，是因变量；
故答案为：学习后的时间x；记忆留存率y；
（2） 由图象知，遗忘速度先 快后慢； 记忆留存率随学习后时间的增长而逐渐减少；
故答案为：学习后第1个小时，记忆留在李为44.2%；
【分析】（1）观察图像，即可答案；
（2）由图象知，观察即可得到答案；
（3） 如及时复习，经过一天记忆能保持98% ，因而需要即时复习；因此提出的意见应该与复习有关；写出合理的建议即可.
19．【答案】（1）(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2；1；3；4
（2）解：
（3）解： S2-S1=2b（x-a）-a(x-3b)=2bx-2ba-ax+3ab=(2b-a)x+ab
∵阴影部分的面积S1与S2的差与EH的长度无关，
∴2b-a=0，
∴a=2b.
【知识点】多项式乘多项式；等分面积模型
【解析】【解答】
解：（1）如图3：
①根据长方形的面积公式图3的为：（a+b）(a+2b)
观察图形由1个A为a2，3个C为3ab，2个B为2b2构成，因而可得：(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2
②∵（a+3b)(a+b）=a2+4ab+3b2
∴需要A型卡片2 张，需要B型卡片3 张，需要C型卡片4 张， 故答案为：①(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2；②1，3，4；
【分析】(1)①利用等面积法，即可表示出(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2，②根据多项式的乘法计算可得
（a+3b)(a+b）=a2+4ab+3b2，即可解答；
（2） 拼成一个面积为（2a2+5ab+2b2） 只需A型卡片1 张，需要B型卡片2 张，需要C型卡片5 张，画出图形即可解答；
（3）根据米娜及关系表示出 S2-S1=(2b-a)x+ab，结合题干与EH的长度无关即2b-a=0，解答即可.
20．【答案】（1）解：AD=BE；60°
（2）解：成立，理由如下：
∵ △ ABC是等边三角形，
∴AB = BC，∠ABD =∠C= 60°.
在△ABD和△BCE中，
AB = BC，
∠ABD=∠C，
BD=CE，
∴△ABD≌△BCE(SAS).
∴AD=BE，∠BAD=∠CBE，
∴∠AOE=∠OBA+∠BAD=∠OBA+∠CBE=∠CBA=60°，
∴AD=BE ， ∠AOE =60°，仍然成立.
（3）解： ① 60°；
②证明：∵∠APQ +∠PAQ+∠PQA= 180°，
∠MFE +∠MEF+∠FME=180°，且∠PAQ=∠MFE = 60°，
∴∠APQ= ∠ FME，
∵AM=BP，
∴AP=CM，
在△PAQ和△MCN中，
∠APQ=∠ FME，
AP=CM，
∠PAQ=∠C，
∴△PAQ≌△MCN( ASA)，
∴PQ=MN.
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】
解：(1)∵ △ ABC是等边三角形，
∴AB = BC，∠ABC =∠BAC= 60°，
∵点D为BC中点，
∴∠BAD=12∠BAC=30°，AD=32AB，
∵点E为AC中点，
∴∠ABE=12∠ABC=30°，BE=32BC，
∴AD=BE，
∴∠AOE=∠ABE+∠BAD=60°，
故答案为：AD=BE ，60°；
(3) ①∵PQ// BE ，MN//AD，
∴∠EMF=∠EAO，∠EFM=∠AOE，
在 △ MEF中，∠MFE+∠EMF+∠MEF= 180° ，
在△AEO中， ∠AOE+∠EAO+∠AEO= 180° ，
∴∠MFE=∠AOE，
由(2)得，∠AOE= 60°，
∴∠MFE=60°，
故答案为：60°.
【分析】(1)根据等边三角形的性质得到AB = BC，∠ABC =∠BAC= 60°，由点D为BC中点根据等边三角形的三线合一和勾股定理得到∠BAD=12∠BAC=30°，AD=32AB，同理由点E为AC中点，
根据等边三角形的三线合一和勾股定理得到∠ABE=12∠ABC=30°，BE=32BC，即可解答；
（2）根据等边三角形的性质得到AB = BC，∠ABC =∠BAC= 60°，再利用 SAS判定△ABD≌△BCE，利用全等三角形的性质和三角形的外角定理即可解答；
（3）①利用平行线的性质结合三角形的内角和定理解答即可；②利用三角形的内角和定理结合已知条件利用ASA证明△PAQ≌△MCN，即可解答.方案1
①如图1，选定点O；
②连接AO，并延长到点C，使OC=OA，连接BO，并延长到点D，使OD=OB：
③连接DC，测量DC的长度即可。
方案2
①如图2，选定点O：
②连接AO，BO，并分别延长到点F，E，使OF=OB，OE=OA：
③连接EF，测量EF的长度即可。
摸球次数
50
100
200
500
800
1000
摸到红球的频数
11
27
50
124
201
249
摸到红球的频率
0.220
0.270
0.250
0.248
0.251
0.249