重庆市2025年初中学业水平暨高中招生考试数学试卷（解析版）

这是一份重庆市2025年初中学业水平暨高中招生考试数学试卷（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 7的相反数是（ ）
A. B. C. D. 7
【答案】A
【解析】7的相反数是，
故选：A．
2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. 勾股树 B. 希尔伯特曲线
C. 斐波那契螺旋线 D. 赵爽弦图
【答案】B
【解析】A. 勾股树，不是轴对称图形；
B. 希尔伯特曲线，是轴对称图形；
C. 斐波那契螺旋线，不是轴对称图形；
D. 赵爽弦图，不是轴对称图形，是中心对称图形．
故选：B．
3. 如图，，E，F分别在直线，上，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，∴，
∵，∴，
∵，∴．
故选：D．
4. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A. -4B. C. D. 4
【答案】D
【解析】已知点在反比例函数的图象上，
将，代入解析式，得．
化简方程，得．
故选：D．
5. 两个相似三角形的相似比是，则这两三角形的周长的比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵两个相似三角形的相似比是，相似三角形的周长比等于相似比，
∴这两三角形周长比是，
故选：A．
6. “”是益智拼图中的一块，以“”为基本图形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有6个“”，第②个图案中有9个“”，第③个图案中有12个“”，第④个图案中有15个“”，…，按此规律，则第⑧个图案中“”的个数是（ ）
A. 27B. 30C. 33D. 36
【答案】A
【解析】第①个图案中有（个），
第②个图案中有（个），
第③个图案中有（个），
第④个图案中有（个），
∴第个图案中有个，
∴第⑧个图案中“”的个数为．
故选：A．
7. 已知，则实数的范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
，
∵，∴，∴，
∴，
∴，∴，
故选：C．
8. 如图，在边长为4的菱形中，分别以点B，C为圆心，菱形边长的一半为半径画弧，和相切于点E，点E在上，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】菱形的边长为4，
和所在圆的半径均为2，
四边形是菱形，
，
，
．
故选：B．
9. 如图，在正方形中，是的中点，连接，将绕点E逆时针旋转90°得到，交边于点，连接，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，连接．
∵是的中点．
∴．
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴．
由旋转的性质可知，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
10. 对分式进行如下操作：将与相加，结果记为，称为第一次操作；将第一次操作的结果减去，结果记为，称为第二次操作；将第二次操作的结果与相加，结果记为，称为第三次操作；…，以此类推，下列说法：
①第七次操作的结果．
②若成立，则的值有且只有1个；
③若存在唯一的值使得（，且为整数）成立，则．
其中正确的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】①，
，
，
，
，
，
，
正确．
②若，则每次操作后结果不变．
由，得，即，
解得时成立．
代入验证所有，
唯一解成立．
③当k为偶数时，设（n正整数），
则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵存在唯一的值，
∴，
∴，
∴（舍去），
或，
∴，
∴；
当k为奇数时，设，
则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（舍去），
或，
∴（舍去），
∴n不存在，k不存在；
综上，，
不正确，
故③错误．
综上，正确说法为①和②，共2个，
故选：C．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上
11. 计算：_______．
【答案】5
【解析】原式．
12. 如图是由3个完全相同的正五边形无缝隙拼接而成的图形，则∠1的度数为______．
【答案】
【解析】∵正五边形的每个内角的度数为，
∴．
故答案为：．
13. 春节档上映的《哪吒之魔童闹海》收获了超高票房与口碑，掀起了一阵哪吒热潮，深受大众追捧．周末小光和小花一起去商场购买卡通贴纸，两人分别从“哪吒”“敖丙”“太乙真人”三款卡通贴纸中随机选择一款，则两人恰好同时选中“哪吒”贴纸的概率是_______．
【答案】
【解析】分别记“哪吒”“敖丙”“太乙真人”三款卡通贴纸为A，B，C，画树状图如答图，
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中两人恰好同时选中“哪吒”贴纸的结果有1种，∴P（两人恰好同时选中“哪吒”贴纸）．
14. 若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有负整数解，则所有满足条件的整数的和为______．
【答案】
【解析】，
解不等式得，
解不等式得，
∵不等式组无解，
∴，
∴，
由，
，
，
∴．
∵关于的分式方程有负整数解，
∴为负整数，且，
∵为整数，
∴或或或，且，
∴或或或，
又∵，
∴或或，
∴满足条件的所有整数的和为．
15. 如图，四边形内接于，为的直径，，，过点C作的切线交的延长线于点E，连接交于点F．若，则________；_______．
【答案】 4
【解析】∵，∴．
∵，∴，∴，
∴，∴，∴．
∵，∴，∴．
∵与相切于点，是的直径，
∴，，∴．
在中，
∵，∴，．
又∵在中，是半径，是弦，，
∴，即．
在中，
∵，，
∴．
16. 一个各个数位上的数字均不为零的四位自然数，若满足，则称这个数为“方和数”．例如，四位数2331，∵，∴2331是“方和数”．若是“方和数”，那么______；将“方和数”A的千位数字与百位数字对调，得到另一个“方和数”，规定，已知一个四位数是“方和数”，若能被6整除，则满足条件的N的值为_______．
【答案】1 4352
【解析】∵是“方和数”，∴，
解得或（舍去），故；
∵，
∴的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为2，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵是“方和数”，
∴，
∴，
∴．
∵能被6整除，
∴为整数，∴为整数．
∵，∴或2或4；
∵，，，且b，c均是自然数，
∴①当时，，
当时，（舍去），
当时，（舍去），
当时，（舍去），
即没有满足条件的b与c；
②当时，，
当时，
当时，（舍去），
当时，（舍去）
∴得，；
③当时，，
同理，没有满足条件的b与c，．
∴，，，
∴．
三、解答题：（本大题8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）．
17. （1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
解：（1）原式；
（2）原式，
当时，原式．
18. 学习了矩形的相关知识后，兴趣小组的同学进行深入研究后发现，矩形的两条对角线互相平分可得到四条线段，作其中一条线段的垂直平分线，当垂直平分线过矩形顶点时，垂直平分线与过对角线交点且平行于矩形较短边的直线相交，连接该交点与作垂直平分线的线段的端点，则所作垂直平分线两边的三角形一起组成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论，根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：
（1）如图，在矩形中，对角线，交于点．用尺规作的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）已知：矩形的对角线，交于点，是线段的垂直平分线，，分别交，于点，连接．求证：四边形是菱形．
证明：∵，
∴，
∵直线是线段的垂直平分线，
∴，，①_______，
在和中，，
∴，
∴②______，
∵，，
∴③______，
∴四边形是菱形．
进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中的表述，写出你猜想的结论：④______．
（1）解：如图所示，直线即为所求；
（2）证明：∵，
∴，
∵直线是线段的垂直平分线，
∴，，，
在和中，，∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是菱形．
进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中的表述，写出你猜想的结论：平行四边形的两条对角线互相平分可得到四条线段，作其中一条线段的垂直平分线，当垂直平分线过平行四边形顶点时，垂直平分线与过对角线交点且平行于平行四边形较短边的直线相交，连接该交点与作垂直平分线的线段的端点，则所作垂直平分线两边的三角形一起组成的四边形是菱形，
故答案为：；；；平行四边形的两条对角线互相平分可得到四条线段，作其中一条线段的垂直平分线，当垂直平分线过平行四边形顶点时，垂直平分线与过对角线交点且平行于平行四边形较短边的直线相交，连接该交点与作垂直平分线的线段的端点，则所作垂直平分线两边的三角形一起组成的四边形是菱形．
19. 2025年3月17日，文化和旅游部公布第六批国家级非物质文化遗产代表性传承人名单，共计942人上榜，其中15位来自重庆的代表性传承人入选．为弘扬重庆非物质文化，某校举办了专题讲座并进行了成果检测．现从七、八年级的学生中各随机抽取10名学生的检测成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于70分（成绩用表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的检测成绩是：76，78，79，84，87，87，89，95，97，98．
八年级10名学生的检测成绩在B组中的数据是：81，82，84，85，89．
七、八年级所抽学生的检测成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中_______，_______，________；
（2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对讲座知识的掌握情况较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七年级有350名学生，八年级有400名学生参加讲座并进行了此次检测，估计该校七、八年级学生中检测成绩优秀的学生人数共是多少？
解：（1）∵七年级10名学生成绩中，得分为87分的人数最多，
∴；
∵八年级A组的人数为（人），而八年级B组有5人，则把八年级成绩按照从低到高排列，位于第5名和第6名的成绩分别为85分，89分，
∴；
由题意得，∴．
（2）八年级学生对讲座知识的掌握情况较好，理由如下：
∵八年级平均分88高于七年级平均分87，
∴八年级学生对讲座知识的掌握情况较好；
（3）（人），
答：估计该校七、八年级学生中检测成绩优秀的学生人数共是265人．
20. 在蛇年春晚的创意融合舞蹈《秧》中，机器人与舞者共舞，手绢花翻飞旋转，体现了中国科技企业的崛起．机器人在日常生活中的应用也日益广泛，某快递公司为提高分拣效率及准确性，引进了具有分拣功能的智能机器人，1台机器人1小时分拣的快递量比1个人1小时分拣快递量的5倍还多10件，已知1台机器人和1个人1小时共可以分拣快递730件．
（1）求1个人和1台机器人1小时分别分拣快递的数量；
（2）为了进一步提高效率，该快递公司又引进了甲、乙两款不同的机器人，已知1台甲型机器人比1台乙型机器人1小时多分拣200件快递，1台甲型机器人分拣9600件快递的时间和1台乙型机器人分拣7200件快递的时间相同，求1台甲型机器人1小时分拣快递的数量．
解：（1）设1个人1小时分拣快递件，则1台机器人1小时分拣快递件，
由题意可列方程，解得，
∴（件），
答：1个人1小时分拣快递的数量为120件，1台机器人1小时分拣快递的数量为610件；
（2）设1台甲型机器人1小时分拣快递件，财1台乙型机器人1小时分拣快递件，由题意得，解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
答：1台甲型机器人1小时分拣快递的数量为800件．
21. 如图1，在等腰中，，，动点P从点B出发，沿运动到点C停止，过点P作的垂线，交或于点Q，设的长度为，的面积为．
（1）请直接写出y关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象；请写出函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出的面积为40时的值．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）
解：（1）如答图1，过点A作的垂线、垂足为．
∵，，∴，
∴，∴．
当时，点线段上，，，
则；
当时，点在线段上，，，
则，
综上所述，与的函数表达式为．
（2）∵在中，
当时，，当时，，
在中，当时，，
∴描出点，，，顺次连接三点（不包括首尾两个端点），
即画出函数的图象，如答图2．
性质：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小（答案不唯一，写出一条即可）；
（3）由函数图象可知，的面积为40时，的值为3.3或6.7（误差不超过0.2即可）
22. 国家卫生健康委员会主任在十四届全国人大三次会议民生主题记者会上提出实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式，加强慢性病防治．为响应国家号召，小锦经常在闲暇时到离家不远的公园徒步锻炼，如图，小锦从A处出发，以4千米/小时的速度向南偏东方向进行徒步锻炼，经过小时到达B处，已知C处在B处的正东方向，且在A处的南偏东方向．D处在A处的东北方向，在C处的正北方向．（参考数据：，，）
（1）求B，C两地间的距离；
（2）到达B处后，小锦休息一会儿，然后继续以3千米/小时的速度沿赶往D处，同时在D处的小霖以5千米/小时的速度沿前东进，请计算说明多久后两人能相遇（结果精确到小时）．
解：（1）如图：过点A作的垂线，与的延长线交于点．
由题意可知，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∵（千米），
∴千米，即B，C两地间的距离为6千米．
（2）如图：在（1）的基础上，过点A作的垂线，垂足为G．
由题意得，．
在中，，千米，
∴千米），（千米），
∴千米．
∵千米，
∴（千米），
∴千米．
在中，，
∴（千米），
∴（千米），
∴（千米），
∴（小时）．
答：大约2.5小时后两人能相遇．
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与x轴交于，两点（点在的左侧），．
（1）求抛物线的表达式；
（2），是直线上方抛物线上的两个动点，点在点的左侧，分别过点，作轴的垂线，交直线于点，，若四边形是平行四边形，求周长的最大值；
（3）将抛物线沿方向平移个单位长度，点为平移后抛物线上一动点，原抛物线的对称轴交轴于点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
解：（1）将代入抛物线中，得，∴，
∴．
∵，
∴，，
∴，，
将，代入中，得，解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）由，可知直线的表达式为，
设，，
∴，，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
整理得，
∵，
∴，
如图，过点作的垂线，交的延长线于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴周长为
，
∵，，
∴当时，平行四边形的周长最大，最大值为；
（3）∵，，∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴将抛物线沿方向平移个单位长度，相当于将抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，
∵抛物线的表达式为，
∴平移后的抛物线的表达式为，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图，当点在上方，满足时，
根据两直线平行内错角相等可得，
∵，，
∴直线的表达式为，
∵，
∴可设直线的表达式为．
将点代入，得，
∴直线的表达式为，
令，解得或（舍去），
∴，
∴；
如图，在直线下方作，交轴于点，交新抛物线于点
∵，∴，
∴，
∵，，
∴，∴，
∴直线的表达式为，
令，解得或（舍去），
∴，∴，
综上所述，点的坐标为或．
24. 在中，，，，是边上的高．
（1）如图1，将边绕点顺时针旋转得到线段，点在边上，求的长；
（2）如图2，将边绕点顺时针旋转得到线段，点在边上，为上一点，连接，在上方作，且，与的延长线交于点，连接，若，用等式表示此时线段与之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，为内一动点，连接，，，于点，于点，连接，求的最小值．
解：（1）由旋转的性质可知．
∵，∴为等边三角形，∴，
∵，∴，∴．
∵，，
∴是等腰直角三角形，∴，
∴；
（2），证明如下：
如图，延长至点，使得，连接，，．
由（1）知为等边三角形，
∴．
∵，∴．
∵，且，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
在与中，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，．
∵，，且，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴；
（3）如图，以点为直角顶点在上方作等腰，则．
∵，∴，
∴S，B，P，D四点共圆．
∵，∴为圆的直径．
设为的中点，连接，．
∵于点，于点，
∴，
∴C，R，P，Q四点共圆，且为直径，
设的中点为T，连接，．
∵，
∴，
∴，
∴当取得最小值时，此时圆T的半径最小，即取得最小值，
∴当，P，C三点共线时，最小，取得最小值，
由（1）得，
∴，
∴，
∴的最小值为，
∴，
∴的最小值为．年级
七年级
八年级
平均数
87
88
中位数
87
众数
92