初中数学苏科版（2024）九年级上册圆一课一练

这是一份初中数学苏科版（2024）九年级上册圆一课一练，共30页。试卷主要包含了已知弦AB把圆周分成1，下列说法正确的是，下列命题中真命题的是等内容，欢迎下载使用。

1.一个圆锥的底面半径为1cm，侧面积为4πcm2，现将其侧面展开平铺成的扇形的圆心角为（ ）
A.90∘B.135∘C.60∘ ．D.45∘

2.在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是4,3，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A.点P在⊙O内B.点P在⊙O外
C.点P在⊙O上D.点P在⊙O上或在⊙O外

3.已知弦AB把圆周分成1:3的两部分，则弦AB所对的圆周角的度数为（ ）
A.45∘B.90∘C.90∘ 或270∘D.45∘或135∘

4.如图， ⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为M，N、O，已知∠ABC=90∘,CM=2,AM=3,则⊙O的半径为（ ）
A.12B.32C.1D.2

5.下列说法正确的是（ ）
A.半圆是弧，弧也是半圆B.长度相等的两条弧是等弧
C.平分弦的直径垂直于弦D.直径是同一圆中最长的弦

6.如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB=261，AD=10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A.5B.6C.7D.8

7.如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30∘角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为（ ）
A.10cmB.4πcmC.72D.52

8.如图，在矩形ABCD中，AD=8，E是边AB上一点，且AE=14AB．已知⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G （∠GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且EG:EF=5:2，当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是（ ）
A.12或4B.14或9C.4或9D.12或9

9.下列命题中真命题的是（ ）
A.长度相等的弧是等弧
B.相等的圆心角所对的弦相等
C.任意三点确定一个圆
D.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心

10.如图，PM，PN是⊙O的切线，B，C是切点，A，D是⊙O上的点，若∠P=44∘,∠MBA=30∘ ，则∠D的度数为（ ）
A.98∘B.96∘C.82∘D.78∘
二. 填空题

11.如图，PA，PB分别切圆O于A，B，并与圆O的切线CD分别相交于C，D，已知PA=7cm，则△PCD的周长等于________cm．

12.若用半径为9，圆心角为120∘的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是________，侧面积为________．

13.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在AF⌢上，Q是DE⌢的中点，则∠CPQ的度数为________.

14.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，I为△ABC的内心，连接OI，AI，BI．若OI⊥BI,OI=1，则AB的长为________．
三. 解答题

15.定义：有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”．例如：凸四边形ABCD中，若∠A=∠C，则称四边形ABCD为准平行四边形．

（1）如图①，A，P，B，C是⊙O上的四个点，延长BP到Q，使AQ=AP．求证：四边形AQBC是准平行四边形；
（2）如图②，准平行四边形ABCD内接于⊙O，AB≠AD，BC=DC，若⊙O的半径为5，AB=6，求AC的长；
（3）如图③，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A=30∘，BC=2，若四边形ABCD是准平行四边形，且∠BCD≠∠BAD，请直接写出BD长的最大值．

16.【问题情境】
（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45∘（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】
（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系；
【探究应用】
（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将△PDC绕点P逆时针旋转，他发现旋转过程中∠DAP存在最大值．若PE=8，PF=5，当∠DAP最大时，求AD的长；
（4）如图6，在Rt△ABC中，∠C=90∘，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若AC+CD=5，BC+CE=8，求AE+BD的最小值．

17.如图是淮安勺湖公园景点内的一个拱门，优弧CED是⊙O的一部分．已知拱门的地面宽度CD=2m，它的最大高度EM=3m，求构成该拱门的⊙O的半径．

18.[模型建立]
如图①、②，点P分别在⊙O外、在⊙O内，直线PO分别交⊙O于点A、B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离，PB是点P到⊙O上的点的最长距离．
[问题解决]请就图①中PB为何最长进行证明．
[初步应用]
1已知点P到⊙O上的点的最短距离为3，最长距离为7．则⊙O的半径为________.
2如图③，在△ABC中，∠C=90∘,AC=8,BC=6 ．点E在边BC上，且CE=2，动点P在半径为2的⊙E上，则AP的最小值是________.
[拓展延伸］如图④，点A2,0，动点B在以P4,4为圆心，2为半径的圆上，OB的中点为C，则线段AC的最大值为________.

19.如图，从一直径为1米的圆形铁皮中剪出一个圆心角为90度的最大扇形ABC．求：
1剪掉后的剩余部分的面积；
2用所剪得的扇形ABC围成一个圆锥，该圆锥的底面半径是多少？
3如果从剪掉的部分中给圆锥配一个底，请问是否够用？

20.如图，从一直径为1米的圆形铁皮中剪出一个圆心角为90度的最大扇形ABC．求：
1扇形ABC的面积；
2用所剪得的扇形ABC围成一个圆锥，该圆锥的底面半径是多少？

21.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=10，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点， 过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，求DM的长.

22.张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），他在该轮片上画了三个点A，B，C．
（1）请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心O．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接OA、OC，若圆形轮片的直径为6，圆心角∠AOC=120∘．求弧AC的长．

23.如图，AB是⊙O的直径， CD=CB，AC，BD相交于点E，过点C作CF//BD，CF与AB的延长线相交于点F，连接AD．
1求证：CF是⊙O的切线；
2若AB=10,BC=6，求AD的长．
参考答案与试题解析
2025届初中数学苏科版九年级上《第2章 对称图形——圆》重难点考察卷
一. 选择题
1.
【答案】
A
【考点】
圆锥的展开图及侧面积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
A
2.
【答案】
C
【考点】
点与圆的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由勾股定理得：OP=32+42=5，∵ 圆O的半径为5，∴ 点P在圆O上．
3.
【答案】
D
【考点】
圆心角、弧、弦的关系
圆周角定理
【解析】
首先根据题意画出图形，然后由圆的一条弦把圆周分成1:3两部分，求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，求得∠ACB的度数，然后根据圆的内接四边形的对角互补，求得∠ADB的度数，继而可求得答案．
【解答】
【解答】解：∵ 弦AB把圆周分成 1:3的两部分，
∴ AB的度数是14×360∘=90∘
∴ 圆心角∠AOB的度数是90∘ 或360∘−90∘=270∘ ，
故选：D．
4.
【答案】
C
【考点】
三角形的内切圆与内心
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
C
5.
【答案】
D
【考点】
圆的有关概念
垂径定理
圆心角、弧、弦的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解答】解：半圆是弧，弧不一定是半圆，故A不符合题意；
同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故B不符合题意；
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，C 不符合题意；
直径是同一圆中最长的弦，故 D符合题意；
故选：D．
6.
【答案】
D
【考点】
点与圆的位置关系
圆周角定理
勾股定理
【解析】
如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．由题意点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小；
【解答】
解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．
∵DH⊥AC，
∴∠AHD=90∘，
∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，
∴当M、H、B共线时，BH的值最小，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90∘，
∴BD=2612−102=12，
BM=BD2+DM2=122+52=13，
∴BH的最小值为BM−MH=13−5=8．
故选：D．
7.
【答案】
C
【考点】
弧长的计算
旋转的性质
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解答】解：点A以B为旋转中心，以∠ABA1为旋转角，顺时针旋转得到A1；A2是由A1以C为旋转中心，以∠A1CA2为旋转角，顺时针旋转得到，
∵ ∠ABA1=90∘ ，∠A1CA2=60∘， AB=32+42=5cm,CA1=3cm，
∴ 点A翻滚到A2位置时共走过的路径长=90⋅π⋅5180+60⋅π⋅3180=72πcm,
故选：C．
8.
【答案】
A
【考点】
垂径定理的应用
勾股定理
切线的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：边AB所在的直线不会与⊙O相切；边BC所在的直线与⊙O相切时，
如图，
过点G作GN⊥AB，垂足为N，
∴ EN=NF，
又∵ EG:EF=5:2，
∴ EG:EN=5:1，
又∵ GN=AD=8，
∴ 设EN=x，则GE=5x，根据勾股定理得：
5x2−x2=64，解得：x=4，GE=45，
设⊙O的半径为r，由OE2=EN2+ON2
得：r2=16+8−r2，
∴ r=5．∴ OK=NB=5，
∴ EB=9，
又AE=14AB，
∴ AB=12．
同理，如图：
当边AD所在的直线与⊙O相切时，连接OH，
∴ OH=AN=5，
∴ AE=1．
又AE=14AB，
∴ AB=4．
故选A．
9.
【答案】
D
【考点】
命题与定理
中心对称图形
圆的有关概念
确定圆的条件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
D
10.
【答案】
A
【考点】
三角形内角和定理
等腰三角形的性质
切线的性质
圆内接四边形的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：连接OB，OC，
∵ PM，PN是⊙O的切线，
∴ PB=PC,∠PBO=∠MBO=∠PCO=90∘，
∵ ∠P=44∘,∠MBA=30∘，
∴ ∠PBC=∠PCB=12180∘−44∘=68∘,∠ABO=90∘−30∘=60∘，
∴ ∠OBC=90∘−∠PBC=90∘−68∘=22∘，
∴ ∠ABC=∠ABO+∠CBO=22∘+60∘=82∘，
∴ ∠D=98∘，
故选：A．
二. 填空题
11.
【答案】
16
【考点】
切线长定理
【解析】
由于DA、DC、BC都是⊙O的切线，可根据切线长定理，将△PCD的周长转换为PA、PB的长，然后再进行求解．
【解答】
16
12.
【答案】
3,27π
【考点】
圆锥的计算
圆锥的展开图及侧面积
【解析】
利用弧长公式可得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径，圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长．
【解答】
3，27π．
13.
【答案】
45∘
【考点】
正多边形和圆
圆周角定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
45∘
14.
【答案】
25
【考点】
三角形中位线定理
圆周角定理
三角形的内切圆与内心
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解答】解：延长BI交⊙O于M点，连接MA，
在△ABM中斜边AB经过圆心O，
∴ ∠AMB=90∘.
又∵ BI⊥OI,AO=OB.
∴ OI为△AMB的中位线，
∴ AM=2OI=2.
在Rt△ABC中，I为三个角平分线的交点,
∴ ∠IAB+∠IBA=45∘,
即∠MIA=45∘ （三角形外角与内角的关系），
∴ Rt△MAI为等腰直角三角形，
∴ MA=MI=IB=2,
根据勾股定理可得，
AB2=MA2+MB2=22+42=20,
即AB=25.
故答案为： 25
三. 解答题
15.
【答案】
（1）证明见解析
（2）72
（3）23+2
【考点】
垂径定理
圆周角定理
已知圆内接四边形求角度
旋转的性质
【解析】
（1）根据等边对等角可得∠Q=∠APQ，由圆的内接四边形的性质可得∠APQ=∠ACB，可得结论；
（2）如图②，连接BD，由准平行四边形定义可知∠BAD=∠BCD=90∘，可得BD是直径，由勾股定理可求AD=8，将△ABC绕点C顺时针旋转90∘得到△CDH，可得AB=DH=6，AC=CH，∠ACH=90∘，∠ABC=∠CDH，由勾股定理可求AC的长；
（3）如图③，作△ACD的外接圆⊙O，过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，由准平行四边形定义可求∠ABC=∠ADC=60∘，可得∠AOC=120∘，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质，可求OE=1，CO=2OE=2，由勾股定理可求OB，由当点D在BO的延长线时，BD的长有最大值，即可求解．
【解答】
解：（1）
证明：∵AQ=AP，
∴∠Q=∠APQ，
∵A，P，B，C是⊙O上的四个点，即四边形APBC是圆内接四边形，
∴∠APQ=∠ACB，
∴∠Q=∠ACB，
∴四边形AQBC是准平行四边形；
（2）
解：如图，连接BD，
∵AB≠AD，BC=DC，
∴∠ABD≠∠ADB，∠CBD=∠CDB，
∴∠ABC≠∠ADC，
∵四边形ABCD是准平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180∘，∠ABC+∠ADC=180∘，
∴∠BAD=∠BCD=90∘，
∴BD是⊙O的直径，
∵⊙O的半径为5，AB=6，
∴BD=2×5=10，
∴AD=BD2−AB2=102−62=8，
将△ABC绕点C顺时针旋转90∘得到△CDH，
∴AB=DH=6，AC=CH，∠BCA=∠DCH，∠ABC=∠HDC，
∴∠ACH=∠ACD+∠DCH=∠ACD+∠BCA=∠BCD=90∘，
∵∠ABC+∠ADC=180∘，
∴∠ADC+∠HDC=180∘，
∴A、D，H三点共线，
∴AH=AD+DH=8+6=14，
∵AC2+CH2=AH2，
∴2AC2=142=196，
∴AC=72或AC=−72（负值不符合题意，舍去），
∴AC的长为72；
（3）
如图，作△ACD的外接圆⊙O，过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，
∵∠BCA=90∘，∠BAC=30∘，BC=2，
∴∠ABC=90∘−∠BAC=90∘−30∘=60∘，∠FCA=90∘，AB=2BC=2×2=4，
∴AC=AB2−BC2=42−22=23，
∵四边形ABCD是准平行四边形，且∠BCD≠∠BAD，
∴∠ADC=∠ABC=60∘，
∴∠AOC=120∘，且OE⊥AC，OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30∘，CE=AE=3，
设OE=a，则CO=2OE=2a，
CO2=OE2+CE2，即2a2=a2+32，
∴a=1或a=−1（负值不符合题意，舍去），
∴OE=1，CO=2OE=2，
∵OE⊥AC，OF⊥BC，∠ECF=90∘，
∴四边形CFOE是矩形，
∴OF=CE=3，CF=OE=1，
∴BF=BC+CF=2+1=3，
∴BO=BF2+OF2=32+32=23
∵当点D在BO的延长线时，BD的长有最大值，
∴BD长的最大值为：BO+OD=23+2．
16.
【答案】
22PA2+PC2=PB2+PD23AD=39489
（2）
（3）
（4）
【考点】
切线的性质
正多边形和圆
根据成轴对称图形的特征进行求解
旋转的性质
【解析】
（1）利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案；
（2）如图，由EG⊥FH，证明a2+c2=b2+d2，再结合图形变换可得答案；
（3）如图，将△PDC绕点P逆时针旋转，可得D在以P为圆心，PD为半径的圆上运动，可得当AD与⊙P相切时，∠DAP最大，再进一步解答即可；
（4）如图，将△BDC沿BC对折，D的对应点为D1，将△AEC沿AC对折，E的对应点为E1，连接D1E1，再将△ABE1沿AC方向平移，使A与D1重合，如图，得△B1D1E2，由2可得：AE+BD=D1E2+BD1，当E2,D1,B三点共线时，AE+BD=D1E2+BD1最短，再进一步解答即可.
【解答】
解：如图，
∵正方形ABCD，EFGH及圆为正方形ABCD的内切圆，为正方形EFGH的外接正方形，
∴设AE=DE=DH=CH=CG=BG=AF=BF=m，∠A=90∘，
∴AB=AD=2m，EF=m2+m2=2m，
∴S正方形ABCD=4m2，S正方形EFGH=2m2=2m2，
∴大正方形面积是小正方形面积的2倍．
（2）如图，∵EG⊥FH，
∴a2=OF2+OE2，c2=OG2+OH2，
d2=OE2+OH2，b2=OF2+OG2，
∴a2+c2=b2+d2，
如图，
结合图形变换可得：PA2+PC2=PB2+PD2；
（3）如图，∵将△PDC绕点P逆时针旋转，
∴D在以P为圆心，PD为半径的圆上运动，
∵A为圆外一个定点，
∴当AD与⊙P相切时，∠DAP最大，
∴PD⊥AD，
∴AD2=AP2−PD2，
由2可得：AE=DF，
∵PE=8，PF=5，
∴AD2=AP2−PD2
=PE2+AE2−PF2−DF2
=82−52
=39，
∴AD=39；
（4）如图，将△BDC沿BC对折，D的对应点为D1，将△AEC沿AC对折，E的对应点为E1，连接D1E1，
∴CD=CD1，CE=CE1，
再将△ABE1沿AC方向平移，使A与D1重合，如图，得△B1D1E2，
由2可得：AE+BD=D1E2+BD1，
∴当E2,D1,B三点共线时，AE+BD=D1E2+BD1最短，
∵AC+CD=5，BC+CE=8，
∴E1E2=5，BE1=8，
∴BE2=BE12+E1E22=82+52=89；
∴AE+BD的最小值为89；
17.
【答案】
解：连接OC．设⊙O的半径为xm，
∵ EM⊥CD ，∴ CM=12CD=1m，
在Rt△OCM中，由OM2+CM2=OC2，得3−x2+1=x2，
解得： x=53
答：构成该拱门的⊙O的半径为53m
【考点】
垂径定理的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：连接OC．设⊙O的半径为xm，
∵ EM⊥CD ，∴ CM=12CD=1m，
在Rt△OCM中，由OM2+CM2=OC2，得3−x2+1=x2，
解得： x=53
答：构成该拱门的⊙O的半径为53m
18.
【答案】
解：[问题解决]
如图，点C为⊙O上任意一点，连接PC，OC，
当点C与点B不重合时，
∵ 在△POC中， PO+CO>PC，
又CO=BO，
∴ PO+BO>PC，即PB>PC，
当点C与点B重合时， PB=PC，
∴ 综上可得， PB≥PC，
∵ 点C为⊙O上任意一点，
∴ PB的长是点P到⊙ O上的点的最长距离．
[初步应用]
（1）若点P在⊙O外，如图①，
则PA=3 ，PB=7，
∴ AB=PB−PA=7−3=4，
∴ ⊙O的半径为2；
若点P在⊙O内，如图②，
则PA=3， PB=7，
∴ AB=PB+PA=7+3=10，
∴ ⊙O的半径为5；
综上所述，⊙O的半径为2或5.
故答案为：2或5.
（2）连接AE，交⊙O于点 D 由[模型建立]可得AD的长是点A到⊙E上的点的最短距离，
∴ AP的最小值是AD的长.
∵ 在Rt△ACE中， AC=8, CE=2，
∴ AE=AC2+CE2=82+22=217，
∴ AD=AE−DE=217−2，
∴ AP的最小值是217−2，
[拓展延伸]
取点D4,0，连接BD，
∵ A2,0,D4,0
∴ 点A是线段OD的中点，
∵ 点C是线段OB的中点，
∴ AC=12BD，
∴ 当线段BD取得最大值时，线段AC也取得最大值，
连接DP，并延长DP交⊙P于点B′，
∴ 当点B位于点B′时，线段DB有最大值，
∵ P4,4,D4,0，
∴ PD=4，
∵ ⊙P的半径为2，即PB′=2，
∴ DB′=PB′+PD=4+2，
∴ 线段DB有最大值为4+2，
∴ 线段AC的最大值为AC=12BD=2+22，
故答案为： 2+22.
【考点】
点与圆的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：[问题解决]
如图，点C为⊙O上任意一点，连接PC，OC，
当点C与点B不重合时，
∵ 在△POC中， PO+CO>PC，
又CO=BO，
∴ PO+BO>PC，即PB>PC，
当点C与点B重合时， PB=PC，
∴ 综上可得， PB≥PC，
∵ 点C为⊙O上任意一点，
∴ PB的长是点P到⊙ O上的点的最长距离．
[初步应用]
（1）若点P在⊙O外，如图①，
则PA=3 ，PB=7，
∴ AB=PB−PA=7−3=4，
∴ ⊙O的半径为2；
若点P在⊙O内，如图②，
则PA=3， PB=7，
∴ AB=PB+PA=7+3=10，
∴ ⊙O的半径为5；
综上所述，⊙O的半径为2或5.
故答案为：2或5.
（2）连接AE，交⊙O于点 D 由[模型建立]可得AD的长是点A到⊙E上的点的最短距离，
∴ AP的最小值是AD的长.
∵ 在Rt△ACE中， AC=8, CE=2，
∴ AE=AC2+CE2=82+22=217，
∴ AD=AE−DE=217−2，
∴ AP的最小值是217−2，
[拓展延伸]
取点D4,0，连接BD，
∵ A2,0,D4,0
∴ 点A是线段OD的中点，
∵ 点C是线段OB的中点，
∴ AC=12BD，
∴ 当线段BD取得最大值时，线段AC也取得最大值，
连接DP，并延长DP交⊙P于点B′，
∴ 当点B位于点B′时，线段DB有最大值，
∵ P4,4,D4,0，
∴ PD=4，
∵ ⊙P的半径为2，即PB′=2，
∴ DB′=PB′+PD=4+2，
∴ 线段DB有最大值为4+2，
∴ 线段AC的最大值为AC=12BD=2+22，
故答案为： 2+22.
19.
【答案】
解：1如图，
∵ ∠BAC=90∘，OB=OC，
∴ BC是圆O的直径，AO⊥BC，
∵ 圆的直径为1，
∴ AO=OC=12，
则AC=AO2+OC2=22m，
故S扇形=90π×222360=π8m2．
S阴影=π×122−π8=π8m2.
2弧BC的长l=90π×22180=24πm，
则2πr=24π，
解得：r=28．
故该圆锥的底面圆的半径是28m．
3不够用，
如图，设 ⊙O 的直径交BC⌢于M，
∴MN=AN−AM=1−22