数学第一册上册第三章 数列数列单元测试同步练习题

这是一份数学第一册上册第三章 数列数列单元测试同步练习题，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每一小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2020·正阳县高级中学高三月考（理））设等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．15B．20C．25D．30
【答案】B
【分析】
设出数列的公差，利用等差数列的通项公式及已知条件，得到，然后代入求和公式即可求解
【详解】
设等差数列的公差为，则由已知可得，
所以
故选：B
2．（2020·四川成都市·成都七中八一学校高二月考（理））中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ）
A．96里B．48里
C．192里D．24里
【答案】A
【分析】
根据题意,此人每天走的路程构成了公比的等比数列,再根据求和公式列式求解即可.
【详解】
由题意可知,此人每天走的路程构成了公比的等比数列,
设该数列为,其前项和为
则有,解得,
故,
故选:A.
【点睛】
本题考查了等比数列的相关知识,能读懂题识别该模型为等比数列是解题关键.
3．（2021·四川高三一模（文））已知等比数列中，，则公比（ ）
A．9或-11B．3或-11C．3或D．3或-3
【答案】D
【分析】
令首项为，公比为，由题设条件列方程组，求即可.
【详解】
∵为等比数列，令首项为，公比为，则，
∴解得：或
故选：D.
4．（2021·全国高三专题练习）等比数列中，且，，成等差数列，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【分析】
首先设等比数列的公比为，根据，，成等差数列，列出等量关系式，求得，比较相邻两项的大小，求得其最小值.
【详解】
在等比数列中，设公比，
当时，有，，成等差数列，
所以，即，解得，
所以，所以，
，当且仅当时取等号，
所以当或时，取得最小值1，
故选：D.
【点睛】
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，三个数成等差数列的条件，求数列的最小项，属于简单题目.
5．（2020·四川成都市·双流中学高三月考（文））等差数列的公差不为零，其前项和为，若，则的值为（ ）.
A．15B．20C．25D．40
【答案】B
【分析】
将已知条件转化为的形式，由此求得的关系式，进而求得的值.
【详解】
因为等差数列的公差不为零，其前项和为，
又，
所以.
故选：B
6．（2020·四川省阆中东风中学校高三月考（文））已知数列满足：，．则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化得 ，构造为等比数列，求解出通项，进而求出.
【详解】
因为，所以两边取倒数得，则，
所以数列为等比数列，则，
所以，故.
故选：C
【点睛】
方法点睛：对于形如型，通常可构造等比数列（其中）来进行求解.
7．（2020·四川省仁寿第二中学（文）） 记为等差数列的前n项和，已知，则（ ）
A．15B．16C．19D．20
【答案】B
【分析】
根据题意利用等差数列的通项公式及求和公式列出方程组求解、，即可求得.
【详解】
设等差数列的公差为d，
因为，所以，解得，
则.
故选：B
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式，属于基础题.
8．（2021·北京房山区·高三一模）已知等差数列的前项和为，且，，则下面结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．与均为的最小值
【答案】C
【分析】
根据推导出，，，结合等差数列的单调性与求和公式判断可得出合适的选项.
【详解】
对于A选项，由可得，A选项正确；
对于C选项，由可得，，C选项错误；
对于D选项，由可得，且，，，
所以，当且时，，且，则与均为的最小值，D选项正确；
对于B选项，，，当时，，
所以，，B选项正确.
故选：C.
【点睛】
方法点睛：在等差数列中，求的最小（大）值的方法：
二、选择题：本大题共4小题，每一小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.
9．（2020·江苏省东台中学高二期中）已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，，则下列选项正确的为（ ）
A．数列是等差数列B．数列是等比数列
C．数列的通项公式为D．
【答案】BCD
【分析】
由数列的递推式可得，两边加1后，运用等比数列的定义和通项公式可得，，由数列的裂项相消求和可得．
【详解】
解：由即为，
可化为，由，可得数列是首项为2，公比为2的等比数列，
则，即，
又，可得，
故错误，，，正确．
故选：BCD．
【点睛】
本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消法求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．
10．（2020·全国高二单元测试）已知等比数列中，满足，则
A．数列是等差等列B．数列是递减数列
C．数列是等差数列D．数列是递减数列
【答案】BC
【分析】
根据已知条件可知，，然后逐一分析选项，得到正确答案.
【详解】

A. ，，是公比为的等比数列，不是等差数列，故不正确；
B．由A可知，数列是首项为1，公比为的等比数列，所以是递减数列，故正确；
C. ， ，所以是等差数列，故正确；
D.由C可知是公差为1的等差数列，所以是递增数列，故D不正确.
故选BC
【点睛】
本题考查判断数列是否是等差和等比数列，以及判断函数的单调性，意在考查理解两个基本数列，会用最基本的方法判断，属于基础题型.
11．（2020·益阳市第十五中学高二期中）已知等比数列中，满足，，是的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是等比数列B．数列是递增数列
C．数列是等差数列D．数列中，，，仍成等比数列
【答案】AC
【分析】
由已知得可得以，可判断A；又，可判断B；由，可判断C；求得，，，可判断D.
【详解】
等比数列中，满足，，所以，所以，所以数列是等比数列，故A正确；
又，所以数列是递减数列，故B不正确；
因为，所以是等差数列，故C正确；
数列中，，，，，，不成等比数列，故D不正确；
故选：AC.
【点睛】
本题综合考查等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式，以及数列的单调性的判定，属于中档题.
12．（2021·广东广州市·高三一模）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第次得到数列1，，2；…记，数列的前项为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】
根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.
【详解】
由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时
第2次得到数列1,4,3,5,2，此时
第3次得到数列1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此时
第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时
第次得到数列1，，2 此时
所以，故A项正确；
结合A项中列出的数列可得：
用等比数列求和可得
则
又
所以 ，故B项正确；
由B项分析可知
即，故C项错误.
，故D项正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（2020·乐山外国语学校高三期中（文））已知等比数列中，，为的两个根，则_______.
【答案】64
【分析】
根据韦达定理可求得，由等比数列的性质即可求出，再次利用等比数列的性质即可得解.
【详解】
因为为的两个根且为等比数列，所以，
又，所以，则.
故答案为：64
【点睛】
本题考查等比数列的性质，韦达定理，属于基础题.
14．（2021·全国高二课时练习）设数列中，，则通项 ___________．
【答案】
【详解】
∵ ∴，，
，，，，
将以上各式相加得：
故应填；
【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；
【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住中系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；
15．（2020·广西钦州市·钦州一中）在等比数列中，，，成等差数列，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据三项成等差数列可构造方程求得等比数列的公比满足，将所求式子化为和的形式，化简可得结果.
【详解】
，，成等差数列
即：，解得：
本题正确结果：
【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的综合应用问题，关键是能够求解出等比数列的基本量，属于基础题.
16．（2019·济南市章丘区第四中学高二月考）已知数列的通项公式为，则数列前15项和为的值为___．
【答案】.
【解析】
分析：,利用裂项相消法即可得结果
详解：因为数列的通项公式为，
所以
，故答案为.
点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2020·正阳县高级中学高三月考（理））已知数列的前n项和为，满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用，，可得为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求得通项公式；
（2）利用错位相减法求和即可求．
【详解】
（1）当时，，解得，
当时，由可得
，
两式相减可得，即，
所以是以为首项，以为公比的等比数列，
所以
（2）由（1），
，
则，
两式相减得
，
所以．
【点睛】
方法点睛：
由数列前项和求通项公式时，一般根据求解，考查学生的计算能力.
18．（2020·四川成都市·成都七中八一学校高二月考（理））在等差数列中，，且、、成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的公差不为，设，求数列的前项和．
【答案】（1）或；（2）．
【分析】
（1）设数列的公差为．通过，，成等比数列，结合，列出关于和的方程组，然后求解通项公式；
（2）由（1）结合公差不为可知，得到，然后分组求和即可．
【详解】
（1）设数列的公差为．因为，，成等比数列，所以，
又，所以，即，
解得或．
当时，．
当时，．
（2）因为公差不为，由（1）知，则，
所以．
【点睛】
本题考查等差数列与等比数列的综合运用，考查分组求和法的运用，考查学生的运算能力，难度一般.
19．（2020·乐山外国语学校高三期中（文））已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，且存在实数λ满足2an+1=λan+4，n∈N*.
（1）求λ的值及通项公式an；
（2）求数列的前n项和Sn.
【答案】（1）λ=2，an=2n-1；（2）Sn=2n+2-n2-2n-4.
【分析】
（1）设等差数列{an}的公差为d，然后退项相减便可得出结果；
（2）求出数列的通项公式，然后利用分组求和法求出前n项和.
【详解】
（1）设等差数列{an}的公差为d，d≠0，
由2an+1=λan+4(n∈N*)， ①
得2an=λan-1+4(n∈N*，n≥2)， ②
两式相减得，2d=λd，又d≠0，所以λ=2.
将λ=2代入①可得2an+1=2an+4，即2d=4，所以d=2.
又a1=1，所以an=1+(n-1)×2=2n-1；
（2）由（1）可得=2(2n-n)-1=2n+1-(2n+1)，
所以Sn=(22+23+…+2n+1)-[3+5+…+(2n+1)]==2n+2-n2-2n-4.
【点睛】
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法求出数列的和，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型.
20．（2021·绵阳南山中学实验学校（理））已知数列的前项和为，且，.
（1）求证：为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析，；（2）.
【分析】
（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式.
（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果.
【详解】
（1）数列的前项和为，且，①
当时，，②
①－②得：.
由于，
当时，，即，
∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴.
（2），
则：，
∴.
【点睛】
本题考查的知识要点：数列的通项公式，数列的求和，裂项相消法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.
21．（2021·绵阳南山中学实验学校高三开学考试（文））已知等比数列满足，且.
（1）求数列的通项公式;
（2）若数列…是等差数列，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）设等比数列的公比为，则由题意可得，解出，从而可求出数列的通项公式;
（2）由（1）可求出数列的公差和首项，进而可求出数列的前项和
【详解】
设等比数列的公比为，
由且
得
解得，
所以.
由知，
所以等差数列…的公差
且
所以数列的前项和
22．（2020·四川省仁寿第二中学（文））已知是数列的前项和，且
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用可得是以为首项，为公比的等比数列，即可求出通项公式；
（2）利用裂项相消法可求.
【详解】
解：（1）时，，，，
时，因为，所以.
相减得，所以.
所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，
即的通项公式为.
（2）由（1）可得.
所以.
【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.