高中数学数列习题

这是一份高中数学数列习题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2021年郑州模拟)已知数列1，eq \r(3)，eq \r(5)，eq \r(7)，…，eq \r(2n－1)，若3eq \r(5)是这个数列的第n项，则n＝( )
A．20 B．21
C．22 D．23
2．已知3，a＋2，b＋4成等比数列，1，a＋1，b＋1成等差数列，则等差数列的公差为( )
A．4或－2B．－4或2
C．4D．－4
3．用数学归纳法证明1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2n－1)>eq \f(127,64)(n∈N*)成立，某初始值至少应取( )
A．7B．8
C．9D．10
4．公差不为0的等差数列{an}，其前23项和等于其前10项和，a8＋ak＝0，则正整数k＝( )
A．24B．25
C．26D．27
5．(2021年长春模拟)已知等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a2＝2，S6－S4＝6a4，则a5＝( )
A．10 B．16
C．24 D．32
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a8＝6＋a11，则S9＝( )
A．54B．45
C．36D．27
7．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋2＞eq \f(1,9)的最大正整数n的值为( )
A．3B．4
C．5D．6
8．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足n(n＋1)Seq \\al(2,n)＋(n2＋n－1)Sn－1＝0(n∈N*)，则S1＋S2＋…＋S2021＝( )
A．eq \f(1,2021) B．eq \f(1,2022)
C．eq \f(2020,2021) D．eq \f(2021,2022)
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知n∈N*，则下列表达式能作为数列0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是( )
A．an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0，n为奇数，,1，n为偶数))
B．an＝eq \f(1＋(－1)n,2)
C．an＝eq \f(1＋cs nπ,2)
D．an＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(nπ,2)))
10．(2022年宿迁期末)设等差数列{an}前n项和为Sn，公差d>0，若S9＝S20，则下列结论中正确的有( )
A．S30＝0
B．当n＝15时，Sn取得最小值
C．a10＋a22>0
D．当Sn>0时，n的最小值为29
11．已知等比数列{an}的公比为q，满足a1＝1，q＝2，则( )
A．数列{a2n}是等比数列
B．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是递增数列
C．数列{lg2an}是等差数列
D．数列{an}中，S10，S20，S30仍成等比数列
12．设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1>1，a2019a2020>1，eq \f(a2019－1,a2020－1)eq \f(127,64)(n∈N*)成立，某初始值至少应取( )
A．7B．8
C．9D．10
【答案】B 【解析】1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2n－1)＝eq \f(1－\f(1,2n),1－\f(1,2))>eq \f(127,64)，整理得2n>128，解得n>7，所以初始值至少应取8.
4．公差不为0的等差数列{an}，其前23项和等于其前10项和，a8＋ak＝0，则正整数k＝( )
A．24B．25
C．26D．27
【答案】C 【解析】由题意设等差数列{an}的公差为d，d≠0，∵其前23项和等于其前10项和，∴23a1＋eq \f(23×22,2)d＝10a1＋eq \f(10×9,2)d，变形可得13(a1＋16d)＝0，∴a17＝a1＋16d＝0.由等差数列的性质可得a8＋a26＝2a17＝0，∴k＝26.
5．(2021年长春模拟)已知等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a2＝2，S6－S4＝6a4，则a5＝( )
A．10 B．16
C．24 D．32
【答案】B 【解析】设公比为q(q>0)，S6－S4＝a5＋a6＝6a4.因为a2＝2，所以2q3＋2q4＝12q2，即q2＋q－6＝0，解得q＝2，则a5＝2×23＝16.
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a8＝6＋a11，则S9＝( )
A．54B．45
C．36D．27
【答案】A 【解析】∵2a8＝a5＋a11，2a8＝6＋a11，∴a5＝6，∴S9＝9a5＝54.
7．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋2＞eq \f(1,9)的最大正整数n的值为( )
A．3B．4
C．5D．6
【答案】B 【解析】∵a2a4＝4，an＞0，∴a3＝2，∴a1＋a2＝12，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋a1q＝12，,a1q2＝2，))消去a1，得eq \f(1＋q,q2)＝6.∵q＞0，∴q＝eq \f(1,2)，∴a1＝8，∴an＝8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n－1)＝24－n，∴不等式anan＋1an＋2＞eq \f(1,9)化为29－3n＞eq \f(1,9)，当n＝4时，29－3×4＝eq \f(1,8)＞eq \f(1,9)，当n＝5时，29－3×5＝eq \f(1,64)＜eq \f(1,9)，∴最大正整数n＝4.
8．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足n(n＋1)Seq \\al(2,n)＋(n2＋n－1)Sn－1＝0(n∈N*)，则S1＋S2＋…＋S2021＝( )
A．eq \f(1,2021) B．eq \f(1,2022)
C．eq \f(2020,2021) D．eq \f(2021,2022)
【答案】D 【解析】∵n(n＋1)Seq \\al(2,n)＋(n2＋n－1)Sn－1＝0(n∈N*)，∴(Sn＋1)[n(n＋1)Sn－1]＝0.又∵Sn>0，∴n(n＋1)Sn－1＝0，
∴Sn＝eq \f(1,n(n＋1))＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)，∴S1＋S2＋…＋S2021＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2021)－\f(1,2022)))＝eq \f(2021,2022).
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知n∈N*，则下列表达式能作为数列0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是( )
A．an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0，n为奇数，,1，n为偶数))
B．an＝eq \f(1＋(－1)n,2)
C．an＝eq \f(1＋cs nπ,2)
D．an＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(nπ,2)))
【答案】ABC 【解析】检验知A，B，C都是所给数列的通项公式．
10．(2022年宿迁期末)设等差数列{an}前n项和为Sn，公差d>0，若S9＝S20，则下列结论中正确的有( )
A．S30＝0
B．当n＝15时，Sn取得最小值
C．a10＋a22>0
D．当Sn>0时，n的最小值为29
【答案】BC 【解析】由S9＝S20⇒9a1＋eq \f(1,2)×9×8d＝20a1＋eq \f(1,2)×20×19d⇒a1＋14d＝0⇒a15＝0.因为d>0，所以有S30＝30a1＋eq \f(1,2)×30×29d＝30·(－14d)＋435d＝15d＞0，故A不正确；因为d>0，所以该等差数列是单调递增数列，因为a15＝0，所以当n＝15或n＝14时，Sn取得最小值，故B正确；因为d>0，所以该等差数列是单调递增数列，因为a15＝0，所以a10＋a22＝2a16＝2(a15＋d)＝2d>0，故C正确；因为d>0，n∈N*，所以由Sn＝na1＋eq \f(1,2)n(n－1)d＝n(－14d)＋eq \f(1,2)n(n－1)d＝eq \f(1,2)dn(n－29)>0，可得n>29，n∈N*，因此n的最小值为30，故D不正确．故选BC．
11．已知等比数列{an}的公比为q，满足a1＝1，q＝2，则( )
A．数列{a2n}是等比数列
B．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是递增数列
C．数列{lg2an}是等差数列
D．数列{an}中，S10，S20，S30仍成等比数列
【答案】AC 【解析】等比数列{an}中，由a1＝1，q＝2，得an＝2n－1，∴a2n＝22n－1，∴数列{a2n}是等比数列，故A正确；数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是递减数列，故B不正确；∵lg2an＝n－1，故数列{lg2an}是等差数列，故C正确；数列{an}中，S10＝eq \f(1－210,1－2)＝210－1，同理可得S20＝220－1，S30＝230－1，不成等比数列，故D错误．
12．设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1>1，a2019a2020>1，eq \f(a2019－1,a2020－1)1，必有q>0，则数列{an}各项均为正值．又由eq \f(a2019－1,a2020－1)