湘教版（2024）八年级上册（2024）4.1 认识三角形精品课件ppt

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1. 了解三角形的高、角平分线与中线的概念，会用工具准确画出三角形的高、角平分线与中线 ..
2. 学会用数学知识解决实际问题，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线
把一条线段分成两条相等的线段的点
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗?
思考：过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗?
问题1 什么是三角形的高？怎样画三角形的高？
定义 如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.
问题2 由三角形的高你能得到什么结论？
∠ADB= ∠ADC=90 °
注意:标明垂直的记号和垂足的字母.
高的叙述方法（如图）：有三种.
②AD⊥BC,垂足为D.
③点D在BC上，且∠BDA=∠CDA=90°.
①AD是△ABC的高.
思考：你还能画出一条高来吗？
一个三角形有三个顶点，应该有三条高.
问题1:每人画一个锐角三角形.(1) 你能画出这个三角形的三条高吗?
(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？
问题2:锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?
锐角三角形的三条高交于同一点.
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
问题：在纸上画出一个直角三角形.
(1)画出直角三角形的三条高.
直角边BC边上的高是______;
直角边AB边上的高是 ;
(2)它们有怎样的位置关系？
斜边AC边上的高是_______.
直角三角形的三条高交于直角顶点.
(1) 你能画出钝角三角形的三条 高吗？
(3)钝角三角形的三条高 交于一点吗？
(4)它们所在的直线交于 一点吗？
钝角三角形的三条高不相交于一点；
钝角三角形的三条高所在直线交于一点.
视频：画钝角三角形的高
例1 作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是(　　)
方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．
例2 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为____．
问题1 如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论？
问题2 你能用同样的方法画出任意一个三角形的一个内角的平分线吗?
想一想：三角形的角平分线与角的角平分线相同吗?
相同点是： ∠ BAD= ∠ CAD;不同点是：前者是线段，后者是射线.
用量角器画最简便，用圆规也能.
在一张纸上画出一个一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合.
折痕AD即为三角形的∠A的平分线.
问题4：请画出这个三角形的另外两条角平分线,你发现了什么？
三角形的三条角平分线交于一点．
问题3：一个三角形有几条角平分线？
观察下面三种三角形的三条角平分线，你又有什么发现？
三角形的三条角平分线交于同一点.
例3：如图，DC平分∠ACB，DE∥BC,∠AED=80°，求∠ECD的度数.
解：∵DC平分∠ACB,
∴∠AED=∠ACB=80°.
问题1 如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？
问题2 如图，如果点D是线段BC的中点，那么线段AD就称为△ABC的中线．类比三角形的高的概念，试说明什么叫三角形的中线？
定义：如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线.
想一想：由三角形的中线能得到什么结论？
画一画：如图，分别画出下列三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？
三角形的三条中线相交于一点.我们称为三角形的重心.
问题3 如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系？为什么？
答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.
问题4 通过问题3你能发现什么规律？
答：三角形的中线能将三角形的面积平分.
例4 如图，AD是△ABC的中线， AE是△ABC的高.（1）图中共有几个三角形？请分别列举出来;
解: （1）图中有6个三角形，
（2）其中哪些三角形的面积相等？
解: 因为AD是△ABC的中线，
因为AE是△ABC的高，也是△ABD和△ADC的高，
所以S△ABD = S△ADC .
总结：三角形的中线把三角形分成面相等的两个部分.
如图,在△ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说法的正误.
①AD是△ABE的角平分线( )
②BE是△ABD边AD上的中线( )
③BE是△ABC边AC上的中线( )
④CH是△ACD边AD上的高( )
例5 如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的周长为35cm，BC=11cm，且△ABD与△ACD的周长差为3cm，求AB与AC的长.
解: ∵AD是△ABC的中线，∴CD=BD.∵△ABC的周长为35cm，BC=11cm，∴AC+AB=35-11=24（cm）.又∵△ABD与△ACD的周长差为3cm,∴AB-AC=3cm，∴AB=13.5cm,AC=10.5cm.
例5：如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值.
∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF，
即S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.
1．下列说法正确的是 （　　）A．三角形三条高都在三角形内 B．三角形三条中线相交于一点C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可 能在三角形外D．三角形的角平分线是射线
2．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正确的是 （　　）A．①② B．③④ C．①④ D．②③
3.如图，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC的高的有 （　　）A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
5.填空：（1）如图①，AD,BE,CF是△ABC的三条中线，则 AB= 2＿＿,BD= ＿＿，AE= ＿＿
(2)如图②，AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线，则∠1= ＿＿， ∠3=_________， ∠ACB=2______.
6.如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△AEC=3cm2，则S△ABC =______.
7.在ΔABC中,CD是中线,已知BC－AC=5cm,ΔDBC 的周长为25cm,求ΔADC的周长.
解：∵CD是△ABC的中线，∴BD＝AD，∴△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝25cm，则BD+CD＝25－BC.∴△ADC的周长＝AD＋CD＋AC ＝BD＋CD＋AC ＝25-BC＋AC ＝25－(BC－AC)＝25－5＝20cm.
能力提升：王大爷有一块三角形的菜地,现在要将它们平均分给四个儿子,在菜地的一角A处有一口池塘,为了使分开后的四块菜地都就近取水,王大爷为此很伤脑筋.你能想出什么办法帮帮王大爷吗？ 如果不考虑水源,你认为还可以怎样分?
（思路提示：想到三角形的中线能把三角形分成面积相等的两部分.）