湘教版（2024）九年级上册相似三角形的应用备课ppt课件

这是一份湘教版（2024）九年级上册相似三角形的应用备课ppt课件，共24页。PPT课件主要包含了长臂端点升高3米，树高AB为55m，第1题，第2题，第5题，第6题，第7题，第8题等内容，欢迎下载使用。
幻灯片 1：封面标题：3.5 相似三角形的应用幻灯片 2：学习目标能运用相似三角形的判定和性质解决实际生活中的测量问题（如高度、距离等）（重点）。学会将实际问题转化为相似三角形问题，体会数学建模思想（难点）。感受相似三角形在生产和生活中的广泛应用，增强应用数学的意识。幻灯片 3：情境引入展示图片：古代埃及人测量金字塔高度的场景工人测量旗杆高度的场景地图上的比例尺与实际距离的关系提问：在无法直接测量某些物体的高度或距离时，我们可以借助什么数学知识来解决？（引出相似三角形的应用）幻灯片 4：利用相似三角形测量高度（方法 1：利用阳光下的影子）原理：在同一时刻，太阳光线可以看作是平行光线，因此物体的高度与其影子的长度成比例，即两个物体及其影子构成的三角形相似。案例：如图，在同一时刻，测得一根高为\(1.5m\)的标杆的影长为\(2m\)，同时测得一座塔的影长为\(24m\)，求塔的高度。（插入示意图：标杆、塔及其影子构成两个直角三角形）解：设塔的高度为\(h m\)。因为在同一时刻，太阳光线平行，所以\(\triangle ABC \backsim \triangle DEF\)（\(A\)、\(D\)为物体顶端，\(B\)、\(E\)为物体底部，\(C\)、\(F\)为影子顶端）。根据相似三角形对应边成比例，得\(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}\)，即\(\frac{1.5}{h}=\frac{2}{24}\)。解得\(h = 18\)，即塔的高度为\(18m\)。幻灯片 5：利用相似三角形测量高度（方法 2：利用镜子反射）原理：根据光的反射定律，反射角等于入射角，因此物体、镜子与眼睛构成的两个三角形相似。案例：如图，小明站在距离镜子\(2m\)的地方，镜子距离一棵大树\(10m\)，小明的眼睛距离地面\(1.6m\)，求大树的高度。（插入示意图：小明、镜子、大树构成两个直角三角形，镜子处为公共顶点）解：设大树的高度为\(H m\)。由光的反射定律，\(\angle ACB = \angle DCE\)，又因为\(\angle ABC = \angle DEC = 90^\circ\)，所以\(\triangle ABC \backsim \triangle DEC\)。根据相似三角形对应边成比例，得\(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EC}\)，即\(\frac{1.6}{H}=\frac{2}{10}\)。解得\(H = 8\)，即大树的高度为\(8m\)。幻灯片 6：利用相似三角形测量距离（方法：构造相似三角形）原理：对于无法直接到达的两点之间的距离，可以通过构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质求解。案例：如图，为了测量河两岸\(A\)、\(B\)两点之间的距离，在岸边选取一点\(C\)，从\(C\)点出发在岸边画一条线段\(CD\)，使得\(CD \perp BC\)，在\(CD\)上取一点\(E\)，使得\(\angle AEC = \angle BED\)，测得\(CE = 4m\)，\(ED = 6m\)，\(BE = 5m\)，求\(AB\)的距离。（插入示意图：河两岸的点\(A\)、\(B\)及岸边的点\(C\)、\(D\)、\(E\)构成相似三角形）解：因为\(\angle AEC = \angle BED\)（对顶角相等），\(\angle ACE = \angle BDE = 90^\circ\)，所以\(\triangle ACE \backsim \triangle BDE\)。根据相似三角形对应边成比例，得\(\frac{AC}{BD}=\frac{CE}{DE}=\frac{AE}{BE}\)。已知\(CE = 4m\)，\(ED = 6m\)，所以\(\frac{CE}{DE}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)。设\(AE = 2x\)，则\(BE = 3x\)，又因为\(BE = 5m\)，所以\(3x = 5\)，解得\(x=\frac{5}{3}\)，则\(AE = 2x=\frac{10}{3}m\)。因此\(AB = AE + BE=\frac{10}{3}+5=\frac{25}{3}m\apprx8.33m\)。幻灯片 7：利用相似三角形解决地图与实际距离问题原理：地图上的图形与实际图形是相似的，地图的比例尺就是相似比，通过比例尺可以将地图上的距离转化为实际距离。案例：如图，一幅地图的比例尺是\(1:50000\)，在地图上测得\(A\)、\(B\)两地的距离为\(3cm\)，求\(A\)、\(B\)两地的实际距离。（插入示意图：地图上的\(A\)、\(B\)两点及比例尺）解：设\(A\)、\(B\)两地的实际距离为\(x cm\)。因为地图与实际图形相似，比例尺为\(1:50000\)，即相似比为\(\frac{1}{50000}\)。根据相似三角形对应边成比例（这里可看作线段的比例），得\(\frac{3}{x}=\frac{1}{50000}\)。解得\(x = 3×50000 = 150000cm = 1500m\)，即\(A\)、\(B\)两地的实际距离为\(1500m\)。幻灯片 8：例题讲解 1（综合应用）例 1：如图，某同学想测量旗杆的高度，他在地面上放置一面镜子，镜子与旗杆的底部距离为\(20m\)，他与镜子的距离为\(2.5m\)，已知他的眼睛距离地面\(1.6m\)，求旗杆的高度。（插入示意图：同学、镜子、旗杆构成相似三角形）解：设旗杆的高度为\(h m\)。根据光的反射定律，\(\angle 1 = \angle 2\)（反射角等于入射角），又因为\(\angle 3 = \angle 4 = 90^\circ\)，所以\(\triangle ABC \backsim \triangle DEC\)。根据相似三角形对应边成比例，得\(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EC}\)，即\(\frac{1.6}{h}=\frac{2.5}{20}\)。解得\(h = 12.8\)，即旗杆的高度为\(12.8m\)。幻灯片 9：例题讲解 2（复杂情境）例 2：如图，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，某同学从斜坡底部\(A\)点沿斜坡向上走了\(10m\)到达\(B\)点，此时测得大树顶端\(C\)的仰角为\(60^\circ\)，大树底部\(D\)的俯角为\(30^\circ\)，已知斜坡的坡度为\(1:\sqrt{3}\)（即斜坡与水平面的夹角的正切值为\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)），求大树的高度。（插入示意图：斜坡、大树及同学的位置构成多个直角三角形，其中包含相似关系）解：过点\(B\)作\(BE \perp CD\)于点\(E\)，\(BF \perp AD\)于点\(F\)。因为斜坡的坡度为\(1:\sqrt{3}\)，所以\(\angle BAD = 30^\circ\)，在\(Rt\triangle ABF\)中，\(BF = AB \cdt \sin 30^\circ = 10×\frac{1}{2}=5m\)，\(AF = AB \cdt \cs 30^\circ = 10×\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}m\)。因为\(BE \perp CD\)，\(BF \perp AD\)，\(CD \perp AD\)，所以四边形\(BEDF\)是矩形，\(DE = BF = 5m\)，\(BE = DF\)。由测得大树顶端\(C\)的仰角为\(60^\circ\)，得\(\angle CBE = 60^\circ\)，在\(Rt\triangle BEC\)中，\(\tan 60^\circ=\frac{CE}{BE}\)，即\(CE = BE \cdt \tan 60^\circ\)。又因为\(\angle BAD = 30^\circ\)，\(\angle BDF = 90^\circ\)，所以\(\triangle ABD\)与\(\triangle BCD\)中存在相似关系（具体推导略），最终可得大树的高度\(CD = CE + DE = 15m\)。幻灯片 10：课堂练习 1（基础题）在同一时刻，测得一根高为\(2m\)的竹竿的影长为\(1.5m\)，一座楼的影长为\(45m\)，求楼的高度。一幅地图的比例尺是\(1:1000000\)，在地图上量得甲、乙两地的距离为\(5cm\)，则甲、乙两地的实际距离为（ ）\(km\)。幻灯片 11：课堂练习 2（提升题）如图，小明站在\(C\)处看远处的点\(A\)和\(B\)，视线\(AC\)、\(BC\)分别与地面交于点\(D\)、\(E\)，若\(CD = 2m\)，\(CE = 3m\)，\(DE = 4m\)，小明的眼睛距离地面\(1.6m\)，求\(A\)、\(B\)两点之间的距离。（插入示意图：小明的视线与地面构成的三角形）2. 为了测量河的宽度，在河的一岸取一点\(A\)，在另一岸取两点\(B\)、\(C\)，使得\(\angle ABC = 90^\circ\)，测得\(AB = 10m\)，\(BC = 20m\)，在\(A\)点同侧取一点\(D\)，使得\(\angle ADC = 90^\circ\)，且\(AD \parallel BC\)，测得\(AD = 5m\)，求河的宽度（即\(A\)到\(BC\)的距离）。幻灯片 12：易错点解析相似三角形对应关系错误：在确定相似三角形的对应边时，容易因图形复杂而混淆对应关系，导致比例式列错。忽略实际情境中的垂直关系：在测量高度时，物体通常垂直于地面，镜子反射时需注意反射角等于入射角等条件，否则会影响三角形相似的判定。单位换算错误：在涉及地图比例尺时，容易忽略单位换算，如将厘米直接当作米或千米进行计算。幻灯片 13：课堂总结相似三角形应用的核心：利用相似三角形的对应边成比例这一性质，将实际问题中的未知量转化为比例式中的未知数进行求解。常见应用场景：测量物体高度（利用影子、镜子反射）、测量距离（河宽、两地距离）、地图比例尺等。解题步骤：分析实际问题，找出相似的三角形。确定相似三角形的对应边和已知量、未知量。根据相似三角形的性质列出比例式。求解比例式，得到未知量，并进行单位换算（如果需要）。幻灯片 14：课后作业一棵大树在一次台风中被折断，折断部分与地面成\(30^\circ\)角，顶端落在离树干底部\(6m\)处，求大树原来的高度（结果保留根号）。如图，在水平地面上有两棵树，它们的高度分别为\(AB = 6m\)和\(CD = 8m\)，两树之间的距离\(BD = 10m\)，现在要在两树之间的地面上选一点\(P\)，使得从点\(P\)看两棵树的顶端\(A\)、\(C\)时，视线\(PA\)、\(PC\)与地面的夹角相等，求\(BP\)的长度。（插入对应的示意图）3. 查阅资料，了解更多利用相似三角形解决实际问题的案例，并与同学交流分享。
如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小张想测量出A，B间的距离，但由于受条件限制无法直接测量，你能帮他想出一个可行的测量办法吗？下面我们就来解决这个问题。
1.在池塘外取一点C，使它可以直接看到A，B两点；
2.连接并延长AC，BC；
4.测量出DE的长度.
由相似三角形的有关知识求出A，B两点间的距离.
例 在用步枪瞄准靶心时，要使眼睛（O）、准星（A）、靶心点（B）在同一条直线上。在射击时，李明由于有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′，如图所示。已知OA=0.2m，OB=50m，AA′=0.0005m，求李明射击到的点B′偏离靶心点B的长度BB′（近似地认为AA′//BB′）。
1. 如图，某路口栏杆的短臂长为1m，长臂长为6m. 当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高多少米？
2.如图，小红同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，她调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=80cm， EF=40cm，测得AC=1.5m，CD=8m，求树高AB．
知识点 利用相似三角形测量距离
7. 土圭之法是在平台中央竖立一根6尺长的杆子，观察杆子的日影长度.古代的人们发现，夏至日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季.如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时
刻太阳光线与杆的夹角和第二时刻太阳光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为1.5尺，则第二时刻的影长为____尺.
9. 普救寺位于山西永济蒲州古城内，是我国历史名剧《西厢记》故事的发生地，寺庙规模宏伟，内部有很多著名建筑.其中