六年级奥数专题精讲精练-第40周-不定方程（练习附答案）

这是一份六年级奥数专题精讲精练-第40周-不定方程（练习附答案），共5页。试卷主要包含了知识要点，精讲精练等内容，欢迎下载使用。
当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如5x－3y＝9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如5x－3y＝9的解有：
x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6
y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3
如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。
二、精讲精练
【例题1】求3x+4y＝23的自然数解。
先将原方程变形，y＝ EQ \F(23－3x,4) 。可列表试验求解：
所以方程3x+4y＝23的自然数解为
X=1 x=5
Y=5 y=2
练习1
1、求3x+2y＝25的自然数解。
2、求4x+5y＝37的自然数解。
3、求5x－3y＝16的最小自然数解。
【例题2】求下列方程组的正整数解。
5x+7y+3z＝25
3x－y－6z＝2
这是一个三元一次不定方程组。解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。
5x+7y+3z＝25 = 1 \* GB3 ①
3x－y－6z＝2 = 2 \* GB3 ②
由 = 1 \* GB3 ①×2+ = 2 \* GB3 ②，得13x+13y＝52
X+y＝4 = 3 \* GB3 ③
把 = 3 \* GB3 ③式变形，得y＝4－x。
因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3.
当x＝1时，y＝3
当x＝2时，y＝2
当x＝3时，y＝1
把上面的结果再分别代入 = 1 \* GB3 ①或 = 2 \* GB3 ②，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。
x＝2，y＝2时，z也无正整数解。
x＝3时，y＝1时，z＝1.
所以，原方程组的正整数解为 x＝1
y＝1
z＝1
练习2
求下面方程组的自然数解。
1、4x+3y－2z＝7 2、 7x+9y+11z＝68
3x+2y+4z＝21 5x+7y+9z＝52
3、5x+7y+4z＝26
3x－y－6z＝2
【例题3】一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。如果弹子数为99，盒子数大于9，问两种盒子各有多少个？
两种盒子的个数都应该是自然数，所以要根据题意列出不定方程，再求出它的自然数解。
设大盒子有x个，小盒子有y个，则
12x+5y＝99（x＞0，y＞0，x+y＞9）
y＝（99－12y）÷5
经检验，符合条件的解有：
x＝2 x＝7
y＝15 y＝3
所以，大盒子有2个，小盒子有15个，或大盒子有7个，小盒子有3个。
练习3.
1、某校6（1）班学生48人到公园划船。如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人。那么需要小船和大船各几只？（大、小船都有）
2、甲级铅笔7角钱一枝，乙级铅笔3角钱一枝，小华用六元钱恰好可以买两种不同的铅笔共几枝？
3、小华和小强各用6角4分买了若干枝铅笔，他们买来的铅笔中都是5分一枝和7分一枝的两种，而且小华买来的铅笔比小强多，小华比小强多买来多少枝？
【例题4】买三种水果30千克，共用去80元。其中苹果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。问三种水果各买了多少千克？
设苹果买了x千克，橘子买了y千克，梨买了（30－x－y）千克。根据题意得：
4x+3y+2×（30－x－y）＝82
x＝10－ EQ \F(y,2)
由式子可知：y