河南省邓州市春雨国文学校2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试卷

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1．B
【分析】通过直线平行公式，得到且，从而求出的值.
【详解】，且
或
故选：B
2．D
【分析】根据方程表示双曲线可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】因为方程表示双曲线，则，即，
解得或.
故选：D.
3．C
【分析】先找到P关于轴对称点,由两点间距离公式可得,根据最短路径为即可求解.
【详解】圆
则圆心坐标为,半径,如下图所示:
设点,则点P关于轴对称点为
由两点间距离公式可得
所以最短路径的长度为
故选:C
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,点关于直线的对称点及最短距离问题,属于基础题.
4．D
【分析】根据斜率的取值范围求得倾斜角的取值范围.
【详解】由于，所以，
又，所以.
故选：D
5．C
【分析】由条件知M点在圆内，故当劣弧最短时,应与圆心与M点的连线垂直，求出直线斜率即可.
【详解】由条件知M点在圆内，故当劣弧最短时, 应与圆心与M点的连线垂直,
设圆心为,则，

故直线的斜率，
的方程为，即.
故选C.
【点睛】本题主要考查了直线的方程以及直线和圆的方程的应用，属于中档题.
6．C
【分析】函数转化为，，作出图像，利用抛物线的定义可得，由此能求出的最小值．
【详解】函数转化为，，又，，如图所示，

为抛物线的焦点坐标，过作准线，交准线于点，交抛物线于点，
此时由抛物线的定义可得，
当点不在此位置时，由三角形两边之和大于第三边可得，即，
所以的最小值为．
故选：C．
7．D
【分析】由题意首先根据对称性得出，又，所以可依次求得，又，再由平方关系可得，又，所以结合直角三角形中锐角三角函数的定义以及余弦定理可得方程，结合平方关系离心率公式运算即可求解.
【详解】如图所示：
，垂足为点，由题意，又，所以，，
又因为原点是的中点，所以，
解得，
又，
所以由余弦定理，整理得，
又，所以，即，解得，
从而所求离心率为.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题的关键是画出图形，通过数学结合、双曲线的定义以及解三角形知识即可顺利求解，综合性比较强.
8．C
【分析】由题设椭圆中可得，又、判断①②；令得，特殊值判断③；利用椭圆定义求焦点三角形周长判断④.
【详解】由题意，椭圆中几何量，所以，则，
故①正确；
因为，由椭圆性质可知，
所以，故②正确；
设，则
，取，
则，故③错误；
由椭圆定义知，，
所以的周长，故④正确，故答案为①②④.
故选：C.

【点睛】关键点睛：本题③的关键点在于设，由表示出，结合三角函数的性质即可得出答案.
9．BC
【分析】先求出两个圆的圆心坐标和半径，根据圆心距可得两圆相离，从而求得两圆上动点的距离最值，计算直线斜率公式判断各个选项；
【详解】对于A、B选项：由题意得：，半径为1，
：，，半径为1，
圆心距为，又点在圆上，点在圆上，
，，故A错误，B正确；
对于C选项：两个圆心所在直线斜率为，C正确；
对于D选项：圆心距，所以无公共弦，D错误；
故选：BC．
10．AD
【分析】根据条件先求出抛物线的标准方程，再逐项分析求解.
【详解】依题意，抛物线C的准线为，
因为为C上一点，且，则，
解得，故A正确；
可得抛物线C:，焦点为，
因为A为C上一点，则4，所以 ，故B错误；
若，则线的方程为，
代入，得，整理得，解得或，
因为B与A分别在x轴的两侧，可得；
同理：若，可得；
综上所述：或，故C错误；
若，则，则；
同理：若，可得；
故D正确；
故选：AD.
11．ACD
【分析】对于A，由抛物线的定义结合梯形中位线的定义判断；对于B，假设为等边三角形，结合以及抛物线的标准方程，得出点坐标，再利用勾股定理得出可知该三角形不是等边三角形；对于C，设出直线程，与抛物线联立，利用伟达定理得出，，代入即可判断；对于D，利用三角形面积的求法，结合韦达定理，代入即可判断.
【详解】对于A，如图，假设点位于第四象限，根据抛物线的定义可得，
设中点为，点在抛物线的准线上的射为，所以，
则以为直径的圆与准线相切，故A正确；
对于B，若是正三角形，则，但是，所以显然不成立，故B错误；
对于C，设直线：，联立，得，
则，，所以，，
所以
，故C正确；
对于D，，，，则
，
所以，故D正确.

故选：ACD．
12．
【分析】直线垂直的直线的方程可设为，将点带入算出参数即可.
【详解】因为直线且直线与直线垂直,
所以由题可设，
又直线过点，所以，
解得，即直线的方程为.
故答案为: .
13．/
【分析】设，则，由双曲线的定义可得，由题意可知四边形为矩形，在中，由勾股定理解得，在中，由勾股定理可求得离心率.
【详解】如图所示，设双曲线的左焦点为点，连接，设，则，
由双曲线的定义可得，
由于，则,又，则四边形为矩形，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
在中，由勾股定理得，即，
．
故答案为：.
14．
【分析】先列出直线和双曲线联立，再得到的表达式，要使得为定值，则需满足各项对应的系数成比例，求出点坐标.
【详解】设，若直线斜率不存在，此时为轴，与双曲线没有交点，
所以可令，，，则，
由，可得，易知，
则，，
所以
，
所以，即，
将代入，得，则，
从而，解得或，
当，时，此时不在双曲线上，舍去；
当，时，此时在双曲线上，满足题意；
综上，.
故答案为：
15．(1)
(2)15
【分析】（1）由B，C两点的坐标，得直线的两点式方程，化简得一般式方程；
（2）用两点间距离公式求B，C两点间的距离，计算点A到直线BC的距离可得三角形的高，得三角形的面积.
【详解】（1）因为，，所以BC所在的直线方程为，
即.
（2）B，C两点间的距离为，
点A到直线BC的距离，
所以的面积为.
16．(1)；
(2).
【分析】（1）由题可知，进而即得；
（2）设直线方程，与双曲线方程联立，根据中点坐标公式可得斜率，进而即得.
【详解】（1）由已知得，
∴，
所以双曲线的方程为；
（2）设点，
由题意可知直线的斜率存在，则可设直线的方程为，即，
把代入双曲线的方程，
得①，
由题意可知，
所以，
解得，
当时，方程①可化为.
此时，方程①有两个不等的实数解．
所以直线的方程为
17．（1）；（2）或．
【分析】（1）先求得圆心到直线的距离，再根据计算即可，其中为半径；
（2）根据斜率存在与否分两种情况结合相切的条件列式求解即可．
【详解】（1）解：由圆变形得，
∴ 圆心，半径，
圆心到直线：的距离，
∴ ．
（2）解：由题意，圆的圆心为，半径为1，
∴ 到的距离为，
∴ 点在圆外，
当切线斜率不存在时，切线方程为，所以是其中一条切线；
当切线斜率存在时，设切线方程为，
则，解得，
∴ 切线方程为．
综上：切线方程为或．
18．(1)=1
(2)=1
【分析】（1）设直线的截距式再根据中点坐标求截距值即可；
（2）设直线的截距式，再结合基本不等式求解即可.
【详解】（1）设，则直线l的方程为，
∴为AB中点，
∴=2，=1，
∴，
则直线l的方程为=1.
（2）设，
则直线l的方程为，
又点在直线l上，
∴=1.∵1=≥2，∴，当
且仅当，即时，等号成立，
∴，
∴直线l的方程为=1.
19．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意可得，因为点在椭圆上，将点坐标带入椭圆方程求解即可.
（2）过点直线与椭圆相交，首先要考虑直线斜率不存在的情况，然后在直线斜率存在的条件下，设直线方程及交点坐标，直线方程与椭圆方程联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理求解交点横坐标之间的关系，然后求解直线，的斜率之和即可.
【详解】（1）解：由题意得，得，所以椭圆方程为，
因为点（－1，）在椭圆上，所以，得，
所以椭圆方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，，为椭圆的上下顶点，即为（0，，
则．
当直线的斜率存在时，设的方程为，
联立消去并整理得，，
则，得，
设，，则，，
所以
．
综上可得，直线，的斜率之和为定值．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
C
D
C
C
D
C
BC
AD
题号
11









答案
ACD