河南省邓州市春雨国文学校2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试卷（含解析）

这是一份河南省邓州市春雨国文学校2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试卷（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用诱导公式可化简求出.
【详解】.
故选：A.
2. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 1弧度是1度的圆心角所对的弧B. 1弧度是长度为半径长的弧
C. 1弧度是1度的弧与1度的角之和D. 1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角
【答案】D
【解析】
【分析】根据角的弧度制定义逐一判断即可.
【详解】因为1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角，
所以选项ABC说法不正确，D正确，
故选：D
3. 已知某扇形的面积为3，则该扇形的周长最小值为（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设扇形的弧长为，半径为，由题意可知，再利用基本不等式，即可求出扇形的周长最小值.
【详解】设扇形的弧长为，半径为，
所以扇形的面积为，所以，
又扇形的周长为，所以，当且仅当，即时，取等号.
故选：D.
4. 对于诱导公式中的角，下列说法正确的是（ ）
A. 一定是锐角B.
C. 一定是正角D. 是使公式有意义的任意角
【答案】D
【解析】
【分析】根据诱导公式判断即可.
【详解】对于诱导公式中的角，角是使公式有意义的任意角.
故选：D
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由诱导公式计算．
【详解】.
故选：D.
6. 的值（ ）
A. 大于0B. 小于0C. 等于0D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数在各象限的符号求解即可.
【详解】因为，所以，
所以，，，
故选：B
7. 已知为第二象限角，则所在的象限是（ ）
A. 第一或第二象限B. 第二或第三象限
C. 第二或第四象限D. 第一或第三象限
【答案】D
【解析】
【分析】由象限角的定义可得出，求出的取值范围，对分奇数和偶数两种情况讨论，可得出的终边所在的象限.
【详解】因为为第二象限角，则，
所以，，
①当为奇数时，设，则，
即，此时为第三象限角；
②当为偶数时，设，则，
此时为第一象限角.
综上所述，为第一或第三象限角.
故选：D.
8. 如图，已知扇形的周长为6，当该扇形的面积取最大值时，弦长（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设扇形圆心角为，半径为，弧长为，可得出，利用基本不等式可求得扇形面积的最大值及其对应的的值，进而可求出，，然后线段的中点，可得出，进而可求得线段的长.
【详解】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，可得出，
由可得，
所以，扇形的面积为，
当且仅当，即时，扇形的面积最大，此时．
因为，则扇形的圆心角，
取线段的中点，由垂径定理可知，
因为，则，
所以，.
故选：A.
二、多选题
9. 下列说法，不正确是（ ）
A. 三角形的内角必是第一、二象限角
B. 始边相同而终边不同的角一定不相等
C. 钝角比第三象限角小
D. 小于180°的角是钝角、直角或锐角
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用任意角，和象限角概念分析不同的选项，即可得出答案.
【详解】由题意，
A中，
90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，
故A错误；
B中，
始边相同而终边不同的角一定不相等，
故B正确；
C中，
钝角大于的角，而的角是第三象限角，
故C错误；
D中，
零角或负角小于，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，
故D错误．
故选：ACD.
10. 若角的终边上有一点，且，则a的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】由三角函数的定义结合题意求解即可
【详解】由三角函数的定义可知，，
，
又，则，
解得或，
故选：CD．
11. 已知为第二象限角，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】直接利用角所在的象限，判断正弦函数与余弦函数的值的符号，然后利用诱导公式化简各个选项即可判断得解．
【详解】因为为第二象限角，
所以，故错误；
可得，故正确；
所以，故正确；
所以．故错误．
故选：．
12. 已知三角形是边长为的等边三角形.如图，将三角形的顶点与原点重合.在轴上，然后将三角形沿着轴顺时针滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论，其中说法正确的是（ ）
A. 一个周期是
B. 完成一个周期，顶点的轨迹是一个半圆
C. 完成一个周期，顶点的轨迹长度是
D. 完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据已知可作出顶点的运动轨迹，可知轨迹为两个圆，结合图象可知A正确，B错误；结合圆的周长和面积求法可求得轨迹长度和围成区域面积，知CD正确.
【详解】由已知可得：点一个周期的运动轨迹如图所示，
对于A，当再次回落到轴上时，发生了个单位的位移，则一个周期为，A正确；
对于B，完成一个周期，顶点的轨迹由以为圆心，为半径的圆和以为圆心，为半径的圆共同组成，不是一个半圆，B错误；
对于C，由B知，顶点的轨迹为，C正确；
对于D，顶点的轨迹与轴围成的区域面积为两个圆的面积与的面积之和，
即所求面积为，D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13. 若将时钟拨慢，则分针转过角是______；若时钟从6时走到9时，则时针转过的角是______．
【答案】 ①. 120°## ②. ##
【解析】
【分析】根据角的定义即可按比例求解.
【详解】需要拨慢20分钟，则逆时针转动，故分针转过的角是120°，
时针从6时走到9时，是顺时针走动的，所以时针转过的度数为，
故答案为：120°，
14. 工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面，已知扇面展开的中心角为，外圆半径为40cm，内圆半径为20cm，那么制作这样一面扇面至少需要用布料为__________cm2

【答案】400π
【解析】
【分析】由扇形的面积公式计算即可得到答案.
【详解】解：根据题意，由扇形的面积公式可得：
制作这样一面扇面需要的布料为.
故答案为：400π
15. 化简__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用特殊角的三角函数值以及同角三角函数的商数关系即可求解.
【详解】
故答案为：.
16. 九章算术是中国古代的数学名著，其中方田一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分.若弧田所在圆的半径为，圆心角为，则此弧田的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件求出三角形面积和扇形面积，结合图形即可计算作答.
【详解】依题意，等腰底边，高，则的面积为，
而扇形的面积为，则有阴影部分的面积为，
所以此弧田的面积为.
故答案为：
四、解答题
17. 已知角的终边经过点，求下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的定义和诱导公式求解即可.
（2）根据诱导公式求解即可.
小问1详解】
因为角的终边经过点，
所以，，
所以.
【小问2详解】
由题意.
18. 已知角的终边过点，且，求及的值.
【答案】，
【解析】
【分析】根据三角函数的定义求解即可.
【详解】因为角终边过点，且，
所以，解得，
所以.
19. 已知集合，集合，求．
【答案】
【解析】
【分析】根据角的范围将其表示在平面直角坐标中，然后根据交集概念求解出的结果.
【详解】在平面直角坐标系中表示出角的范围如下图：
由图可知：.
20. 如何证明T是函数的周期？如何证明S不是函数的周期？
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】根据周期的定义直接证明T是函数的周期；假设S是函数的周期，举反例推出矛盾，即可得证.
【详解】证明：因为对于函数，存在一个不为零的常数，使得任意的，
都有都成立，所以T是函数的周期；
假设S是函数的周期，但由于存在使得，
则与任意的，都有都成立矛盾，所以S不是函数的周期.