专题7 导数与数列不等式讲义-2025届高三数学二轮复习 含答案

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数列是高中数学中的一个重要内容，在高等数学也占有重要的位置.函数与不等式是高中数学培养学生思维能力的重要内容，可以体现数学思维中的很多方法，解决两者结合在一起的问题，既要具备灵活运用数学基础知识和数学基本能力，又要具备较高的应用数学抽象、逻辑推理分析问题、解决问题的数学素养.
导数与数列中有关不等式的证明是紧密相连且互相渗透的.在复习中，我们一定要注意它们的联系，它们所涉及的问题往往是灵活应用导数与数列中有关不等式的知识，把这两者完美地结合在一起.学生要在知识的交汇点学会思考分析，达到知识的融会贯通.同时，提高自己的分析问题和解决问题的能力.
利用导数证明数列不等式，一方面以函数为背景让学生探寻函数的性质，另一方面体现数列是特殊的函数，进而利用恒成立的不等式将没有规律的数列放缩为为有具体特征的数列，巧妙地将函数、导数、数列、不等式结合在一起．
证明此类问题时常根据已知的函数不等式，用关于正整数n的不等式替代函数不等式中的自变量．通过多次求和达到证明的目的．此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据待证式的特征而得到．
已知函数式为指数不等式(或对数不等式)，而待证不等式为与对数有关的不等式(或与指数有关的不等式)，还要注意指、对数式的互化，如ex＞x＋1可化为lnxn−12+12n+2．
题型二：应用导数研究i=1naiax+b；
（2）求证：ln21+ln76+...+lnn2−2n2−3+2n>32n≥2,n∈N∗．
题型三：应用导数研究i=1naign，然后应用赋值法和累加法证明不等式.
例3已知函数fx=x22+axa>0，gx=x+1lnx+1，且曲线y=fx和y=gx在原点处有相同的切线．
（1）求实数a的值，并证明：当x>0时，fx>gx；
（2）令bn=lnn+1n+1，且Tn=b1∙b2∙b3⋯bnn∈N∗，证明：n+2Tngx得x+1lnx+10，应用导数求该函数的最小值即可证明；
（2）利用第（1）问结论得fn>gn，即2n+1lnn+1