专题5 极值点偏移问题讲义 2025高三数学二轮复习 含答案

这是一份专题5 极值点偏移问题讲义 2025高三数学二轮复习 含答案，文件包含专题5极值点偏移问题教师版docx、专题5极值点偏移问题学生版答案解析docx、专题5极值点偏移问题学生版docx等3份学案配套教学资源，其中学案共47页， 欢迎下载使用。
例1【解析】（1）因为fx=x−mex−1mx2+nx，
所以f'x=x−m+1ex−2mx+n.
由题意可得f0=−2f'0=0即−m=−2−m+1+n=0解得m=2,n=1.
因为f'x=x−1ex−x+1=x−1ex−1，
所以当x1时，f'x>0，当00，则ℎx在0,1上单调递增.
因为ℎ0=0，所以ℎx>0在0,1上恒成立，即g'x>0在0,1上恒成立，则gx在0,1上单调递增.因为g0=0，所以gx>0在0,1上恒成立，即fx>f−x对一切x∈0,1恒成立.
因为x2∈0,1，所以fx2>f−x2.
因为fx1=fx2，所以fx1>f−x2.
因为fx在−∞,0上单调递增，且x1,−x2∈−∞,0，所以x1>−x2，
即证：x1+x2>0.
练1【解析】(1)fx的定义域为0,+∞，f′x=1−lnx，
当f′x=0时，x=e，
当x∈0,e时，f′x>0，
当x∈e,+∞时，f′x2e，由(1)可知00，所以et+e−t>2et⋅e−t=2，因此ℎ'(t)0时，函数ℎ(t)单调递减，故有ℎt0，所以f'x1+x220，函数f(x) 在(0,+∞)上单调递增，即f(x)的单调递增区间为(0,+∞)．
当a>0时，由f'(x)>0得x>a2；由f'xlne−1=0，
所以存在零点ℎa0=0，a0∈(2,3)，
当a>a0时，ℎ（a）>0；
当0t>0，∴g't>0．∴g(t) 在(0,1)上是增函数，又在t=1处连续且g（1）=0，
∴当t∈(0,1)时，gtm2，即证2x1+x2>m，
因为函数fx有两个零点x1,x2,x1m，只需证：x1+x2>x22−x12+2x2−x1x2−x1+lnx2−lnx1，
整理得x1+x2lnx2−lnx1>2x1−x2，即证lnx2x1>2x2−x1x1+x2=2x2x1−1x2x1+1,
设t=x2x1>1，不妨设ℎt=lnt−2t−1t+1，则ℎ't=1t−4t+12=t−12tt+12>0，
所以函数ℎt在1,+∞上单调递增，所以ℎt>ℎ1=0，
因为x1>0，所以2x1+x2>x1+x2>m，故原不等式f'x1+x22>0成立.
例3【解析】（1）由题设，f'x=ex−a+1，x∈R,
①当1−a≥0，即a≤1时，f'x>0，fx在R上单调递增；
②当1−a1时，令f'x=0，得x=lna−1,当x∈−∞,lna−1，f'x0得x>0，ℎ'x0得x>1，解f'(x)0得x>lnk,g'(x)1，g(1)=e−ke时，f'(x)=0有三个根x1，x2，x3，且01,φ(x)=lnt−2(t−1)t+1 ，
φ'(x)=1t−4t+12=t−12tt+12>0，∴φ(x)在1,+∞上递增，
∴φt>φ1=0，∴1=lnx3−lnx1x3−x1>2x3+x1，
∴x1+x3>2x2.
练7【解析】(1)因为f'x=ae2−1xlna=xalna−e2e2xlna，
当00,
所以fx的单调递减区间为0,e2alna，fx的单调递增区间为e2alna,+∞.
(2)（i）由（1）知a>1时,x0=e2alna为极小值点,又函数有两个零点，得fx00,
即mx=x2lnx在1,e上单调递增.
由1