高中数学人教A版 (2019)必修 第一册简单的三角恒等变换优秀课时作业

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一、选择题：
1．若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】结合诱导公式，同角三角函数的基本关系式、二倍角公式求得正确答案.
【详解】，由于，所以，
所以.故选：D
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对题干条件平方后相加，结合余弦的差角公式得到答案.
【详解】因为，所以（1），
因为，所以（2），
（1）+（2）得，∴.故选：A．
3．已知中，，则（ ）
A．或B．C．D．或
【答案】B
【分析】先利用三角函数的基本关系式求得，再利用正弦定理推得为锐角，从而可求得，再利用余弦的和差公式即可求得.
【详解】因为在中，，所以，所以，由正弦定理可得，故，故为锐角，所以，所以.故选：B.
4．若，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函数关系，结合正弦的二倍角公式，带值计算即可.
【详解】
.故选：D.
5．已知，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用二倍角公式和两角和与差的余弦公式对已知式子化简，然后代值求解即可.
【详解】因为，所以
，故选：A
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知求出，再利用余弦函数的二倍角公式求解即可.
【详解】，
则，故选：D.
7．设，则下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用二倍角公示化简，再由确定的范围来确定符号即可.
【详解】因为，，由，得，所以，由，得，所以.故选：B
8．已知䌼角满足，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．18
【答案】C
【分析】计算出，再将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.
【详解】，，
、均为锐角，则，，
，
当且仅当时，等号成立．的最小值为8．故选：C
二、多项选择题：
9．若，且，则下列各式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】先利用倍角公式以及平方关系求出，再结合选项逐个验证即可.
【详解】因为，所以，解得．
又，所以，从而，于是．故选：AD.
10．若，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】利用和差化积公式化简，从而可求得，即可得出答案.
【详解】解：因为，所以，
因为，，所以，从而，
于是，所以，从而．故选：BC.
11.下列选项中正确的有（ ）
A．若是第二象限角，则
B．
C．
D．
【答案】ABCD
【分析】对于A，可利用同角三角函数基本关系化简；
对于B，可利用及同角三角函数基本关系化简；
对于C，可先利用两角差的余弦公式及诱导公式统一角之后再进行化简；
对于D，可利用二倍角的正切公式化简.
【详解】对于A，因为是第二象限角，所以，从而，所以A正确；对于B，，所以B正确；
对于C，，所以C正确；
对于D，，所以D正确.故选：ABCD.
三、填空题：
12.我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中较小的锐角为θ，那么______
【答案】5
【分析】设图中直角三角形较短的直角边长为，可得出直角三角形较长的直角边长为，然后利用勾股定理求出的值，然后可得的值，然后可得答案.
【详解】由题意可知，大正方形的边长为，小正方形的边长为1，
设图中直角三角形较短的直角边长为，可得出直角三角形较长的直角边长为，
由勾股定理可得，解得，，所以，
因此.故答案为：
13.已知，则____________．
【答案】
【分析】先求得，然后结合二倍角公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
【详解】，解得.
所以.故答案为：
14.已知函数，设，，则___________，___________.
【答案】
【分析】先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形得，则由已知条件可得，再利用同角三角函数的关系求出，则，展开化简计算即可.
【详解】，
所以，所以.
因为，所以，所以，
所以，
.
故答案为：，
四、解答题：
15.已知，是方程的两根，求下列各式的值.
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用韦达定理得到，，再根据两角和的正切公式计算可得；
（2）利用同角三角函数的基本关系及和差角公式得到，，从而代入计算可得.
【详解】（1）解：因为，是方程的两根，
所以，，所以.
（2）解：因为，
所以，即，
又，所以，
所以，所以.
16.已知.
(1)求的值
(2)求的值.
【答案】(1)(2)
【分析】（2）由平方关系求得，再根据二倍角得余弦公式即可得解；
（2）由（1）求得，再根据两角差得正切公式即可得解.
（1）解：因为，所以，所以，
又因为，所以；
（2）解：由（1）得，所以，所以.
17.已知函数
(1)求的定义域；
(2)设是第四象限的角，且，求的值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）函数要有意义需满足，解得；
（2）由由得，代入函数即可.
（1）由，得，所以的定义域为
（2）因为是第四象限的角，且，
由，得，又∵，
∵α是第四象限的角，∴，
又，
所以.
18.已知，，且．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用将所求式子转化为齐次分式，从而利用即可得解；
（2）先由及求得，从而得到，再利用正切的和差公式求得，进而得解.
【详解】（1）因为，所以．
（2）因为，所以，
又因为，所以，，所以，
又，所以由，解得，
所以，
又，，故，所以．
19.已知函数，
(1)化简；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）结合三角恒等变换的知识化简的解析式.
（2）利用平方的方法求得正确答案.
【详解】（1），，
，，所以，

.
（2），，两边平方得，
.