2025年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷及答案

这是一份2025年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷及答案，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，在世界数学史上首次正式引入负数．若收入10元记作+10元，则支出10元记作（ ）
A．+10元B．﹣10元C．0元D．+20元
2．（3分）社会规则营造良好的社会秩序，我们要了解并遵守社会规则．下列标志是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（3x）2＝9x2B．5x•2x＝10x
C．x6÷x2＝x3D．（x﹣2）2＝x2﹣4
4．（3分）将一个含30°角的三角尺和直尺按如图摆放，若∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
5．（3分）为了全面地反映物体的形状，生产实践中往往采用多个视图来反映同一物体不同方面的形状．如图中飞机的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）如果关于x的分式方程+＝2无解，那么实数m的值是（ ）
A．m＝1B．m＝﹣1C．m＝1或m＝﹣1D．m≠1且m≠﹣1
7．（3分）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么2只雏鸟都是雄鸟的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），则租车方案有（ ）
A．3种B．4种C．5种D．6种
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，动点E从点A出发沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止，在点E运动过程中，垂线l扫过菱形（即阴影部分），点E运动的路程为x（x＞0）．下列图象能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于两点（﹣1，0），（x1，0），且2＜x1＜3．下列结论：
①abc＞0；②2a+c＜0；③4a﹣b+2c＜0（x+1）（x﹣x1）+c＝0（a≠0）的两根，且m＜n，n＞2；⑤关于x的不等式ax2+bx+c＞﹣x+c（a≠0）的解集为0＜x＜x1．其中正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题（每小题3分，满分21分）
11．（3分）中国年水资源总量约为27500亿m3，人均占有水量相当于世界人均的四分之一，居世界第110位．将27500用科学记数法表示为 ．
12．（3分）若代数式+（x﹣2025）0有意义，则实数x的取值范围是 ．
13．（3分）已知圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，则它的侧面展开图的圆心角为 度．
14．（3分）如图，在▱ABCD中，BC＝2AB＝8，分别以点A，C为圆心AC的长为半径作弧，两弧交于点E，F，交AD于点M，交BC于点N，则AC的长为 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x﹣1的图象与反比例函数y＝（k≠0），与x轴交于点B，点C坐标为（0，3），BC，若AC＝BC ．
16．（3分）等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，将纸片沿直线l折叠，直线l交AB于点D，交直线AC于点E，若AE＝5，tan∠AED＝ ．
17．（3分）利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0）1，使∠OAA1＝90°，∠AOA1＝30°，再以OA1为边作Rt△OA1A2，使∠OA1A2＝90°，∠A1OA2＝30°，过点A，A1，A2作弧，记作第1条弧；以OA2为边作Rt△OA2A3，使∠OA2A3＝90°，∠A2OA3＝30°，再以OA3为边作Rt△OA3A4，使∠OA3A4＝90°，∠A3OA4＝30°，过点A2，A3，A4作弧，记作第2条弧⋯⋯按此规律，第2025条弧上与原点O的距离最小的点的坐标为 ．
三、解答题（本题共7道大题，共69分）
18．（10分）（1）计算：﹣|1﹣|+2sin45°﹣；
（2）分解因式：2x3﹣8x．
19．（5分）解方程：x2﹣7x＝﹣12．
20．（8分）国家卫生健康委员会宣布将2025年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动．某校响应号召，计划组织全校学生开展系列体育活动，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝ ；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，“足球”对应扇形的圆心角为 度；
（4）若该校有3000名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？
21．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，连接CD，∠BCD＝∠A，交CD于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若点B是AD的中点，且BE＝3，求⊙O的半径．
22．（10分）2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合．为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，机器人甲沿“勤学路”以20米/分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，机器人乙沿“勤学路”以10米/分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：
（1）A，C两区相距 米，a＝ ；
（2）求线段EF所在直线的函数解析式；
（3）机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可）
23．（12分）综合与实践
在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题
（1）【几何直观】如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，在△ABC内部取一点D，连接AD，连接BD，CD′ ；∠AD′C与∠ADB的数量关系是 ；
（2）【类比推理】如图2，在正方形ABCD内部取一点E，使∠CED＝90°，连接E′B，延长E′B交DE的延长线于点F；
（3）【深度探究】如图3，矩形ABCD中，AB＝3，在其内部取一点E，使∠CED＝90°，延长CE′至点G，使，连接GB，连接AF，若AF＝2 ；
（4）【拓展延伸】在矩形ABCD中，点E为BC边上的一点，连接AE，连接DE′，若AD＝3，则DE′的最小值为 ．
24．（14分）综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），C（6，0），与y轴交于点B
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上的点，连接PB，PC△PBC＝24时，求点P的坐标；
（3）点G是第四象限内抛物线上的一点，连接BG，若∠CBG＝45° ；
（4）如图2，作点B关于x轴的对称点D，过点D作x轴的平行线l，垂足为点E，动点M，E同时出发，动点M以每秒1个单位长度的速度沿射线OC方向匀速运动（当点N到达点D时，点M，N都停止运动），连接MN，过点D作MN的垂线，连接CF，则CF的取值范围是 ．
11．【解答】解：27500＝2.75×104．
故答案为：4.75×104．
12．【解答】解：∵代数式+（x﹣2025）0有意义，
∴x﹣2＞0且x﹣2025≠0，
∴x＞3且x≠2025．
故答案为：x＞3且x≠2025．
13．【解答】解：根据弧长的公式l＝得到：
80π＝，
解得n＝160度．
侧面展开图的圆心角为160度．
14．【解答】解：设MN交AC于点O，
由作图过程可知，直线EF为线段AC的垂直平分线，
∴点O为AC的中点，∠CON＝90°．
∵点N为BC的中点，
∴ON为△ABC的中位线，
∴ON∥AB，
∴∠CAB＝∠CON＝90°．
∵BC＝2AB＝8，
∴AB＝2，
∴AC＝＝＝．
故答案为：．
15．【解答】解：当y＝0时，0＝﹣x﹣2，
∴点B的坐标为 （﹣1，0），
∵点C坐标为（7，3），
∴，
设点A坐标为（m，﹣m﹣1），
∴AC6＝（m﹣0）2+（﹣m﹣3﹣3）2＝3m2+8m+16，
∵AC＝BC，
∴AC3＝BC2，
∴2m6+8m+16＝10，
解得m1＝﹣7，m2＝﹣1（不合题意，舍去），
∴m＝﹣3，
∴点A坐标为（﹣3，2），
∴，
解得 k＝﹣6，
故答案为：﹣3．
16．【解答】解：如图，
∵将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，
∴DE⊥AB，AD＝BD，
∴∠ADE＝90°，
∵tan∠AED＝＝，
设AD＝8x，DE＝4x，
∴AE＝5x＝3，
∴x＝1，
∴AD＝BD＝3，DE＝5，
∴AB＝AC＝6，
∴CE＝1，
∴＝＝，
∴S△CBE＝；
如图，
∵将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，
∴DE⊥AB，AD＝BD，
∴∠ADE＝90°，
∵tan∠AED＝＝，
设AD＝4x，DE＝4x，
∴AE＝5x＝3，
∴x＝1，
∴AD＝BD＝3，DE＝4，
∴AB＝AC＝6，
∴CE＝11，
∴＝＝，
∴S△CBE＝；
综上所述△BEC的面积为或，
故答案为：或．
17．【解答】解：根据题意可知：OA＝2，
，
，
，
…，
，
∵点A，A1，A3作弧为第1条弧，
点A3，A3，A4作弧为第2条弧，
…，
∴组成第2025条弧，
∴第2025条弧上与原点O的距离最小的点为A4048，
∴，
∵∠AOA1＝30°，∠A4OA2＝30°，∠A2OA3＝30°，∠A3OA4＝30°，…，
∴12次操作循环一周，
∵4048÷12＝337…8，
∴∠AOA4048＝120°，
过点A4048作A4048M⊥x轴于点M，如图所示：
∴∠MOA4048＝180°﹣120°＝60°，
∴，，
∴，
∴第2025条弧上与原点O的距离最小的点的坐标为．
故答案为：．
三、解答题（本题共7道大题，共69分）
18．【解答】解：（1）
＝
＝
＝﹣5；
（2）6x3﹣8x
＝4x（x2﹣4）
＝7x（x+2）（x﹣2）．
19．【解答】解：整理得：x2﹣7x+12＝7，
因式分解得：（x﹣4）（x﹣3）＝4，
所以x﹣4＝0或x﹣5＝0，
解得x1＝6，x2＝3．
20．【解答】解：（1）样本容量为：18÷36%＝50，
故m＝＝24，
故答案为：24；
（2）篮球人数为：50﹣12﹣18﹣4＝16，
补全条形统计图如下：
（3）扇形统计图中，“足球”对应扇形的圆心角为：360°×24%＝86.4°，
故答案为：86.2；
（4）3000×（人）．
答：估计该校最喜欢篮球运动的学生约有960人．
21．【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∴∠A+∠ABC＝90°．
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠OCB，
∵∠BCD＝∠A，
∴∠BCD+∠OCB＝90°，
即∠OCD＝90°，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵点B是AD的中点，
∴BD＝AB＝2OC．
∵OB＝OC，
∴OD＝OB+BD＝3OC，
∴，
∵BE⊥AD，
∴∠DBE＝90°，
又∵∠OCD＝90°，
∴．
∴DE＝3BE＝9，
在Rt△DBE中，
，
∴，
即⊙O半径为．
22．【解答】解：（1）由图象可知，A，B两区相距150米，B，则A，
机器人甲到达B区时所用时间为150÷20＝7.5（分），
∴a＝7.5．
故答案为：240，7.5．
（2）机器人乙到达B区时所用时间为90÷10＝9（分），
∴E（9，2），
机器人乙从B区返回C区过程中的速度为90÷（15﹣9）＝15（米/分），
则y＝15（x﹣9）＝15x﹣135，
∴线段EF所在直线的函数解析式为y＝15x﹣135（4≤x≤15）．
（3）当0≤x≤7.3时，当机器人甲，得20x+10x+30＝240，
解得x＝7，
当9≤x≤12时，当机器人甲，得15x﹣135＝30，
解得x＝11，
当12＜x≤15时，机器人甲的速度为90÷（15﹣12）＝30（米/分），当机器人甲，得15x﹣135﹣（30x﹣360）＝30，
解得x＝13，
∴机器人乙行进的时间为5分或11分或13分时，机器人甲．
23．【解答】（1）解：∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AD'，
∴∠DAD'＝90°，AD＝AD'，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAD'＝∠DAC，即∠DAB＝∠D'AC，
又∵AB＝AC，
∴△DAB≌△D'AC（SAS），
∴CD'＝BD，∠AD'C＝∠ADB；
故答案为：相等（或CD′＝BD）；相等（或∠AD′C＝∠ADB）；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB＝90°，BC＝DC．
∵CE绕点C逆时针旋转90°得到CE′，
∴∠ECE′＝90°，CE＝CE′．
∵∠DCB＝∠ECE′＝90°，
∴∠DCB﹣∠BCE＝∠ECE′﹣∠BCE
即∠DCE＝∠BCE′．
∴△BCE′≌△DCE（SAS）．
∴∠BE′C＝∠DEC＝90°．
∵∠CED+∠CEF＝180°，
∴∠CEF＝90°，
∴∠BE′C＝∠ECE′＝∠CEF＝90°．
∴四边形CEFE′是矩形．
又∵CE＝CE′，
∴四边形CEFE′是正方形；
（3）解：∵CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE'，
∴∠ECE'＝90°，CE＝CE'，
∵，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，
∴CD＝AB＝4，
∴，
∴，
∵∠DCB＝∠ECE'＝90°，
∴∠DCB﹣∠BCE＝∠ECE'﹣∠BCE，即∠DCE＝∠BCE'，
∴△BCG∽△DCE，
∴∠BGC＝∠DEC＝90°，
∵∠CED+∠CEF＝180°，
∴∠CEF＝90°，
∴∠BGC＝∠ECG＝∠CEF＝90°，
∴四边形CEFG是矩形，
如图，连接AC，连接OF，
∵O是AC，BD的中点，
在Rt△OBF中，，
∴，
∴A，F，B，C，D共圆，
∴∠AFC＝90°，
∵AD＝BC，
∴，
∴∠GFC＝∠ACD，
在Rt△ABC中，，
∴，
∵AF＝2，
在Rt△AFC中，，
∴，
∵，
∴∠BFC＝∠BAC，
又∵∠AFC＝∠G＝90°，
∴∠ACB＝∠FCG，
∴∠ACB﹣∠FBC＝∠FCG﹣∠FBC，即∠ACF＝∠BCG，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（4）解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AO＝OB，
∵，，
∴AC＝BD＝，
∴AO＝OB＝AB＝，
∴△AOB是等边三角形，则∠OAB＝60°，
∵线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AE'，
∴AE＝AE'，∠EAE'＝60°，
∴∠OAB＝∠EAE'＝60°，
∴∠OAB﹣∠OAE＝∠EAE'﹣∠OAE，即∠E'AO＝∠EAB，
又∵OA＝BA，E'A＝EA，
∴△E'AO≌△EAB（SAS），
∴∠AOE'＝∠ABE＝90°，
∴E'在OE'上运动，且E'O⊥AC，
∴当DE′⊥OE'时，DE'取得最小值，
∵∠AOB＝60°，
∴∠AOD＝120°，
又∵∠AOE'＝90°，
∴∠EOD＝30，
∴当DE'⊥OE'时，DE'＝，
故答案为：．
24．【解答】解：（1）解：将A（﹣1，0），7）代入抛物线的解析式y＝ax2+bx+3，
得，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：过点P作PQ∥BC交y轴于点Q，连接CQ，
则S△QBC＝S△PBC＝24，
∴，
∵点C（6，7），
∴BQ＝8，
又∵B（0，3），
∴点Q（0，﹣5），
∵B（7，3），0），
∴直线BC的解析式为y＝x+3，
∵PQ∥BC，
∴直线PQ的表达式为y＝x﹣5，
联立y＝x﹣5与，
故P7（﹣2，﹣4），P2（8，﹣9）．
（3）将RT△CBO绕点C逆时针旋转90°得到RT△CRS，则△BCR为等腰直角三角形．
从而∠CBR＝45°，如图b所示：
又∵点G是第四象限内抛物线上的一点，∠CBG＝45°，
∴点G为BR延长线与抛物线的交点．
由旋转可知∠BOC＝∠RSC＝90°，BO＝RS＝2，
故点R坐标为（3，﹣6），
由待定系数法可知直线BR的表达式为y＝﹣7x+3，
联立y＝﹣3x+8与，整理可得x2﹣11x＝0，
解得x＝11或5（舍去），
故点G坐标为（11，﹣30），
故答案为：（11，﹣30）．
（4）由题意知四边形OCED为矩形，OD＝BO＝3．
连接OE，交MN于点G，
故OE＝＝＝，
∵OM∥EN，
∴△OMG∽△ENG，
∴，．
作GH⊥DE于点H，如图c所示，
∵GH∥OD，
∴△GHE∽△ODE，
∴＝，
∴GH＝OD＝6DE＝3，
故DG＝．
取DG中点J，连接FJ，
∵∠DFG＝90°，
∴根据斜边中线定理可得FJ＝DG＝，
故CF≥CJ﹣FJ，当且仅当J、F．
易知点J坐标为（8，﹣2），0），
故CJ＝＝，则CF≥CJ﹣FJ＝．
当点N与点D重合时，点F与点D重合，即CF＝OE＝，
综上所述，CF的取值范围为，
故答案为：．
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1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B．
D
A
C
A
C
D
B
A
B