福建省泉州市2025届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)

这是一份福建省泉州市2025届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（本卷共25题；满分：150分；考试时间：120分钟）
友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上．
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 下列实数中，负数是（ ）
A. B. 0C. 1D.
【答案】A
解：是负数，既不是正数也不是负数，和1是正数．
故选：A．
2. 据报道，国内产品榜统计数据显示，某人工智能应用软件在上线仅20天后，其日活跃用户数达22150000．用科学记数法可将数据22150000表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解：，
故选：B
3. 如图是小明制作的建筑物桥墩模型示意图，则该模型的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
解：该模型从正面看是．
故选：D．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
解：A、，故A选项错误；
B、不能合并同类项，故B选项错误；
C、，故C选项错误；
D、，故D选项正确．
故选：D．
5. 在阅读课上，老师把一批文学名著分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余22本；若每人分4本，则还缺少26本．求该班学生多少人？设该班有学生x人，则可列方程为（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
解：设这个班有学生人，
由题意得，，
故选：B．
6. 将一个量角器与一把无刻度直尺按如图所示摆放，直尺的长边与量角器的边缘分别交于点A、C、B，点B、C分别在量角器180，90的刻度上，连接，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【解析】
【分析】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
先根据题意得出的度数，再由圆周角定理即可得出结论．
【详解】∵点B，C分别在量角器180，90的刻度上，
∴，
∴；
故选∶C．
7. 某校举办校园诗词大赛，随机抽取25名参赛同学的成绩（单位：分），并绘制成如图所示的条形统计图，则这些成绩的中位数和众数分别是（ ）
A. 98分，96分B. 96分，96分
C. 96分，98分D. 97分，98分
【答案】C
解：由图可知，将这25个数据按从大到小顺序排列后，第13位是96；出现次数最多是98，出现了8次，
因此这些成绩的中位数和众数分别是96分，98分，
故选C．
8. 设是一个四位数，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则这个数是11的倍数
B. 若，则这个数是11的倍数
C. 若，则这个数是11倍数
D. 若，则这个数是11的倍数
【答案】A
解：由题意可知：
，
当这个数是11的倍数时，
可得是11的倍数，
当时，是11的倍数，故A符合题意；
当时，不是11的倍数，故B不符合题意；
当时，不是11的倍数，故C不符合题意；
当时，不是11的倍数，故D不符合题意；
故选：A．
9. 如图是某校数学课外兴趣小组收集到的木质花窗图形，将其中部分抽象为如图所示的平面图形，发现四边形是菱形，，O是的中点，点E在边上，四边形是矩形，则下列推断错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
解：连接交于点L，
∵四边形是菱形，O是的中点，
∴，，与互相平分，
∴经过点O，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵点E在边上，四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，故A不符合题意；
∵，，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故B不符合题意；
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，故C符合题意；
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，故D不符合题意，
故选：C．
10. 已知点，，在二次函数的图象上，，，则下列判断正确的是（ ）
A. 不存在实数a，使得
B. 存在实数a，使得
C. 无论非零实数a为何值，都有
D. 无论非零实数a为何值，都有
【答案】D
解：∵当时，，
∴抛物线与y轴的交点坐标为，
∵抛物线经过，
∴抛物线对称轴为直线，
∵，，
∴，
∴点A到直线的距离大于点B到直线的距离，
当时，；所以A选项不符合题意；
当时，，所以C选项不符合题意；
∴，所以B选项符合题意，D选项不符合题意．
故选：B．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 因式分解：______．
【答案】
解：
故答案为：．
12. 六边形的内角和为______．
【答案】
解：
．
故答案为：．
13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在y轴正半轴和x轴正半轴上，，反比例函数的图象经过线段AB的中点P，则______．
【答案】1
解：点A，B分别在y轴正半轴和x轴正半轴上，，
，，
点P是线段AB的中点，
，即，
反比例函数的图象经过点，
，
故答案为：1．
14. 如图，一束平行于主光轴的光线经凹透镜折射后，其折射光线所在的直线与一束经过光心O的光线相交于点P，F为凹透镜的焦点．若，，则的度数为______．
【答案】##80度
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
故答案为：．
15. 某食品零售店计划购进100千克软糖，第一次购进A软糖m千克，进价为每千克12元；第二次购进B软糖千克，进价为每千克18元；现将两种软糖混合后以每千克15元出售，若商店售完这些软糖能够盈利，且正整数m是10的倍数，则m的值可以是______（只要写出一个满足条件的m即可）
【答案】60
解：根据题意得：，
解得：，
又∵为正整数，且正整数m是10的倍数，
∴m可以为60，70，80，90．
故答案为：60（答案不唯一）．
16. 如图，点是边长为的正八边形围成的区域（包括各边）内的一点，分别延长边和边相交于点，点分别在射线和上，过点分别作交于点，交于点．设，，令，则的取值范围是______．
【答案】
解：∵点是边长为的正八边形围成的区域（包括各边）内的一点，
∴正八边形的每个内角的度数为，
如图所示，连接，过点作于点，过点作于点，延长交于点，过点作，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
当点与点重合时，
∴，，
∴；
当点与点重合时，
同理，，，
∴点与点重合，点与点重合，点与点重合，
∴，，
∴；
当点与点重合时，
同理，点与点重合，点与点重合，点与点重合，点与点重合，
∴，
∴；
∴．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】
解：
．
18. 解方程：
【答案】
解：去分母，得：，
去括号，得：，
移项并合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
经检验：是原方程的解，
∴原方程的解是．
19. 如图，在和中，，，．求证：．
【答案】见解析
证明：∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
20. 一个不透明的袋子中，装有编号分别为数字1，2，3的3个小球，这些小球除了所标数字不同外无其他差别，将袋子中的小球充分搅匀．
（1）随机摸出1个小球，摸到“数字1”的概率是 ；
（2）随机摸出1个小球（不放回），记下数字作为点Q的横坐标x，再从剩余的小球中随机摸出1个小球，记下数字作为点Q的纵坐标y，求点在一次函数的图象上的概率．
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
∵三个小球中有一个小球编号为1，
∴随机摸出1个小球，摸到“数字1”的概率是．
故答案为：；
【小问2详解】
法一：记“点在一次函数的图象上”为事件A，画树状图如下：
总共出现6种等可能结果，
其中摸出两个球的数字组成的点坐标符合事件A的等可能结果有2种，所以．
法二：记“点在一次函数的图象上”为事件A，列表如下：
总共出现6种等可能结果，其中摸出两个球的数字组成的点坐标符合事件A的等可能结果有2种，所以．
21. 已知实数a、b、c、m、n满足，．
（1）当时，求证：；
（2）若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【小问1详解】
解：因为，，
所以，，
所以，
因，，
所以，
所以，即．
【小问2详解】
解：假设m，n没有一个奇数，即m，n都为偶数，
所以，都为偶数，即，都为偶数，
所以为偶数，
这与为奇数矛盾，
所以假设不成立，
所以m，n至少有一个为奇数．
22. 如图，直线l，垂足为B，，
（1）求作，使得与直线相切，切点为T；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求点T到直线l的距离．
【答案】（1）见解析 （2）
【小问1详解】
解：如图，是所求作的圆：
【小问2详解】
解：如图，连接，过点T作，垂足为H．
∵是切线，
∴，
即，
∴，
在中，，，
由勾股定理，得．
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴点T到直线的距离为．
23. 定义：三角形的三个顶点都在二次函数的图象上，若该三角形的重心恰好在x轴上，则称此三角形为“平稳三角形”．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，A是二次函数图象上的一点，且点A在第三象限．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若为“平稳三角形”，中线AD交x轴于点G，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
解：将点，代入，
得，
解得，
所以二次函数的表达式为；
【小问2详解】
解： 为“平稳三角形”，是的中线，交x轴于G点，
G是的重心，
设交x轴于点H，

是的中线，
点的纵坐标为，
令，则，解得，（舍去），
．
设直线的表达式为，
将与代入，
得，
解得，
所以直线的表达式为，
令，则，解得，
，
是的中线，
D为的中点，
，
．
24. 日常生活收纳物品时，人们通常以空间利用率（）来衡量收纳效果．如图，某长方体储物箱的内部尺寸为长，宽，高，收纳口在储物箱的上方．现计划收纳A，B两种长方体物品（数量足够多），其中A物品的尺寸为长，宽，高，B物品的尺寸为长，宽，高．
根据实际要求，收纳物品时，储物箱内的同一层只能以同一种方式摆放同一种物品，不同层可以改变摆放方式，但物品的叠加高度不得超过储物箱的高度，物品叠加时储物箱及物品都不会产生形变．A物品可选择方式①②③进行摆放，B物品只按方式④进行摆放．
阅读以上材料，完成下列问题：
（1）若储物箱只收纳A物品且以方式①摆放，求储物箱最多可收纳A物品的数量（单位：件）；
（2）若储物箱同时收纳A，B两种物品且A物品以方式①摆放，请你判断储物箱的空间利用率是否可以达到．若能，请分别求出收纳A，B两种物品的数量（单位：件）；若不能，请说明理由；
（3）若储物箱同时收纳A，B两种物品，且箱子的承重量足够，已知每个A物品重，每个B物品重，现选择其中若干种摆放方式进行组合，请你直接写出一种空间利用率最大的组合方式及收纳物品的总重量．（要求：组合方式及收纳物品的总重量的回答格式：如“一层①和两层④组合，总重量***”、“一层①、两层②、一层③组合，总重量***”；本题将综合考虑“空间利用率最大”和“收纳物品的总重量”给分，空间利用率不是最大的不得分，空间利用率最大但总重量不是最大的酌情得分，空间利用率最大且总重量最大的才能得满分．）
【答案】（1）储物箱最多可收纳A物品24件
（2）空间利用率可以达到，A物品有4件，B物品有112件或A物品有16件，B物品有48件
（3）三层①，一层②，一层④组合，总重量
【小问1详解】
解：因为，
所以每一层以方式①摆放4件A物品且无空隙，
因为，
所以最多可摆放6层，
所以储物箱最多可收纳A物品24件；
【小问2详解】
解：空间利用率可以达到100%，理由如下：
因为，
所以每一层以方式④摆放16件B物品且无空隙．
设以方式①摆放A物品x层，以方式④摆放B物品y层，
依题意，得，
所以或，
当，时，A物品有4件，B物品有112件：
当，时，A物品有16件，B物品有48件；
【小问3详解】
解：三层①，一层②，一层④组合，总重量．
有以下四种组合方式：
（i）三层①，一层②，一层④组合：
因为，，
所以共收纳A物品22件，B物品16件
因为，
此时总重量为；
（ii）四层①，三层④组合：
因为，，
所以共收纳A物品16件，B物品48件，
因为，
此时总重量为；
（iii）一层②，五层④组合：
因为，，
所以共收纳A物品10件，B物品有80件，
因为，
此时总重量为；
（iv）一层①，七层④组合：
因为，，
所以共收纳A物品4件，B物品有112件．
因为，
此时总重量为．
综上可知，空间利用率最大的组合方式为三层①，一层②，一层④组合，总重量．
25. 已知四边形内接于，，在对角线上截取，延长至点E，连接，使得，与相交于点I，与相交于点G．
（1）若是的直径，，如图1，求的度数；（用含的代数式表示）
（2）连接，，，如图2，求证：；
（3）当时，如图3，试用一个等式表示，，的数量关系，并证明．
【答案】（1）
（2）见解析 （3），见解析
【小问1详解】
解：∵是的直径，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
【小问2详解】
解：如图2，连接．
∵，
∴，
又∵，
∴，
设，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
即．
∵，
∴，
∴，
∴
【小问3详解】
解：．证明过程如下：
如图4，
∵，
∴．
又∵，
∴，
设，，
∴．
∵，
∴，
又∵，
∴．
∴，
∴
∴，
∴．
∴，
由，得，
∴．
横坐标
纵坐标
1
2
3
1
2
3