安徽省2025届九年级下学期中考最后一卷数学试卷(含解析)

这是一份安徽省2025届九年级下学期中考最后一卷数学试卷(含解析)，共26页。试卷主要包含了下列各数中，是负数的是，下列计算错误的是，直线和的图象可能是等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列各数中，是负数的是（ ）
A．B．0C．D．1
2．城市轨道交通的建设为市民的出行提供了很多便利，‌截至2025年5月，合肥轨道交通运营线路共有6条，包括合肥轨道交通1号线、2号线、3号线、4号线、5号线和8号线，总运营里程约为231790米，将231790千米用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．如图是一个正方体被截去一角后得到的几何体，它的俯视图是（）
A．B．C．D．
4．下列计算错误的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，，矩形在的内部，顶点A，B分别在射线，上，，则点到点的最大距离是（ ）
A．B．C．D．
6．某校九年级百日誓师大会的学生代表王红，李明和张敏三人按顺序先后发言，但是教务处认为采用抽签方式决定发言顺序比较公平．经过抽签后，只有李明顺序不变的概率为（ ）．
A．B．C．D．
7．如图，中，，，，将绕点A逆时针方向旋转得，交于点E，则的长为（ ）
A．B．C．D．
8．直线和的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，抛物线与x轴交点为和C，对称轴为直线且，且顶点为D，以下结论正确的个数是（ ）
①；②；③；④的解集为；⑤可以为等腰直角三角形也可以为等边三角形；⑥在x轴上方且在抛物线内部满足横纵坐标均为整数的点最多15个（不包括边界）
A．2个B．3个C．4个D．5个
10．如图，在中，，点在边上，点在内部，且是等边三角形，．若，，则的面积为（ ）

A．B．C．D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
11．不等式 的解集是 ．
12．若关于x的一元二次方程kx2﹣x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是 ．
13．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝在第一象限的图象经过点B．若OA2﹣AB2＝16，则k的值为 ．
14．如图，在正方形中，点E为边上的一个动点，连接，将沿折叠得到，交于点P．
当时， ；
当E为的中点时， ．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算．
16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标别为A（-2，4），B（-4，2），C（-1，0）．
(1)将△ABC先向右平移3个单位，再向下平移4个单位，则得到△A1B1C1，请直接写点B1的坐标______；若把△A1B1C1看成是由△ABC经过一次平移得到的（即从A到A1方向平移），请直接写出这一次平移的距离______．
(2)在正方形网格中作出△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．某超市预购进A，B两种品牌的书包共400个．已知两种书包的有关信息如下表所示．
(1) 设购进A种书包x个，且所购进的两种书包能全部卖出，获得的总利润为w元．求w关于x的关系式；
(2) 如果购进两种书包的总费用恰好为18000元，那么超市将所购进的两种书包全部卖出后，获得的总利润为多少元?
18．如图，小明乘高铁从南向北匀速行驶，速度为．小明在处通过窗口看到远处两棵树（记为和），此时在小明的北偏东方向，在小明的北偏东方向．后，小明到达处，此时和恰好都在自己的南偏东方向．求两棵树之间的距离．（参考数据：，．）
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，线段AB=6，以AB为直径作半圆，点O为圆心，点P为半圆上任意一点（不与点A、点B重合），直线MN为过点P的切线，分别连接AP、BP，作AD⊥MN于点D，BC⊥MN于点C．
（1）求证：∠1=∠2．
（2）AD+BC的值是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（3）求四边形ABCD面积的最大值．
20．观察下列关于自然数的等式：
，①
，②
，③
…
根据上述规律解决下列问题：
(1)完成第四个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性；
(3)根据你发现的规律，可知 ．（直接写出结果即可）
六、解答题（本大题共2小题，每小题12分，满分24分）
21．某校团委组织了一次全校1000名学生参加的环保知识竞赛，并设优胜奖．赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解环保知识竞赛的成绩，随机抽取了其中100名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）进行整理，得到下列不完整的统计图表：
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a= ，b= ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）这次抽样调查的样本是 ；
（4）若这次比赛成绩在80分以上（含80分）的学生获得优胜奖， 则该校参加这次比赛的1000名学生中获优胜奖的约有 人．
22．如图，是四边形的对角线，边在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为，连接、．
(1)如图1，四边形是正方形时，作，垂足为O，连接、．判断、之间的数量关系和位置关系，并证明；
(2)如图2，四边形是菱形时，设，点O在上，且．判断与的数量关系，写出推理过程，并用含有的代数式表示；
(3)在（2）的条件下，若，，当四边形是菱形时（如图3），请直接写出线段平移的距离为 ．
七、解答题（本大题共1小题，每小题14分，满分14分）
23．如图，抛物线与轴交于、两点（点在左边），与轴交于点
（1）若，两点，求抛物线的解析式；
（2）在（1）中位于第四象限内的抛物线上是否存在点，使得的面积最大？若存在求出点的坐标及的面积最大值；若没有，请说明理由；
（3）直线与抛物线交于抛物线对称轴右侧的点为点，点与点关于轴对称，试判断直线与直线的位置关系，并证明你的结论
参考答案
1．A
解：A．是负数，故本选项符合题意；
B．0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意；
C．是正数，故本选项不合题意；
D．1是正数，故本选项不合题意．
故选：A．
2．A．
解：，
故选：A．
3．A
解根据俯视图是从上面看到的图形判定则可：从上面看，是正方形右下方有一条斜线．故选A．
4．C
解：．，计算正确，故该选项不符合题意；
．，计算正确，故该选项不符合题意；
． ，原计算错误，故该选项符合题意；
． ，计算正确，故该选项不符合题意；
故选：C．
5．B
解：如图，取中点E，连接、、，
，
．
∵四边形是矩形，
，，
∵点E是的中点，
，
在中，，
在中，根据三角形三边关系可知，
∴当O、E、D三点共线时，最大为．
故选：B．
6．B
解：采用抽签方式决定发言顺序，一共有6种情况：（王红，李明，张敏），（王红，张敏，李明），（李明，王红，张敏），（李明，张敏，王红），（张敏，王红，李明），（张敏，李明，王红），只有（张敏，李明，王红）这种情况是李明的顺序不变，所以只有李明顺序不变的概率为，
故答案选：B．
．
7．C
解：∵，，
∴，，
∴，
由旋转可得，，，
∴，
∴，
故选：C．
8．C
解：
的图像与y轴的交点坐标在x轴上方，故排除A、B选项
C、如果过第一、二、四象限的图象是y1，由y1的图象可知，m＜0；由y2的图象可知，m＜0，两结论不互相矛盾，故正确；
D、如果过第一、二、三象限的图象是y1，由y1的图象可知，m＞0；由y2的图象可知，m ＜0，两结论相矛盾，故错误．
故选C．
9．B
解：由图象可得，
而对称轴为直线，
则，
由图象可得时，，
∴，故①错误；
∵
∴，
∵对称轴，
∴，
∴，
故②错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∴，
故③正确；
∵抛物线与x轴交点为和C，对称轴为直线，
∴，
∵
∴的解集为，
故④正确；
当为等边三角形时，，记对称轴直线与x轴交于点G，如图：
∴
∴，
∴
∴可设解析式为：，
代入点得：，
解得：，符合题意，
当为等腰直角三角形时，如图：
此时，
∵轴，
∴也为等腰直角三角形，
∴，
∴
∴可设解析式为：，
代入点得：，
解得：，符合题意，
故⑤正确；
∵当时，解析式为，如图：
当，
那么在x轴上方且在抛物线内部满足横纵坐标均为整数的点有16个，
∵，
∴当无限接近时，抛物线开口幅度大一点点，仍然满足整点为16个，
故⑥错误，
∴正确的有③④⑤，
故选：B．
10．C
解：在的延长线上取点，使得，如图：

∵是等边三角形，
∵，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，，，
在中，，
∴的面积为；
故选：C．
11．x>-1
解,
+3,
.
12．且
解：关于的一元二次方程有实数根，
△且，
解得且，
故答案为：且．
13．8
解设B点坐标为(a,b)，
∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，
∴OA=AC，AB=AD，OC=AC，AD=BD，
∵OA2−AB2=16，
∴2AC2−2AD2=16,
即AC2−AD2=8，
∴(AC+AD)(AC−AD)=8，
∴(OC+BD)⋅CD=8，
∴a⋅b=8，
∴k=8.
故答案为8．
14． /度 /0.75
解：∵四边形是正方形，
∴，
当时，由折叠的性质可得 ，
∴，
∴；
如图所示，取中点T，连接，过点B作于G，过点P作于H，设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵ ，
∴，
∴，
设，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；．
15．4
解原式=
=
=4
16．(1)作图见解析，（-1，-2），5
(2)作图见解析
解（1）解：△A1B1C1如图所示；
点B1（-1，-2），
由勾股定理得，平移距离==5；
（2）解：△A2B2C2如图所示．
17．(1) w＝5x＋5200；(2) 6800元．
解：（1）购进B种书包（400－x）个，
每个A书包的利润是65－47＝18元，
每个B书包的利润是50－37＝13元．
∴w＝18x＋13（400－x）
即：w＝5x＋5200
（2）根据题意得：
47x＋37（400－x）＝18000
解得x＝320
此时获得总利润=5×320＋5200=6800元
所以，超市获得的总利润是6800元．
18．100m
解：过点分别作，，垂足为点，
由题意得，，
∵在中，，
∴设，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵在中，，
∴设，
同理可得：，
∵在中，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
答：两棵树之间的距离为．
19．（1）证明见解析；（2）6．（3）18．
解试题分析：（1）连接OP，则OP⊥MN，从而可证：∠1=∠2；
（2）根据题意知OP是四边形ABCD的中位线，故BC＋AD=2OP=AB=6．
（3）当MN∥AB时，四边形ABCD的面积最大为18．
试题解析：（1）连接，如图
∵MN是⊙O的切线，
∴OP⊥MN
∴∠1+∠APO=90°
∵OP是⊙O的半径，
∴∠2=∠BPO
∵AB是⊙O的直径
∴∠APB=90°
即：∠APO+∠BPO=90°
∴∠1=∠BPO
∴∠1=∠2；
（2）∵O是AB的中点
∴OP为梯形ABCD的中位线，
∴AD+BC=2OP=AB=6
故AD+BC的值是定值6．
（3）当△APB为等腰直角三角形时，即MN∥AB时，四边形ABCD是矩形．
面积的最大，最大面积为：6×3=18．
考点：圆的综合题．
20．(1)
(2)第n个等式为：，验证见解析
(3)
解（1）解：观察可发现，等号右边第一个乘式的第一个数字均是序列号，后面就是连续的整数，第二个乘式的第二个数字是序列号，第一个和第三个分别是序列号的相邻数字，
所以第四个式子右边应该是：；
故答案为：；
（2）由观察可得，等式左边乘式的组成为，第一个数字为3，第二个数字为序列号，第三个数字为序列号加1，
再由（1）可知，第n个式子应该就是：；
等式右边左边，
所以猜想正确；
（3）
，
故答案为：．
21．（1）0.3；（2）见解析；（3）100名学生的成绩；（4）350
解
解：（1）∵样本容量是100，
∴a=100×0.20=20，b=30÷100=0.30；
故答案为20，0.30；
（2）补全频数分布直方图，如下：
（3）这次抽样调查的样本是：100名学生的成绩；
（4）1000×（0.20+0.15）=350（人）．
即估计全校80分以上（包括80分）的学生约有350人．
故答案为350．
22．(1)，，证明见解析
(2)，理由见解析，
(3)
【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，，证出，则可得出结论；
（2）证明，得出，，则可得出结论；
（3）过点作于点，于点，则四边形是矩形，得出，由勾股定理求出的长，则可得出答案．
解（1）解：，．
证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，，，
，
，，
，
；
（2），
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，，
在和中，
，
，
，，
，
即，
，
，
；
（3）过点作于点，于点，则四边形是矩形，
，
由题意知四边形和四边形是菱形，
，，，
，
，
设，
，，
，
，
，
，
线段平移的距离为，
故答案为：．
23．（1）；（2）存在，取最大值为，点坐标是；（3），证明见解析
解：（1）由题意得：
解得：
∴抛物线的解析式为．
（2）设，过点作轴交于点，
将x=0代入中，解得y=-3
∴点C的坐标为（0，-3）
设直线解析式为：
将,代入，得
解得：
∴直线解析式为：，
∴
∴
∴,
∵,
∴当时，取最大值为，
此时，点坐标是．
（3），证明如下
证明：设DE与x轴交于点F，直线DB与AE交于点G
将y=0代入中，
解得：
∴点A的坐标为，点B的坐标为
将y=1代入中，得
解得：
由点D在抛物线对称轴右侧可得点D的坐标为
∵点D和点E关于x轴对称
∴，，DE⊥x轴
∴BF=，
AF=，DF=EF=1
∴tan∠BDF==
tan∠EAF=====
∴tan∠BDF= tan∠EAF
∴∠BDF=∠EAF
∵∠EAF＋∠E=90°
∴∠BDF＋∠E=90°
∴∠DGE=90°
∴品牌
进价(元/个)
售价(元/个)
A
47
65
B
37
50
成绩x/分
频数
频率
50≤x＜60
10
0.10
60≤x＜70
25
0.25
70≤x＜80
30
b
80≤x＜90
a
0.20
90≤x≤100
15
0.15