精品解析：云南省红河州、文山州2024-2025学年高二下学期学业质量监测数学试题

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（全卷满分150分，考试用时120分钟）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. （ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，，且，则（ ）
A. 10B. 8C. 6D. 4
4. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 已知抛物线的焦点为，点在上，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知的展开式的各二项式系数的和为64，则展开式中常数项为（ ）
A. B. C. 60D. 30
7. 已知，则（ ）
A. B. 3C. D.
8. 已知定义在上的函数满足：为偶函数，，且，都有，则（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某市一周的空气质量指数为：58，53，66，40，14，16，40，则下列对这组数据的叙述，正确的是（ ）
A. 众数是40B. 极差是52
C. 第30百分位数是16D. 平均数是41
10. 已知为函数的一个零点，则（ ）
A.
B. 是的极小值点
C. 方程有3个不同的实数解
D ，使得成立
11. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，为的中点，为上任意一点，则（ ）
A. 椭圆的离心率为
B. 存在点，使得
C. 最大值为6
D. 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知为等差数列的前项和，，，则______.
13. 已知圆的圆心坐标为，则的半径为______.
14. 在三棱锥中，是边长为6的正三角形，，，且二面角的大小为，则该三棱锥外接球的表面积为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）求最小正周期及最大值；
（2）记的内角，，所对的边分别为，，，已知，，，求角，及边长.
16. 如图，在直三棱柱中，，，，.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
17. 已知双曲线的左焦点为，的一条渐近线方程为，其顶点到渐近线的距离为2.
（1）求的方程；
（2）过的直线与交于，两点，为坐标原点.若的面积为，求直线的方程.
18. 2025年6月14日，我国成功发射了电磁监测卫星“张衡一号”02星，此举标志着我国在地球物理场空间观测领域的探测能力实现了重大突破.为培育学生的航天精神，某校特地组织了航天知识竞赛活动.竞赛共有、两类试题，每类试题各有5道题，其中每答对1道类试题得5分，每答对1道类试题得10分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽取3道作答（每道试题抽后不放回）.已知某同学类试题中有3道能答对类试题中每道题答对的概率均为.
（1）若该同学只在类试题中抽取3道作答，设表示该同学作答这3道试题总得分，求的分布列和数学期望；
（2）若该同学在类试题中抽取1道，在类试题中抽取2道作答，当时，求他在这次竞赛中仅答对1道试题的概率；
（3）若该同学在类试题中只抽取2道比抽取3道作答的总得分的期望值高，求的取值范围.
19. 已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）令函数，当时，，求的取值范围；
（3）设，证明：