黑龙江省五校2023~2024学年高一下学期期末联考数学试卷[附解析]

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1. 下列说法中正确的个数是
①身高是一个向量；②的两条边都是向量；③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；④物理学中的加速度是向量
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题首先可根据是否有方向判断出①③是否正确，然后根据有没有大小来判断②是否正确，最后即可得出结果．
【详解】身高只有大小，没有方向，故不是向量，①错误；
同理③中温度不向量，③错误；
对于②，的两条边只有方向，没有大小，不是向量，②错误；
④中加速度是向量，④正确，故选B．
【点睛】本题考查向量的定义，向量是既有大小又有方向的量，考查学生对向量定义的理解，考查推理能力，是简单题．
2. 在中，已知，则（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角形面积公式代入计算可得结果.
【详解】由三角形面积公式可得.
故选：B
3. 如图所示，三棱锥中，平面平面，则（ ）

A. 平面
B. ∥平面
C. 与平面相交但不垂直
D. 平面平面
【答案】D
【解析】
【分析】对于AB：根据线面位置关系分析判断；对于CD：根据面面垂直的性质定理和判定定理分析判断.
【详解】对于选项AB：因为平面，平面，
所以平面，故AB错误；
对于选项CD：因为，则，
且平面平面，平面平面，平面，
可知平面，
且平面，所以平面平面，故C错误，D正确；
故选：D.
4. 若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是故事书的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由古典概率模型的计算公式求解.
【详解】样本点总数为10，“抽出一本是故事书”包含3个样本点，所以其概率为 .
故选：B.
5. 已知向量，点，若，则（ ）
A. 3B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量垂直的坐标表示列式可求出结果.
【详解】由题意得，所以，得.
故选：C
6. 下列说法正确的是（ ）
A. “射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件
B. 事件发生的可能性越大，它的概率越接近1
C. 某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票一定会中奖
D. 任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是2的倍数的概率是
【答案】B
【解析】
【分析】由必然事件的定义可判断A错；由随机事件可能性可知B正确C错误；由古典概型概率公式可得其概率是，D错.
【详解】对于A. “射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，所以A错；
对于B.事件发生的可能性越大，它的概率越接近1，所以B正确；
对于C.某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票不一定会中奖，所以C错；
对于D.任意投掷两枚质地均匀的骰子，共有36种可能，
其中能被2整除的可能是两个数同时为奇数或同时为偶数，共有18种可能，
所以点数和是2的倍数的概率是，所以D错；
故选：B
7. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则是异面直线
D. 若，，，则
【答案】A
【解析】
分析】
利用线面垂直的判定，线面平行的判定，线线的位置关系及面面平行的性质逐一判断即可.
【详解】对于A，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故A正确.
对于B，若，，则或，故B错误.
对于C，若，，则位置关系为平行或相交或异面，故C错误.
对于D，若，，，则位置关系为平行或异面，故D错误.
故选：A
【点睛】本题主要考查了线面垂直的性质，线面平行的判定和面面平行的性质，属于简单题.
8. 在正方体中，分别为的中点，则下列结论错误的是（ ）
A. 直线与所成的角为
B. 直线与平面平行
C. 若正方体棱长为1，三棱锥的体积是
D. 点和到平面的距离之比是3∶1
【答案】A
【解析】
【分析】对于A项，通过找平行线来求异面直线所成角即可；对于B项，通过面面平行的判定定理可证得平面平面，再结合面面平行的性质可证得平面；对于C项，由平面可得和到平面的距离相等，运用等体积法即可求得三棱锥的体积；对于D项，由与到平面的距离相等及即可求得结果．
【详解】对于选项A，由图可知与显然平行，所以即为所求，故选项A错误；
对于选项B，取的中点，连接、，如图所示，
易知，平面，所以且平面，
又易知，平面,平面，所以平面,
又，平面，所以平面平面,
又平面，所以平面，故选项B正确；
对于选项C，由选项B知，平面，所以和到平面的距离相等，
所以，故选项C正确；
对于选项D，平面过的中点，即平面将线段平分，所以与到平面的距离相等，
连接交于点，交与点，如图所示，
易知，又因为是中位线，所以是的中点，即可得；
可得，
所以与到平面的距离之比为，故选项D正确．
故选：A.
【点睛】方法点睛：求解点到平面距离问题经常利用等体积法和比例关系求出对应点到平面的距离.
二、多选题（共4道小题，每小题5分，共20分.每题4个选项中有多个符合要求，部分选对得2分，有选错的得0分）
9. 学校对高中三个年级的学生进行调查，其中高一有100名学生，高二有200名学生，高三有300名学生，
现学生处欲用分层抽样的方法抽取30名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是（ ）
A. 高三学生被抽出15名学生进行问卷调查B. 高三学生被抽到的概率最大
C. 高三学生被抽到的概率最小D. 每名学生被抽到的概率相等
【答案】AD
【解析】
【分析】确定分层抽样的抽样比可得A正确，由分层抽样遵循每个个体被抽到的概率相等的特点可得D正确.
【详解】根据分层抽样比可确定高三学生被抽出的人数为，即A正确；
抽样方法中，每种抽样方式都遵循每个个体被抽到的概率相等的特点，
每个学生被抽到的机会均为，即选项BC错误，D正确.
故选：AD
10. 若复数，则下列说法错误的是（ ）
A. 复数的虚部为B.
C. 复数为纯虚数D. 在复平面对应点位于第二象限
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A：根据虚部的概念分析判断；对于B：根据乘法运算结合模长公式分析判断；对于C：根据减法运算结合复数的分类分析判断；对于D：根据复数的几何意义分析判断.
【详解】因为，
对于选项A：复数的虚部为1，故A错误；
对于选项B：，故B正确；
对于选项C：因为，故C错误；
对于选项D：复数在复平面对应点为，位于第一象限，故D错误；
故选：ACD.
11. 某产品售后服务中心选取了10个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量（单位：次）：则这组数据的（ ）
A. 众数是30B. 分位数是30.5
C. 极差是37D. 中位数是43
【答案】B
【解析】
【分析】由众数定义可判断A错误，将数据从小到大排列后根据中位数、极差、百分位数定义可判断CD错误，B正确.
【详解】根据题意可知，每个数出现的次数都是一次，即众数不是30，即A错误；
将这10个数据从小到大排列为；
易知为整数，所以分位数是第一个数与第二个数的平均值，即为，即B正确；
易知其极差为，即可得C错误；
中位数为第5个数和第6个数的平均数，即，可得D错误.
故选：B
12. 为普及疫情知识，某校不定期地共组织了10次全员性的防控知识问答竞赛，下面是甲、乙两个班级10次成绩（单位：分）的折线图：根据折线图（ ）
A. 甲班的成绩分数呈上升趋势
B. 甲班乙班的成绩分数平均值均为7
C. 甲班成绩分数的方差小于乙班成绩分数的方差
D. 从第8次到第10次甲班成绩分数增量大于乙班成绩分数增量
【答案】AB
【解析】
【分析】由折线图易知A正确；经计算可知两班成绩平均值相等，即B正确；由甲乙两班成绩波动程度可得C错误；从第8次到第10次两班成绩分数增量相等，即D错误.
【详解】对于A，由折线图可知，甲班的成绩分数呈上升趋势，即A正确；
对于B，计算甲班成绩平均值为，
乙班成绩平均值为，即B正确；
对于C，根据甲班成绩分数的波动性大于乙班成绩分数的波动性，可得甲班成绩分数的方差大于乙班成绩分数的方差，即C错误；
对于D，从第8次到第10次甲班成绩分数增量等于乙班成绩分数增量，即D错误；
故选：AB
三、填空题（共4道小题，每小题5分，共20分，15题答对一空得3分）
13. 一道试题，三人可解出的概率分别为，则三人独立解答，仅有一人解出的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用事件的独立性，根据独立事件的乘法公式计算可求得结果.
【详解】设三人独立可解出这道题分别为事件，
则仅有一人解出的概率
.
故答案为：
14. 已知一个圆柱的底面半径为2，体积为，则该圆柱的表面积为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据圆柱体积求高，再应用圆柱的表面积公式求圆柱的表面积.
【详解】由题设，若圆柱的高为，则，故，
所以圆柱的表面积为.
故答案为：
15. 若样本的平均数为8，其方差为3，则样本的平均数为______，方差为______．
【答案】 ①. 9. ②. 3.
【解析】
【分析】利用平均数与方差定义，计算可得结果.
【详解】易知，即可知，
所以，可得的平均数为9；
而，即，
所以，
所以样本的方差为3；
故答案为：9，3.
16. 表面积为的球的体积为__________．
【答案】
【解析】
【详解】分析：先根据球的表面积公式，列方程得到球半径，再利用球的体积公式求解该球的体积即可.
详解：，
，故答案为.
点睛：本题主要考查球的体积公式和表面积公式，意在考查学生对基础知识的掌握情况，属于基础题.
四、解答题（每题10分，共40分）
17. 已知．
（1）求与的夹角
（2）求
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知可以求出的值，进而根据数量积的夹角公式，即可求出与的夹角；
（2）由（1）中的结论可求得，然后开方即可求出答案.
【小问1详解】
由可得，
即，可得；
因此，又，
可得；
【小问2详解】
易知，
所以.
18. 在甲、乙两个盒子中分别装有编号为1，2，3，4 的4个球，现从甲、乙两个盒子中各取出一个球，每个球被取出的可能性相等.
（1）请列出所有可能的结果；
（2）求取出的两个球的编号恰为相邻整数的概率；
（3）求取出的两个球的编号之和与编号之积都不小于4的概率.
【答案】（1）答案见解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）列举法写出所有基本事件即可；
（2）求出满足条件的基本事件的个数，利用古典概型求解；
（3）求出满足两个球的编号之和与编号之积都不小于4的事件的个数，利用古典概型求解.
【小问1详解】
从甲、乙两个盒子中各取出一个球，所有可能的结果为：
，，，，，，，，，，，，，，，，共16种情况.
【小问2详解】
设“取出两个球的编号恰为相邻整数”为事件，
事件的所有可能的结果为：，，，，，，共6种情况，
∴.
【小问3详解】
设“取出的两个球的编号之和与编号之积都不小于4”为事件，
事件所有可能的结果为：，，，，，，，，，，，共11种情况，
∴.
19. 某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图．
（1）求图中x的值；
（2）求这组数据的平均数和中位数.
【答案】（1）；（2）77；.
【解析】
【分析】
（1）利用频率之和为1即可建立方程求出；
（2）根据频率分布直方图即可估算出平均数和中位数.
详解】（1）由（，解得．
（2）这组数据的平均数为．
可知的频率为，的频率为，则中位数在内，
设中位数为m，则，解得.
【点睛】本题考查利用频率分布直方图即估算平均数和中位数，属于基础题.
20. 如图，在四棱锥中底面为正方形，侧面是正三角形，平面平面，为的中点．
求证：（1）平面；
（2）平面平面.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）连接，交于点，连接，可知点为的中点，利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可得出平面；
（2）利用面面垂直的性质定理推出平面，可得出，再由等腰三角形三线合一的性质得出，再利用线面垂直的判定定理得出平面，再由面面垂直的判定定理可得出结论.
【详解】（1）连接，交于点，连接，
四边形为正方形，是的中点，
又为的中点，，
又平面，平面，平面；
（2）底面为正方形，．
平面平面，且平面平面，平面，
平面，平面，，
又是正三角形，为的中点，，
，平面．
平面，平面平面．
【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了面面垂直的证明，考查了面面垂直性质定理的应用，考查推理能力，属于中等题.