（预习）人教A版高二数学暑假自主学习讲义12 抛物线（2份，原卷版+解析版）

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1 抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线.
如图，P在抛物线上，PH=PF.
2 抛物线的标准方程
解释
(1) 求解焦点在x轴正半轴上的抛物线方程
取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系xOy，
设KF=p(p>0)，那么焦点F的坐标为p2,0，准线l的方程为x=−p2，
设Px,y是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d，由抛物线的定义，
因为|PF|=x−p22+y2,d=x+p2，所以x−p22+y2=x+p2，
化简得y2=2px(p>0).
(2) 涉及抛物线，先看一次项的取值范围确定开口方向，比如y2=−2x中一次项x≤0则该抛物线开口向左；再确定p值、焦点和准线位置.
可想象下抛物线是鱼缸里的一条鱼，焦点是它眼睛，准线是鱼缸玻璃壁.
【例】 画出以下抛物线的图象，写出相应的焦点坐标和准线方程.
(1) y2=4x；(2) y2=−2x；(3) x2=6y；(4) x2=−4y；
【题型一】 抛物线的定义
【典题1】 到直线x=−2与到定点P(2,0)的距离相等的点的轨迹是( )
A．椭圆B．圆C．抛物线D．直线
变式练习
1.动点P(x,y)到点F(3,0)的距离比它到直线x+2=0的距离大1，则动点P的轨迹是( )
A．椭圆B．双曲线C．双曲线的一支D．抛物线
【题型二】 求抛物线的标准方程
【典题1】 与圆(x−2)2+y2=1外切，且与直线x+1=0相切的动圆圆心的轨迹方程是 ．
变式练习
1.已知定点A(1,1)和直线l:x+y−2=0，则到定点A的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹为( )
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线
2.点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1，则点M的轨迹方程是 ．
【题型三】 抛物线的简单性质
【典题1】 若抛物线y2=4mx的焦点与椭圆x27+y23=1的左焦点重合，则m的值为( )
A．−12B．12C．−2D．2
【典题2】如图过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则p=( )
A．2B．32C．3D．6
变式练习
1.已知抛物线的准线方程为x=1，则此抛物线的标准方程为( )
A．x2=−2yB．x2=−4yC．y2=−2xD．y2=−4x
2.抛物线y2=−2px(p>0)的准线经过椭圆x29+y25=1的右焦点，则p= ( )
A．2B．4C．8D．12
3.设抛物线C：y2=8x的焦点为F，A是C上的一点且在第一象限，以F为圆心，以FA为半径的圆交C的准线于B，D两点，且A，F，B三点共线，则点A的横坐标为( )
A．8B．12C．10D．6
4.过抛物线y2=2px的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，若A，B在准线上的射影为A1，B1，则∠A1FB1等于 ．
5.焦点为F的抛物线C:y2=4x的对称轴与准线交于点E，点P在抛物线C上，在∆EFP中， sin∠EFP=2sin∠FEP，则EP的值是 .

【A组---基础题】
1.已知点P到点F(0,1)的距离比它到直线l:y+2=0的距离小1，则点P的轨迹方程为( )
A．x2=−4yB． x2=4yC．y2=−4xD．y2=4x
2.抛物线y2=2x的焦点到其准线的距离是( )
A．1B．2C．3D．4
3.抛物线y2=8x上一点P到x轴的距离为12，则点P到抛物线焦点F的距离为( )
A．8B．20C．22D．24
4.(多选)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线y2=4x的焦点为F，一束平行于x轴的光线l1从点M(3,1)射入，经过抛物线上的点P(x1,y1)反射后，再经抛物线上另一点Q(x2,y2)反射后，沿直线l2射出，则下列结论中正确的是( )
A．x1x2=1B．kPQ=−43
C．|PQ|=254D．l1与l2之间的距离为4
5.已知圆x2+y2−6x−7=0与抛物线y2=2px(p>0)的准线相切，则p=__________．
6.若抛物线y2=2px的焦点与双曲线x24−y2=1的右顶点重合，则p= ．
7.若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离少1，则动点P的轨迹方程是 ．
8.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，若|AB|=12，那么x1+x2= ．
9.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(x0,22)到焦点F的距离|MF|=3x02，倾斜角为α的直线经过焦点F，且与抛物线交于两点A、B．
(1)求抛物线的标准方程及准线方程；
(2)若α为锐角，作线段AB的中垂线m交x轴于点P．证明：FPsin2α=2.
【B组---提高题】
1.已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点F在x轴上，其准线为l，过F的直线交抛物线于M，N两点，作MS⊥l，NT⊥l，垂足分别为S，T．若MF=3FN，且△STF的面积为833，则抛物线C的方程为( )
A．y2=±xB．y2=±2xC．y2=±3xD．y2=±4x
2.已知点P是抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A72,4，则|PA|+|PM|的最小值是( )
A．5B．92C．4D．32
标准方程
y2=2px
(p>0)
y2=−2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=−2py
(p>0)
图形
焦点
F(p2 , 0)
F(−p2 , 0)
F(0 , p2)
F(0 , −p2)
准线方程
x=−p2
x=p2
y=−p2
y=p2