（暑期班）高二数学(人教A版选择性必修第一册)暑假讲义第14讲 抛物线（2份，原卷版+解析版）

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·模块一 抛物线的标准方程
·模块二 抛物线的简单几何性质
·模块三 课后作业
模块一
抛物线的标准方程
1．抛物线的定义
(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.
(2)集合语言表示
设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.
2．抛物线的标准方程
抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
【考点1 动点的轨迹问题】
【例1.1】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据抛物线的定义判断轨迹，再由抛物线焦点、准线得到方程即可.
【解答过程】由题意知动点到直线的距离与定点的距离相等，
由抛物线的定义知，P的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以，轨迹方程为，
故选：D.
【例1.2】（2022秋·新疆哈密·高二校考期末）点到点 的距离比它到直线的距离小2，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】点到点的距离比它到直线的距离小2可以转化为点到直线的距离等于它到点的距离可得答案.
【解答过程】因为点到点的距离比它到直线的距离少2，
所以将直线左移2个单位，得到直线，即，
可得点到直线的距离等于它到点的距离，
根据抛物线的定义，可得点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，设抛物线方程为，可得，得，
所以抛物线的方程为，即为点的轨迹方程.
故选：B．
【变式1.1】（2023春·上海闵行·高二校考开学考试）若动点满足，则点M的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【解题思路】根据题意，化简得到，结合抛物线的定义，即可求解.
【解答过程】由题意，动点满足，
即，
即动点到定点的距离等于动点到定直线的距离，
又由点不在直线上，
根据抛物线的定义，可得动点的轨迹为以为焦点，以的抛物线.
故选：D.
【变式1.2】（2023春·江西·高三校联考阶段练习）设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据题意分别求得，的坐标与切线，再根据抛物线的定义即可求得动点的轨迹方程．
【解答过程】因为圆与轴交于，两点（在的上方），
所以，，
又因为过作圆的切线，
所以切线的方程为，
因为动点到的距离等于到的距离，
所以动点的轨迹为抛物线，且其焦点为，准线为，
所以的轨迹方程为．
故选：A.
【考点2 利用抛物线的定义解题】
【例2.1】（2022春·山西忻州·高二统考期末）抛物线上一点P到原点的距离为，则P到焦点的距离为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【解题思路】设，则，解出值，则距离为，代入即可.
【解答过程】设，则，
解得（负根舍去），
所以P到焦点的距离为．
故选：B.
【例2.2】（2022秋·广西玉林·高三校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且，则（ ）
A．B．1C．2D．4
【解题思路】求出抛物线的准线方程，利用抛物线定义，列式计算作答.
【解答过程】点F为抛物线的焦点，其准线方程为：，
因为点在抛物线C上，且，则有，解得，
所以.
故选：C.
【变式2.1】（2022秋·吉林长春·高二校考期末）已知A为抛物线上一点，点A到抛物线C的焦点的距离为10，到y轴的距离为9，则（ ）
A．2B．3C．6D．9
【解题思路】利用抛物线的定义即可求解.
【解答过程】设抛物线的焦点为，由抛物线的定义知，解得.
故选：A.
【变式2.2】（2022秋·广东东莞·高三统考期末）已知F为抛物线的焦点，P为抛物线上任意一点，O为坐标原点，若，则（ ）
A．B．3C．D．
【解题思路】根据抛物线定义结合，求得点P的坐标，即可求得答案.
【解答过程】由题意F为抛物线的焦点，则,且准线方程为，
设,由可得,代入得，
即,故,
故选：C.
【考点3 抛物线的焦点坐标及准线方程】
【例3.1】（2023春·河南南阳·高二校联考阶段练习）抛物线C：过点，则C的准线方程为（ ）
A． B．C．D．
【解题思路】先求得参数a的值，进而求得C的准线方程.
【解答过程】抛物线C：过点，则，解之得，
则抛物线C方程为，则C的准线方程为
故选：B.
【例3.2】（2023秋·高二课时练习）抛物线的焦点坐标为（ ）
A．时为时B．时为时为
C．D．
【解题思路】抛物线化为，分，两种情况讨论求解，综合即可得出答案.
【解答过程】抛物线的焦点坐标为，抛物线的焦点坐标为.
抛物线化为，
当时，其表示焦点在轴正半轴上，开口向上的抛物线，，故焦点坐标为；
当时，其表示焦点在轴负半轴上，开口向下的抛物线，，故焦点坐标为即，
综上，抛物线的焦点坐标为.
故选：C.
【变式3.1】（2023·安徽滁州·安徽省校考二模）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为，则的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据点在抛物线上可得，利用抛物线定义可得，即可求得p的值，即可求得答案,
【解答过程】由题意可知，，所以
又知抛物线的准线方程为，
根据抛物线的定义可知，，整理得，解得，
所以的焦点坐标为，
故选：C．
【变式3.2】（2023·河南郑州·三模）抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，反之，平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过该抛物线的焦点．已知抛物线C：，一条平行于y轴的光线，经过点，射向抛物线C的B处，经过抛物线C的反射，经过抛物线C的焦点F，若，则抛物线C的准线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据抛物线的定义，即可转化求解.
【解答过程】由题意可知，抛物线的准线方程为，根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，所以，得，
所以抛物线的准线方程为.
故选：B.
【考点4 求抛物线的标准方程】
【例4.1】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）经过点的抛物线的标准方程是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【解题思路】设抛物线的标准方程，将点的坐标代入，求得参数的值，即得答案.
【解答过程】设抛物线的方程为或，
将点代入，可得或，
解得或，
故抛物线的标准方程为或，
故选：C.
【例4.2】（2023·河南新乡·统考三模）已知抛物线的焦点为F，C上一点满足，则抛物线C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据点为抛物线上一点，代入抛物线方程，再由，利用抛物线的定义求解.
【解答过程】解：依题意得 ，
因为，所以.
又，解得，
所以抛物线的方程为.
故选：D.
【变式4.1】（2023春·四川雅安·高三校联考阶段练习）若抛物线的焦点到准线的距离为3，且的开口朝左，则的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据开口设抛物线标准方程，利用p的几何意义即可求出.
【解答过程】依题意可设的标准方程为，
因为的焦点到准线的距离为3，所以，
所以的标准方程为.
故选：A.
【变式4.2】（2023·全国·高三专题练习）设点F是抛物线的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若，，则抛物线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据已知条件，结合抛物线的定义及性质，即可求解.
【解答过程】解：由题意得：
，，，所以
可得，由抛物线的定义得
所以是等边三角形，所以，所以抛物线的方程是．
故选：B.
模块二
抛物线的简单几何性质
1．抛物线的几何性质
抛物线的简单几何性质：
2．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异
抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：
①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；
②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；
③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；
④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是00)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
标准
方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
图形
顶点
(0,0)
(0,0)
轴
对称轴y=0
对称轴x=0
焦点
准线
离心率
e =1
e=1
开口
开口向右
开口向左
开口向上
开口向下
焦半径
范围
x≥0
x≤0
y≥0
y≤0