专题02 整式乘法-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）（原卷版+解析版）

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核心考点聚焦
单项式乘单项式
单项式乘多项式
多项式乘多项式
乘法公式
单项式乘以单项式
单项式与单项式相乘，把他们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
单项式乘以多项式
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
多项式乘以多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
乘法公式
1.平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
2.完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²，a²-2ab+b²=(a-b)²，即首平方、尾平方，倍首尾放中央。
难点强化一、阴影部分面积
1．如图，有两个正方形A、B，边长分别为a和b，将A、B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．若图甲、图乙中阴影的面积分别为与，若，则的值为（ ）
A．B．C．2D．3
2．如图所示，在周长为44的长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为6的小正方形和，其中点E、G分别在、上，点H、K分别在边、上，点P、Q在边上，点N在边上．记如图的三个阴影部分的面积分别为，，，若，则长方形的面积为 ．
3．如图，长方形被分割成四个小长方形，已知长方形的面积比长方形的面积大3，，那么阴影部分的面积是多少？
难点强化二、杨辉三角
1．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，例如：
利用上述规律计算：（ ）
A．B．C．D．
2．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”
…
写出展开式中所有项的系数和 ．
3．我国宋代数学家杨辉（13世纪）写了一本书《详解九章算法》，书中记载了一个用数字排成的三角形，这个三角形数阵图是北宋贾宪（约11世纪上半叶）首创的“开方作法本源图”，后人称之为贾宪三角或杨辉三角．（图1）
杨辉三角实际是二项式乘方展开式的系数表（图2），观察图2右侧的系数表，你发现了什么规律？用你发现的规律回答下列问题：
(1)多项式展开式的第三项系数是_____________．
(2)请写出的展开式：______________．
(3)已知多项式，当时，求该多项式的值．
难点强化三、操作问题
1．我们把个单项式的和得到的多项式记为，即，将多项式中的任意个单项式，其系数变为相反数得到新多项式，称为相反数操作．例如：对于，当时，可将变为，得到新多项式：，下列说法中：
①当时，若均为自然数，则与新多项式的积可能为
②当时，若等于新多项式的绝对值，则的个单项式中一定存在两个单项式的和为；
③当时，得到的新多项式的所有可能结果之和记为，将再进行“相反数操作”，得到的新多项式的所有可能结果之和记为．．．以此类推，则与的差为定值．正确的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
2．有依次排列的2个整式：x，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：x，3，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过下列实际操作：
①第二次操作后整式串为：x，，3，x，；
②第二次操作后，当时，所有整式的积为正数；
③第四次操作后整式串中共有19个整式；
④第2021次操作后，所有的整式的和为；
上面四个结论中正确的是 （填序号）
3．对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，则称这个数为“幸福数”，将的百位数字调到个位可以得到一个新的三位数，不断重复此操作共可得到两个不同的新三位数，把这两个新数与原数的和与111的商记为．例如，456是“幸福数”，不断将456的百位数字调到个位可得564，645，．
(1)求，．
(2)已知，（，，为整数），若、均为“幸福数”，且可被6整除，求的值．
难点强化四、整除问题
1．若k为任意整数，则的值总能（ ）
A．被2整除B．被3整除C．被5整除D．被7整除
2．一个正两位数M，它的个位数字是，十位数字是a，把M十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数N，若的值能被13整除，则a的值是 ．
3．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“相邻两个奇数的平方差是否能被8整除）”的问题．
(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下：
按上表规律，完成下列问题：
（ⅰ）____；
（ⅱ）若是正整数，请用含的式子描述你能得出的一般性结论，并证明你的结论；
(2)兴趣小组还猜测：相邻两个偶数的平方差不能被8整除．师生一起研讨，分析过程如下：
阅读以上内容，请在横线上填写所缺内容．
难点强化五、单(多)项式与多项式的应用
1．如图，小明制作了A类，B类，C类卡片各15张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形，若小明要拼出一个宽为，长为的大长方形，则他准备的C类卡片（ ）
A．够用，剩余0张B．够用，剩余2张
C．不够用，还缺1张D．不够用，还缺2张
2．如图，长方形的面积是96，为上一点，，为上一点，则的面积是 ．
3．如图，在一个足够长且宽为的纸带上剪出一些矩形纸片A，B，C…，其面积分别为．图中的虚线为裁剪纸，试用含x的式子解决下列问题．
(1)求；若，求矩形C落在边l上的长；
(2)在（1）的前提下，若矩形D在边l上的长为，比较与的大小，并通过计算说明理由．
难点强化六、平方差公式的应用
1．如图，大正方形与小正方形的面积之差是，则阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
2．已知边长为a的大正方形A和边长为b的小正方形B，现将B放在A内部得到图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别是1和12．
（1）根据图甲、图乙的面积关系，可以得到 ；
（2）若3个正方形A和2个正方形B按图丙的方式摆放，则图丙中阴影部分的面积为 ．
3．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是 ；
(2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题．
①已知，，求的值．
②计算：．
难点强化七、完全平方公式的应用
1．已知两块边长都为的大正方形，两块边长都为的小正方形和五块长、宽分别是，的小长方形，按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个大长方形．已知拼成的大长方形周长为，图中阴影部分四个正方形的面积之和为，则图中每个小长方形的面积为（ ）
A．B．C．D．
2.有一张边长为的大正方形卡片和三张边长为的小正方形卡片如图①所示，取出两张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图②，再重新用三张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图③．已知图②中的阴影部分面积是图③中的阴影部分面积的2倍，则小正方形与大正方形的面积之比为 ．
3．【材料阅读】
利用两数和（差）的完全平方公式可以解决很多数学问题．
例：若满足，求的值．
解：设，则，
．
请仿照上面的方法求解下面问题：
【初步应用】（1）已知，，则___________；
【问题解决】（2），求；
【拓展延伸】（3）已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积．
难点强化八、整式乘法的规律
1．数学兴趣小组开展探究活动，研究了均为自然数，且）的问题．研究过程如下：
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
…………
(1)按照以上规律，填空．
①请你写出当时，（ ）（ ）；
②猜想（ ）
(2)兴趣
…………
按照以上规律，请你猜想__________________，并证明．
2．某校的七年级数学兴趣小组开展探究活动，他们一起研究两位整数的平方数问题，先从个位数是1的两位整数的平方数开始．如：
；
．．．
按照以上规律，完成下列问题：
(1)___________；
(2)十位数字是，个位数字是1的两位整数的平方数可以写成：（___________）___________；（用含的代数式表示）
(3)请你猜想出十位数字是，个位数字是的两位整数的平方数，写成：（___________）___________（用含的代数式表示），并证明．
3．阅读下面各式，寻找其中的计算规律．
①
②
③
(1)按这个规律，第10个式子是：______________
(2)观测上式，并猜测： ________________
(3)根据你的猜测，计算（其中n是正整数）的值．
难点强化九、整式乘法的新定义
1．定义：对于依次排列的多项式（，，，是常数），当它们满足，且为常数时，则称，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．如对于多项式，因为，所以，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．
(1)已知，，，是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子．
(2)若a，b，c，d是一组平衡数，，请写出一组b，c的值，
(3)当a，b，c，d之间满足什么数量关系时，它们是一组平衡数？请说明理由．
2．配方法是数学中重要的一种思想方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式．则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”．理由：因为，所以10是“完美数”；代数式可配方成（，为常数）．也可以求代数式的最大值或最小值，即：，因为，所以，所以最小值为4．
(1)解决问题：
下列各数中，“完美数”有______（填序号）．
①29； ②48； ③13； ④28．
(2)探究问题：
①已知（，是整数，是常数），猜想当为何值时，为“完美数”，并说明理由．
②已知实数，满足，求的最小值．
3．定义：多项式A，B，C，如果满足，m为常数时，则称多项式A，B，C为一组和谐多项式．其中m是该组和谐多项式的和谐果．
例如：对于多项式，，，因为，所以多项式，，是一组和谐多项式，4是该组和谐多项式的和谐果．
(1)判断多项式，，是否为一组和谐多项式？若是，请求出该组和谐多项式的和谐果；若不是，请说明理由；
(2)多项式，，（a，b，c是常数）是一组和谐多项式，求a，b，c之间的数量关系；
(3)多项式，，（d，e是常数）是一组和谐多项式，请直接写出该组和谐多项式的和谐果m的值．
难点强化十、配方法求最值
1．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式；例如求代数式的最小值．．可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式： ；
(2)当x为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
(3)当 ， 时，多项式有最小值，最小值是 ．
2．在学习用乘法公式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．周老师布置了一道思维拓展题：代数式 有最大值还是最小值？并求出这个最值．小宸的解题步骤如下：



∴当时，数式的最小值是4，此时
小宸的解法及结果得到了周老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题：
(1)若是一个完全平方式，则k的值等于 ；
(2)求代数式的最小值，并求此时x的值；
(3)对于任意实数x、y，若多项式的最小值为2，求m的值．
3．阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．
例如：求代数式的最小值．
，可知当时，有最小值，最小值是．
再例如：求代数式的最大值．
．可知当时，有最大值．最大值是．
【直接应用】
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ；
（2）代数式的最小值为 ；
【类比应用】
（3）试判断代数式与的大小，并说明理由；
【知识迁移】
（4）如图，学校打算用长16米的篱笆围一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙（墙足够长），求围成的生物园的最大面积．
真题感知
1．（2024·江苏南京·中考真题）任意两个奇数的平方差总能（ ）
A．被3整除B．被5整除C．被6整除D．被8整除
2．（2024·江苏扬州·中考真题）下列运算中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·江苏徐州·中考真题）若，，则代数式的值是 ．
4．（2023·江苏·中考真题）若圆柱的底面半径和高均为，则它的体积是 （用含的代数式表示）．
5．（2023·江苏宿迁·中考真题）若实数m满足，则 ．
6．（2023·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中，.能否被8整除
能
能
能
能
能
…
…
假设相邻两个偶数的平方差能被8整除．令一个偶数为（为正整数），则相邻的一个偶数可表示为，则（为正整数）．因为_____，所以_____，这与为正整数相矛盾，故相邻两个偶数的平方差不能被8整除．