2025年人教A版高中数学必修二 高一下期末复习分类训练（易错题专练）（2份，原卷版+解析版）

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1．下列关于向量，，的运算，一定成立的有（ ）
A．|﹣|≤|+|B．（﹣）•＝•﹣•
C．•＜||•||D．（•）•＝•（）
【分析】对于选项A、C、D，可举反例判断其错误，选项B是分配律．
【解答】解：当＝（1，0），＝（﹣1，0）时，|﹣|＝2，|+|＝0，故A错误；选项B是分配律，是正确的；当＝（1，0），＝（1，0）时，•＝1，||•||＝1，故C错误；当＝（1，0），＝（﹣1，0），＝（0，1）时，（•）•＝（0，﹣1），•（•）＝（0，0），故D错误．故选：B．
（多选）2．已知平面非零向量，，下列结论正确的是（ ）
A．若是平面所有向量的一组基底，且不是基底，则实数k＝±2
B．若存在非零向量使得，则
C．已知向量与的夹角是钝角，则k的取值范围是k＜9
D．已知向量，，则在上的投影向量是（0，1）
【分析】A中，由共线向量定理列方程求解即可判断正误．B中，举例判断B选项是否错误．C中，k＝﹣1时判断，可以判断C选项错误；D中，根据定义求出在上的投影向量，判断D选项正确．
【解答】解：对于A，因为不是基底，所以+k与k+4共线，即k2﹣1×4＝0，解得k＝±2，A选项正确．
对于B，如＝（1，0），＝（2，0），＝（0，3），满足，但不成立，B选项错误．
对于C，当k＝﹣1时，，，此时，与，的夹角是钝角矛盾，C选项错误．
对于D，在上的投影向量是•＝•＝（0，1），D选项正确．故选：AD．
3．已知，，，则＝ 4 ．
【分析】直接套用模长公式，结合数量积的运算求解．
【解答】解：＝＝＝＝4．
故答案为：4．
4．若△ABC是边长为1的等边三角形，G是边BC的中点，M为线段AG上任意一点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据正三角形的性质和数量积的定义，将转化为，则问题即可解决．
【解答】解：因为△ABC是边长为1的等边三角形，G是边BC的中点，M为线段AG上任意一点，
故AG⊥BG，且，，所以＝﹣＝．故选：C．
5．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，N是边BC上的点，且为△ABC的外心，则＝（ ）
A．3B．C．D．
【分析】利用平面向量的线性运算法则以及外心的性质、数量积的定义求解．
【解答】解：因为O为△ABC的外心，故＝2，＝，又，故N为BC的中点，故，所以＝＝＝＝．故选：B．
6．在△ABC中，AB＝6，AC＝4，BC＝5，点O满足OA＝OB＝OC，k＝•+•+•，数列{an}中，a1＝1，an+1＝an+2kn，则an＝（ ）
A．2n﹣1B．C．5n﹣4D．lg5（6n﹣1）
【分析】先判断△ABC的形状，然后结合已知可知，O为外心，再结合数量积的定义算出k的值，最后利用累加法求出{an}的通项公式．
【解答】解：显然csC＝＝，故△ABC为锐角三角形，又点O满足OA＝OB＝OC，故O为外心，所以＝＝8，＝＝，，故k＝•+•+•＝，所以an+1＝an+5n，即an+1﹣an＝5n，故a1＝1，a2﹣a1＝5×1，a3﹣a2＝5×2，………………
an﹣an﹣1＝5（n﹣1），上述n个式子相加得：an＝1+5×[1+2+3+……+（n﹣1）]＝＝．
故选：B．
7．在平面四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD＝2，∠ABC＝60°，∠ADC＝90°，若＝＝＝，则2•+•＝ ；若P为边BC上一动点，当•取最小值时，则cs∠PDC的值为 ．
【分析】根据题意可知△ABC是等边三角形，△ADC是有一个内角为60°的直角三角形．又知道它们的边长，所以可以建立坐标系，将问题坐标化后进行计算求解．
【解答】解：∵平面四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD＝2，∠ABC＝60°，∠ADC＝90°，
∴△ABC是边长为2的等边三角，在Rt△ADC中，AC＝2，CD＝1，所以∠ACD＝60°．
又＝＝＝，∴E，F，G是BC边的四等分点．
如图建立坐标系：则：A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），D（），E（﹣），F（0，0），G（）．所以2•+•＝2（）•（）+（）•（0，）＝．再设P（x，0），∴•＝•（1﹣x，0）＝x2﹣x＝（x﹣）2﹣．（﹣1≤x≤1）
显然x＝时，•最小，此时P（）．
∴＝＝．故答案为：，．
8．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图，这是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH所在平面内的一点，则（+）•（+）的最小值为 ．
【分析】根据正八边形的性质，建立平面直角坐标系，取AB的中点M，EF的中点N，然后将转化为，再将结论化为关于P（x，y）的坐标x，y的二次式，利用配方法求出最值．
【解答】解：如图所示，以该正八边形的中心O为原点，过O与AB平行的直线为x轴，如图建立平面直角坐标系，再设M，N分别为AB，EF的中点，易知N（），M（0，﹣1），再设P（x，y），
而（+）•（+）＝＝4＝4（）
＝4[]，（当且仅当x＝y＝0取等号），故所求的最小值为：．
故答案为：．
9．已知矩形ABCD的边长满足BC＝3AB，点P满足，则cs∠DPA的值为 ．
【分析】由可知，P点为BC的中点，然后结合余弦定理求cs∠DPA的值．
【解答】解：设BC的中点为P，易知，结合矩形ABCD的边长满足BC＝3AB，不妨令BC＝3AB＝6，则AD＝6，BP＝3，AB＝2，故DP＝AP＝，
所以cs∠DPA＝＝＝﹣．故答案为：．
10．已知平面向量，，满足||＝||＝|﹣|＝2，（﹣）•（﹣2）＝，则||的最小值是 ﹣1 ．
【分析】结合向量减法的几何意义，可知，然后将问题坐标化，结合已知条件得到的几何意义，即可求出的最小值．
【解答】解：如图，可设，则，结合||＝||＝|﹣|＝2，可知∠AOB＝60°，
如图建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，），设，
则由（﹣）•（﹣2）＝得：（2﹣x，﹣y）•（1﹣2x，）＝，
化简后得，故得终点落在以（）为圆心，半径r＝1的圆上，
故||的最小值为＝．故答案为：．
11．在△ABC中，AB＝6，AC＝4，BC＝5，点O满足OA＝OB＝OC，k＝++，数列{an}中，a1＝1，an+1＝an+2kn，则an＝ ．
【分析】先判断△ABC的形状，然后结合已知可知，O为外心，再结合数量积的定义算出k的值，最后利用累加法求出{an}的通项公式．
【解答】解：显然csC＝＝，故△ABC为锐角三角形，又点O满足OA＝OB＝OC，故O为外心，所以＝＝8，＝＝，，
故k＝•+•+•＝，所以an+1＝an+5n，即an+1﹣an＝5n，故a1＝1，a2﹣a1＝5×1，
a3﹣a2＝5×2，………………an﹣an﹣1＝5（n﹣1），
上述n个式子相加得：an＝1+5×[1+2+3+……+（n﹣1）]＝＝．
故答案为：．
12．已知平面向量满足与的夹角为120°，记，则的取值范围为 [，+∞） ．
【分析】根据题意，可设＝，＝，＝，由题意知A，B，C三点共线，求出点O到直线AB的距离，是的最小值．
【解答】解：因为向量满足||＝3，与的夹角为120°，设＝，＝，＝，
则OA＝3，∠OAB＝120°，如图所示：因为，所以A，B，C三点共线，
所以点O到直线AB的距离为d＝OAsin60°＝3×＝，所以OC≥，
即的取值范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）．
13．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1．若点E为边CD上的动点，则•的最小值为 ．
【分析】可建立坐标系，然后根据给的条件求出A，B，E的坐标，再设E（0，m），则可将•整理成m的函数，然后求其最小值．
【解答】解：因为AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1．
故如图，建立如图所示的坐标系．则A（1，0），连接AC，易证Rt△ACD≌RtACB，
∴∠DAC＝∠CAB＝60°＝∠BAx＝60°，∴．xB＝1+1×，．∴．设E（0，m），（）．∴，．
∴＝（m﹣）2．故当时，•的最小值．故答案为：．
14．已知O为△ABC的外心，||＝16，||＝10，若＝x+y，且32x+25y＝25，则||＝（ ）
A．8B．10C．12D．14
【分析】若＝x+y，则＝x+y，根据向量数量积的几何意义分别求出，后，得出关于x，y的代数式，利用32x+25y＝25整体求解．
【解答】解：如图．若＝x+y，则＝x+y，由于O为外心，D，E为中点，OD，OE分别为两中垂线．＝||（||cs∠DAO）＝||•||＝||××||＝16×8＝128，
同样地，＝||2＝100，所以2＝128x+100y＝4（32x+25y）＝100，∴||＝10．故选：B．
15．给出下列四个命题：
①非零向量满足，则与的夹角是30°；
②若，则△ABC为等腰三角形；
③若单位向量的夹角为120°，则当取最小值时，x＝1；
④若为锐角，则实数m的取值范围是．则其中所有正确的序号为 ①②③ ．
【分析】根据平面向量的夹角公式和模长公式，向量线性运算、数量积的性质以及向量共线的条件逐项判断即可．
【解答】解：对于①，不妨令向量满足＝1，则＝，得，故＝，故cs＜＞＝＝，结合向量夹角的范围可知，则与的夹角是30°，故①正确；
对于②，设BC中点为E，则，即＝0，故AE⊥CB，结合等腰三角形三线合一的性质可知：AB＝AC，故②正确；
对于③，结合已知得：＝＝，易知，当x＝1时，原式取最小值，故③正确；
对于④，由已知得，＝（﹣1﹣m，﹣m），令﹣3×（﹣m）＝﹣1×（﹣1﹣m），解得，此时，故两向量同向，与∠ABC为锐角时，则实数m的取值范围是矛盾，故④错误．
故答案为：①②③．
16．如图，已知O是边长为6cm的正方形ABCD的中心，质点P1从点A出发沿A→D→C→B方向，同时质点P2也从点A出发沿A→B→C→D方向在该正方形上运动，直至它们首次相遇止．若质点P1的速度为2cm/s，质点P2的速度为1cm/s，则的最小值为 ﹣ ．
【分析】建立平面直角坐标系，表示出涉及到的各点的坐标，然后分t∈[0，3]，t∈（3，6），t∈[6，8]，写出的式子，分别求出最小值，小中取小．
【解答】解：以A为原点，如图建立平面直角坐标系，则由已知得：A（0，0），O（3，3），B（6，6），C（6，6），D（0，6），显然2t+t＝4×6＝24，t＝8，故0≤t≤8，当t∈[0，3]时，P1（0，2t），P2（t，0），则＝（﹣3，2t﹣3）•（t﹣3，﹣3）＝18﹣9t，显然t＝3时，原式取得最小值﹣9；当t∈（3，6）时，P1（2t﹣6，6），P2（t，0），则＝（2t﹣9，3）•（t﹣3，﹣3）＝2t2﹣15t+18＝2（t﹣）2，显然t＝时，原式取得最小值﹣；当t∈[6，8]时，P1（6，18﹣2t），P2（6，t﹣6），则＝（3，15﹣2t）•（3，t﹣9）＝，显然t＝6时，原式取得最小值0；综上可知，原式的最小值为：．故答案为：．
17．如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，，，且与的夹角为60°．
（1）若，求：；
（2）若，且，求：实数k的值；
（3）若，且，求：的值．
【分析】（1）利用，结合求模公式即可求出，则结论可求；
（2）根据两向量垂直的充要条件列出k的方程求解；
（3）求出x，y的值，则问题可解．
【解答】解：由已知，，且与的夹角为60°，得，
（1）因为，故＝＝，故||＝＝；
（2）因为，且，
所以＝＝+（1﹣k）＝﹣16+4k+4（1﹣k）＝0，
化简得﹣12＝0，显然不成立，故k不存在；
（3）因为，故＝＝，
所以＝＝＝＝﹣9．
18．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝（a+b，c﹣a），＝（a﹣b，c），且⊥．
（1）求角B；
（2）若b＝4，求△ABC周长的最大值．
【分析】（1）利用数量积的定义结合向量垂直的充要条件，得到三边的关系式，进而利用余弦定理求角；
（2）利用余弦定理结合基本不等式求出周长的最大值．
【解答】解：（1）由题知：＝（a+b）（a﹣b）+（c﹣a）c＝a2+c2﹣b2﹣ac＝0，
故csB＝，又B∈（0，π），故B＝；
（2）由b＝4得b2＝a2+c2﹣2accsB＝16，即（a+c）2﹣3ac＝16，因为，（当且仅当a＝c时取等号），代入原式得：（a+c）2≤64，故a+c≤8，a+b+c≤12，
故△ABC周长的最大值为12．
19．已知向量，，设．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）已知角α为锐角，β∈（0，π），，，求sin（2α+β）的值．
【分析】（1）利用数量积的定义和降幂公式将f（x）化简为一个角、一次，正弦型三角函数的形式，再进一步求解；
（2）利用同角基本关系式、两角和与差的三角公式求解．
【解答】解：（1）∵
∴f（x）＝2sin（2x﹣）+1，∴f（x）的最小正周期；
由2kπ﹣≤2x﹣+2kπ，k∈Z，解得，
故f（x）的单调递增区间为[kπ，kπ+]，k∈Z；
（2）由题意，
解得，∵，显然sin，
又∵，β∈（0，π），且，
∴，∴，
∴sin（2α+β）＝sin[（α+β）+α]＝sin（α+β）csα+cs（α+β）sinα＝．
20．试分别解答下列两个小题：
（Ⅰ）已知，，，求向量与的夹角θ；
（Ⅱ）已知，α是第三象限角，求的值．
【分析】（Ⅰ）先根据已知求出，然后套用向量的夹角公式求解；
（Ⅱ）先利用两角差的正弦公式求出sinα，然后利用和差公式、倍角公式、基本关系式求解．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，，，，
所以，将，，代入上式得，
故csθ＝＝，θ∈[0，π]，故；
（Ⅱ）由，
得sin[（β﹣α）﹣β]＝sin（﹣α）＝，故sin，因为α为第三象限角，
故，所以，所以tan2α＝＝，
所以＝＝．
二．投影向量
21．向量＝（1，2），向量＝（﹣1，0），则在上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据投影向量的定义，算出两向量的夹角，以及方向上的单位向量，即可求出结果．
【解答】解：由已知得，＝＝＝，
故在上的投影向量是＝．故选：C．
22．已知||＝4，||＝3，•＝﹣12，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣
【分析】根据投影向量的定义计算即可．
【解答】解：因为||＝4，||＝3，•＝﹣12，所以向量在方向上的投影向量为
||cs＜，＞＝×＝﹣．故选：A．
三．平面向量的基本定理
23．在平行四边形ABCD中，若，，（λ，μ∈R），则3λ+4μ＝ 3 ．
【分析】分别延长AD，BE，相交于P，然后将，用表示，根据F，B，D三点共线的向量条件，即可得到所需结论．
【解答】解：如图所示延长AD，BF交于点P，
因为，，（λ，μ∈R），所以＝，
P，B，F三点共线，所以，所以3λ+4μ＝3．故答案为：3．
四．向量在物理中的应用
24．已知两个力的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60°，那么的大小为（ ）
A．NB．5NC．10ND．N
【分析】此题考查的是向量在物理中的应用．在解答时，影响根据信息画出平行四边形，结合已知向量的大小和向量间的夹角，通过运算或直接解直角三角形进行问题的解答即可．
【解答】解：由题意可知：对应向量如图由于α＝60°，∴的大小为||•sin60°＝10×＝．
故选：A．
五．正弦定理
25．已知△ABC的三个内角A、B、C所对边分别为a、b、c，则“c＝acsB”是“△ABC为直角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】由已知结合正弦定理可得sinC＝sinAcsB，利用三角形的内角和及和角的正弦公式化简可得A为直角，几何充分条件及必要条件进行判断即可．
【解答】解：因为c＝acsB，由正弦定理可得，sinC＝sinAcsB 即sin（A+B）＝sinAcsB
所以 sinAcsB+sinBcsA＝sinAcsB所以sinBcsA＝0，因为 0＜A＜π，0＜B＜π 所以sinB≠0，csA＝0则A＝，△ABC为直角三角形，但△ABC为直角三角形时不一定是A＝所以c＝acsB是△ABC为直角三角形充分不必要条件故选：A．
26．在△ABC中，若a＝3，c＝，B＝，则△ABC的面积为 ．
【分析】直接利用面积公式求解．
【解答】解：因为a＝3，c＝，B＝，故S△ABC＝＝＝．
故答案为：．
六．三角形中的几何计算
27．已知△ABC的三条边长分别为5，7，8，则此三角形的最大角与最小角之和为 ．
【分析】先利用余弦定理求出B，然后结合内角和定理求解．
【解答】解：由题意设a＝5，b＝7，c＝8，易知，中间角为B，
csB＝＝＝，B∈（0，π），B＝，故A+C＝．故答案为：．
28．如图所示，该图由三个全等的△BAD、△ACF、△CBE构成，其中△DEF和△ABC都为等边三角形．若DF＝2，，则AB＝ ．
【分析】由已知容易求出△ABD中三个角，然后结合DF＝2，且DF＝DA﹣DB，利用正弦定理表示出DA，DB，通过列方程解决问题．
【解答】解：由△BAD≌△ACF≌△CBE，且△DEF和△ABC都为等边三角形得：
DB＝AF，故DF＝AD﹣DB＝2，在△ABD中，，，，
由正弦定理得：，因为sin＝sin（）＝，
所以，可得AB，，故DF＝AD﹣DB＝＝2，
故AB＝．故答案为：．
29．锐角三角形ABC中，，且最长边与最短边之比为m，则m的取值范围是 （1，2） ．
【分析】根据△ABC为锐角三角形，可得＜C＜，根据正弦定理和三角恒等变换即可求出m＝的取值范围．
【解答】解：因为△ABC为锐角三角形，且B＝，所以A+C＝，且＜C＜，
根据三角形的边角关系，不妨设a＞b＞c，所以m＝，根据正弦定理得，m＝＝＝＝＝+，由＜C＜，得tanC＞，所以m＝+∈（，2），又因为长边大于短边，所以m＞1，所以该三角形中最长边与最短边的比值m的取值范围是（，1，2）．
故答案为：（1，2）．
30．如图，在△ABC中，，点D在线段AC上，且AD＝2DC，BD＝3，则△ABC面积的最大值为 ．
【分析】利用向量的知识，将用表示出来，结合∠B＝，BD＝3，利用向量模的计算方法，结合基本不等式求出BA•BC的最大值即可．
【解答】解：由题意，设，，且＝，
因为点D在线段AC上，且AD＝2DC，故，
则3＝＝＝
＝≥＝，（当且仅当b＝2a时取等号），
即，取等号时，故．故答案为：．
31．已知D是△ABC的边BC上一点，且，AD＝2，，则AC+2AB的最大值为 ．
【分析】如图，作出辅助线BM后，在三角形ABM中，利用余弦定理表示出AM，然后结合基本不等式求解即可，属于中档题．
【解答】解：设AB＝c，AC＝b，如图：过B作AC的平行线，与AD的延长线交于点M，
易知＝，故，AM＝3，且，所以，
在△ABM中，由余弦定理得：AM2＝BM2+AB2﹣2BM•AB•cs∠ABM，
即＝（）2
＝，当且仅当c＝时取等号，解得，
故AC+2AB＝b+2c．故答案为：．
32．如图，在△ABC中，D为BC的中点，O为AD的中点，E，F分别为线段AB，线段AC上的动点，且线段EF经过点O．
（1）若，AE＝AF＝3，，求AO；
（2）若△ABC的面积为4，求△AEF面积的最小值．
【分析】（1）根据条件将用表示出来，然后两边平方求解即可；
（2）结合E，O，F三点共线，将用利用参数λ，μ表示出来，结合已知的，找到λ，μ的关系，进而借助于基本不等式求得λμ的最小值，然后再找到△ABC，△AEF面积间的关系，最后借助于λμ的取值求得结论．
【解答】解：（1）易知，所以结合已知得＝7，
故；
（2）设，，由E，O，F三点共线，不妨令，
又因为，故，所以，解得4λμ＝λ+μ，
因为，所以，解得，当且仅当时，等号成立，
因为，所以，
故△AEF面积的最小值为1．
33．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cs2A，cs2B，cs2C成等差数列．
（Ⅰ）证明：2b2＝a2+c2；
（Ⅱ）若b＝4，csB＝，求△ABC的周长．
【分析】（1）先利用倍角公式将原式化为csA，csB，csC之间的关系，再将cs2A＝1﹣sin2A，cs2B＝1﹣sin2B，cs2C＝1﹣sin2C代入，即可得到sinA，sinB，sinC之间的关系，最后化边即可求解；
（2）结合余弦定理，求出a+c即可．
【解答】解：证明：（Ⅰ）由题意知：2cs2B＝cs2A+cs2C，即2（2cs2B﹣1）＝2cs2A﹣1+2cs2C﹣1，
将cs2A＝1﹣sin2A，cs2B＝1﹣sin2B，cs2C＝1﹣sin2C代入上式得：2sin2B＝sin2A+sin2C，
结合正弦定理得：2b2＝a2+c2；
（Ⅱ）因为b＝4，结合（1）的结论得：a2+c2＝2b2＝32……①，
又，所以16＝a2+c2﹣2accsB＝……②，
由②得ac＝，所以（a+c）2＝a2+c2+2ac＝49，故a+c＝7，所以△ABC的周长为a+b+c＝11．
34．第31届世界大学生夏季运动会，是继2001年北京大运会、2011年深圳大运会之后，中国大陆第三次举办世界大学生夏季运动会，也是中国西部第一次举办世界性综合运动会．共设篮球、排球、田径、游泳等18个体育项目．届时将有来自约170个国家和地区的1万余名运动员及官员赴蓉参加．现某学校决定将一个直角三角形的空地划分为多个部分，为该校运动员打造一个训练场地．已知直角△ABC中，∠ABC＝90°，∠BCA＝30°，BC＝200m．经过全校海选后，现有以下两种设计方案：①如图1，在△ABC内部取一点T，使得TB＝TA，；②如图2，在斜边AC上P，Q取两点P，Q，且．
（Ⅰ）求方案①中折线跑道TA，TB，TC的长度之和；
（Ⅱ）求方案②中训练场地△PBQ的面积的取值范围．
【分析】（Ⅰ）先利用三角函数的定义求出AB、TA，TB，再利用余弦定理求出TC，则周长可求；
（Ⅱ）设∠QBA＝α，再用α表示出∠PBC，然后借助于余弦定理、面积公式将△PBQ的面积用α表示出来，求三角函数的值域即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵∠ABC＝90°，∠BCA＝30°，BC＝200m，∴AB＝BCtan30°＝，
又TB＝TA，∠BTA＝120°，∴∠TBC＝60°，TA＝，
∴TC2＝BC2+BT2﹣2BC•BTcs60°＝2002+（）2﹣2×200×（）×＝（）2，
∴，故跑道TA，TB，TC的长度之和为米．
（Ⅱ）设∠QBA＝α，则，由（Ⅰ）得：BA＝，AC＝，
∴在△QBA中，，∴，
在△PBC中，，∴，
∴＝
＝，∵，故，
∴，故训练场地面积的取值范围是[，]．
35．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cs2C﹣sin2B﹣cs2A＝sinCsinB．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝，求△ABC周长的取值范围．
【分析】（1）先由平方关系将已知条件化正弦，再利用正弦定理化边，最后结合余弦定理求角；
（2）显然b+c＞a＝3，求出周长的下界，然后利用余弦定理和基本不等式求出b+c的最大值，则问题可解．
【解答】解：（1）因为cs2C﹣sin2B﹣cs2A＝sinCsinB，所以1﹣sin2C﹣sin2B﹣（1﹣sin2A）＝sinCsinB，
故sin2C+sin2B﹣sin2A＝﹣sinCsinB，即b2+c2﹣a2＝﹣bc，故csA＝，结合A∈（0，π），
故A＝．
（2）因为，a＝，显然b+c＞a＝，即a+b+c，
由余弦定理得＝（b+c）2﹣bc，
解得b+c≤2，故a+b+c≤2，综上可知，三角形ABC的周长的取值范围是（2，2]．
36．拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑•波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”．在△ABC中，已知∠ACB＝30°，且，现以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A'，B'，C'，则△A'B'C'的面积最大值为 ．
【分析】设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，连接A'C，B'C，则∠A'CB'＝90°，由等边三角形的性质可求出A'C，B'C，从而可求出A'B'，在△ABC中，利用余弦定理结合基本不等式可得a2+b2≤4，从而可求出△A'B'C'的面积最大值．
【解答】解：设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
连接A'C，B'C，则由题设得，∠A'CB'＝90°，
因为以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A'，B'，C'，
所以＝，，所以A′B′＝，
在△ABC中，由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2abcs30°，即，
又，所以，即a2+b2≤4（等号当时成立），
又△A'B'C'为等边三角形，故．故答案为：．
七．解三角形
37．如图，测量河对岸的塔高AB，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C和D．现测得∠BCD＝75°，∠BDC＝45°，CD＝50米，在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB为（ ）米．
A．50B．100C．50D．25
【分析】先在△BCD中利用正弦定理求出BC的长度，然后在△ABC中利用三角函数的定义求出AB．
【解答】解：如图：由已知∠BCD＝75°，∠BDC＝45°，CD＝50米，
故∠CBD＝60°，所以，即，解得BC＝，
所以在Rt△ABC中，AB＝BC•tan∠ACB＝．故选：A．
38．南山中学红豆园内的红豆树已有百年历史．百年红豆树，十年树一花．时光流转，红豆花开，读书爱国的气息随这花开风起．如图，小明为了测量红豆树高度，他在正西方向选取与红豆树根部C在同一水平面的A、B两点，在A点测得红豆树根部C在西偏北30°的方向上，步行40米到B处，测得树根部C在西偏北75°的方向上，树梢D的仰角为30°，则红豆树的高度为（ ）
A．米B．米C．米D．米
【分析】根据图形，在△ABC中利用正弦定理求得BC的值，在Rt△BCD中求出CD的值．
【解答】解：根据图形知，
△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°﹣30°＝45°，AB＝40，
由正弦定理得，＝，解得BC＝＝20，在Rt△BCD中，∠BDC＝30°，
所以CD＝BCtan30°＝20×＝，所以红豆树的高度为千米．故选：D．
39．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量＝（a+b，sinC），＝（a+c，sinB﹣sinA）．若∥，b＝2，则△ABC的面积的最大值为 2 ．
【分析】先根据已知条件求出∠B，然后结合基本不等式利用余弦定理求出ac的最大值，则最大面积可解．
【解答】解：由向量＝（a+b，sinC），＝（a+c，sinB﹣sinA），且∥，
可得（a+b）（sinB﹣sinA）＝sinC（），
由正弦定理得：，即，
所以csB＝＝﹣，显然sinB＝，
又b＝2，故4＝a2+c2﹣2accsB，当且仅当a＝c时取等号，
所以ac＝，故S△ABC＝．故答案为：2﹣．
40．在△ABC中，acsB+b＝c，b＝2．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）从下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求BC边上的高．
条件①：sinB＝；条件②：csB＝﹣；条件③：△ABC的面积为．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【分析】（1）方法一：利用正弦定理与三角形内角和定理，即可求出A的值．
方法二：利用余弦定理结合题意即可求得A的值．
（2）选条件①，根据题意求出B和C的值，再计算BC边上的高线长．
选条件②，可以判断A+B＞180°，条件不成立．
选条件③：根据三角形的面积计算c的值，再利用余弦定理求出a，从而求出BC边上的高线．
【解答】解：（1）方法一：在△ABC中，acsB+b＝c，由正弦定理可得sinAcsB+sinB＝sinC．
因为A+B+C＝π，所以sinC＝sin（A+B）＝sinAcsB+csAsinB．所以sinB＝csAsinB．
在△ABC中，sinB≠0，所以csA＝，所以A＝60°．
方法二：在△ABC中，acs B+b＝c，
由余弦定理csB＝，可得+＝c，整理得c2+b2﹣a2＝bc，
所以csA＝，解得A＝60°．
（2）选条件①：由（1）知0°＜B＜120°，
在△ABC中，sinB＝，B∈（0°，180°），所以B＝45°．因为A+B+C＝π，所以C＝75°，
所以sinC＝sin（45°+30°）＝sin45°cs30°+cs45°sin30°＝，
设BC边上高线的长为h，则h＝bsinC＝2×．
选条件②，csB＝﹣＜﹣，所以B＞120°，因为A＝60°，所以A+B＞180°，条件不成立．
选条件③：因为S△ABC＝bc sin A＝csin60°＝，所以c＝1+，
由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cs A＝4+4+2﹣2×2×（1+）cs60°＝6，所以a＝．
设BC边上高线的长为h，则h＝．
八．复数的运算
41．已知△ABC的顶点坐标分别为A（a，4），B（0，b），C（c，0）．若虚数x＝2+ai（a＞0）是实系数一元二次方程x2﹣cx+5＝0的根．
（1）求点A、C的坐标；
（2）若∠A是钝角，求b的取值范围．
【分析】（1）根据韦达定理列出方程组，求出点A、C的坐标；
（2）利用平面向量数量积的坐标运算列不等式求解，除去三点共线的情况．
【解答】解：（1）若虚数x＝2+ai（a＞0）是实系数一元二次方程x2﹣cx+5＝0的根，
则x＝2﹣ai也是方程的根，则，即，
又a＞0，∴a＝1，c＝4，点A、C的坐标为A（1，4），C（4，0）；
（2）∠A是钝角，则•＜0，即（﹣1，b﹣4）•（3，﹣4）＝﹣3﹣4（b﹣4）＜0，解得b＞，
又，可得b≠，故b的取值范围为（，）∪（，+∞）．
九．共轭复数
42．以下数都在复数范围内
（1）如果a+bi＝1﹣2i，则a＝1，b＝﹣2；
（2）；
（3）；
（4）若，则z＝z1＝z2．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】由题意，利用复数的运算法则，复数的模的定义和性质，得出结论．
【解答】解：（1）如果a+bi＝1﹣2i，则a＝1，b＝﹣2，不正确，因为题中没有说明a、b为实数．
（2）不正确，因为等式的左边是非负实数，右边不一定是实数．
（3），正确，因为左右两边都等于|z1•z2|的平方．
（4）若，则不一定有z＝z1＝z2，例如：当z＝i，z1＝0，z2＝1+i 时，
故（4）不正确，故选：B．
一十．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
43．圆锥的表面积是底面积的4倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（ ）
A．120°B．135°C．150°D．180°
【分析】根据题意求出母线与底面圆半径的比例，计算底面圆周长与母线长的比即可．
【解答】解：设扇形的母线为l，底面半径为r，所以圆锥的底面周长为2πr，由题意圆锥的侧面积为×2πrl＝πrl，圆锥的底面面积为πr2，因为圆锥的表面积是底面积的4倍，所以πrl+πr2＝4πr2，解得l＝3r，
所以该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为＝＝120°．故选：A．
一十一．棱柱、棱锥、棱台的体积
44．设A，B，C，D是同一个半径为2的球的球面上四点，△ABC是以为BC底边的等腰三角形，且面积为，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由题意求出等腰△ABC的腰长AB，画出图形，判断D的位置，然后求解三棱锥D﹣ABC高的最大值，代入棱锥体积公式即可求解．
【解答】解：△ABC为等腰三角形且面积为，∠BAC＝120°，可得•AB2•sin120°＝，解得AB＝，设球心为O，△ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点时三棱锥体积最大，
如图所示：△ABC外接圆的半径为O′A＝×＝，OO′＝＝＝1，
且三棱锥D﹣ABC高的最大值为O′O+OD＝3，所以三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：V＝S△ABC•O′D＝××3＝．故选：D．
45．已知圆锥底面半径为1，母线长为3，该圆锥内接正方体的体积为 ．
【分析】作出圆锥过正方体AC1的对角面AA1C1C的轴截面，利用相似三角形求出圆锥的内接正方体的棱长，即可计算正方体的体积．
【解答】解：作出几何体的轴截面，如图所示：
由圆锥的底面半径为r＝1，母线长为l＝3，所以圆锥的高为h＝＝2，设正方体的棱长为a，
由轴截面得，＝，解得a＝＝，所以该正方体的体积为a3＝＝．
故答案为：．
一十二．平面图形的直观图
46．如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′＝2，则这个平面图形的面积是（ ）
A．B．1C．D．
【分析】根据所给的直观图是一个等腰直角三角形且斜边长是2，得到直角三角形的直角边长，做出直观图的面积，根据平面图形的面积是直观图的2倍，得到结果．
【解答】解：∵Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图，斜边O'B'＝2，∴直角三角形的直角边长是，
∴直角三角形的面积是，∴原平面图形的面积是1×2＝2故选：D．
47．△ABC为边长为2cm的正三角形，则其水平放置（斜二测画法）的直观图的面积为 ，其直观图的周长为 2+ ．
【分析】画出正△ABC和水平放置的直观图△A′B′C′，计算它的面积与周长即可．
【解答】解：如图所示，△ABC为边长为2cm的正三角形，则其水平放置的直观图△A′B′C′的面积为
S△A′B′C′＝•B′C′•O′A′•sin45°＝×2×（×2×sin60°）×sin45°＝；其直观图△A′B′C′的周长为L＝A′B′+B′C′+C′A′＝
+2+＝（+）+2+（﹣）＝2+．故答案为：，2+．
一十三．空间中直线与平面之间的位置关系
48．在空间中，a，b是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列条件中可推出a∥b的是（ ）
A．a⊂α，b⊂β，α∥βB．a∥α，b⊂β
C．a⊥α，b⊥αD．a⊥α，b⊂α
【分析】A中，根据面面平行的几何特征，可判断出与b没有公共点，但a与b可能平行或异面
B中，根据线面平行的几何特征，可判断出与b没有公共点，但a与b可能平行或异面
C中，根据线面垂直的性质定理可得a∥b
D中，根据线面垂直的定义可得a⊥b
【解答】解：对于A，若a⊂α，b⊂β，α∥β，则a与b没有公共点，即a与b平行或异面；
对于B，若a∥α，b⊂α，则a与b没有公共点，即a与b平行或异面；
对于C，若a⊥α，b⊥α，由线面垂直的性质定理，可得a∥b；
对于D，若a⊥α，b⊂α，则由线面垂直的定义可得a⊥b；故选：C．
一十四．平面与平面垂直
49．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是（ ）
A．平面PAB⊥平面PADB．平面PAB⊥平面PBC
C．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面PAD
【分析】利用面面垂直的判定定理，对四个选项分别分析选择．
【解答】解：对于A，因为已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，
所以PA⊥AB，又AB⊥AD，AB⊥平面PAD，所以平面PAB⊥平面PAD，故A正确；
对于B，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，
所以PA⊥BC又BC⊥AB，所以BC⊥平面PAB，所以平面PAB⊥平面PBC，故B正确；
对于D，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，所以PA⊥CD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，故D正确；故选：C．
一十五．互斥事件与对立事件
50．下列叙述正确的是（ ）
A．互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
B．若事件A发生的概率为P（A），则0≤P（A）≤1
C．频率是稳定的，概率是随机的
D．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小
【分析】根据概率的基本概念，逐一分析四个答案结论的真假，可得答案．
【解答】解：互斥事件可能是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故A错误；
若随机事件A发生的概率为P（A），则0≤P（A）≤1，故B正确；
频率是随机的，概率是稳定的，故C错误；
5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，两个人抽到有奖奖券的可能性相等，故D错误；故选：B．
一十六．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式
51．某同学从家到学校要经过三个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，该同学在各路口遇到红灯的概率分别为，则该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】事件”该同学从家到学校至少遇到一次红灯“的对立事件是事件”该同学从家到学校没有遇到红灯“，先求对立事件的概率即可．
【解答】解：事件”该同学从家到学校至少遇到一次红灯“的对立事件是事件”该同学从家到学校没有遇到红灯“，事件”该同学从家到学校没有遇到红灯“的概率P＝（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）＝，
故事件”该同学从家到学校至少遇到一次红灯“的概率为，故选：D．
52．抛掷一枚硬币出现正面或反面，记事件A表示“出现正面”，事件B表示“出现反面”，则有（ ）
A．A与B相互独立B．P（AB）＝P（A）•P（B）
C．A与不相互独立D．P（AB）＝
【分析】根据相互独立事件和互斥事件的概念可得．
【解答】解：因为不可能同时发生的两个事件是互斥事件；事件A（或B）是否发生对事件B（或A）的发生的概率没有影响，则称这两个事件是相互独立事件，故A与B不相互独立，A，B，D不正确，故选：C．
一十七．频率分布直方图
（多选）53．2021年4月至2021年12月我国规模以上工业天然气产量保持平稳，日均产量（亿立方米）与当月增速（%）如图所示，则（ ）
备注：日均产品产量是以当月公布的我国规模以上工业企业总产量除以该月日历天数计算得到．
当月增速＝．
A．2021年8月至12月我国规模以上工业天然气日均产量持续上升
B．2021年当月增速最大的是12月
C．2021年4月至12月我国规模以上工业天然气日均产量的中位数为5.4亿立方米
D．2020年4月我国规模以上工业天然气产量约为157亿立方米
【分析】对于选项A，由条形图可直接判断；对于选项B，由折线图可直接判断；
对于选项C，结合条形图，将天然气日均产量从小到大排序，从而得到中位数即可；
对于选项D，由条形图及折线图，结合公式求解即可．
【解答】解：对于选项A，由条形图可知，2021年8月至12月我国规模以上工业天然气日均产量持续上升，故正确；对于选项B，由折线图可知，2021年当月增速最大的是6月，故错误；
对于选项C，由条形图可知，2021年4月至12月我国规模以上工业天然气日均产量从小到大排序为，
5.1，5.1，5.2，5.3，5.4，5.6，5.7，5.9，6.2；故2021年4月至12月我国规模以上工业天然气日均产量的中位数为5.4亿立方米，故正确；对于选项D，由条形图及折线图可知，
设2020年4月我国规模以上工业天然气产量为x亿立方米，则＝7%，解得x≈157，故正确；
故选：ACD．
（多选）54．2022年，是中国共产主义青年团成立100周年．为庆祝建团100周年，某中学全体学生参加了主题为“赓续红色血脉•争当青春先锋”的知识竞赛，随机抽取了若干名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．直方图中x的值为0.030
B．成绩在区间[90，100）内的学生最多
C．估计全校学生的平均成绩为84分
D．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分
【分析】对于选项A，由频率分布直方图的面积之和为1列方程求解即可；
对于选项B，区间[90，100）所对应的矩形最高，从而判断；
对于选项C，利用加权平均数求样本平均数，从而估计全校学生的平均成绩；
对于选项D，利用百分位数的定义求值即可．
【解答】解：由频率分布直方图可得，（0.005+0.010+0.015+x+0.040）×10＝1，解得x＝0.03，故选项A正确；频率分布直方图可知，区间[90，100）所对应的矩形最高，故在被抽取的学生中，成绩在区间[90，100）的学生数为最多，故选项B正确；估计全校学生的平均成绩为55×0.05+65×0.1+75×0.15+85×0.3+95×0.4＝84（分），故选项C正确；全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为（分），故选项D错误．故选：ABC．
55．某校有高中生3600人，其中男女生比例约为5：4，为了获得该校全体高中生的身高信息，采取了以下两种方案：
方案一：采用比例分配的分层随机抽样方法，抽取了样本容量为n的样本，得到频数分布表和频率分布直方图．
方案二：按照性别分类进行简单随机抽样，抽取了男、女生样本容量均为25的样本，计算得到男生样本的均值为172，方差为16，女生样本的均值为160，方差为20．
（1）根据图表信息，求n，q的值并补充完整频率分布直方图，估计该校高中生的身高均值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）
（2）计算方案二总样本的均值及方差；
（3）你觉得是用方案一还是方案二总样本的均值作为总体均值的估计比较合适？（说明理由）
【分析】（1）由频数分布表及频率分布直方图先求n，再求q即可；
根据频数分布表求区间[165，175）、[175，185）的频率，从而补充完整频率分布直方图即可；
结合频率分布直方图求样本的身高均值，从而估计该校高中生的身高均值；
（2）男生样本记为x1，x2，…，x25，其均值记为，方差记为；女生样本记为y1，y2，…，y25，其均值记为，方差记为，从而求总样本均值及方差；
（3）由分层抽样的定义判断即可．
【解答】解：（1）因为身高在区间[155，165）的频率为0.040×10＝0.4，频数20，
所以n＝＝50，q＝50﹣4﹣20﹣6﹣4＝16，所以身高在区间[165，175）的频率为，
在区间[175，185）的频率为，由此可补充完整频率分布直方图：
由频率分布直方图可知，样本的身高均值为：
150×0.008×10+160×0.04×10+170×0.032×10+180×0.012×10+190×0.008×10
＝12+64+54.4+21.6+15.2＝167.2；估计该校高中生的身高均值为167.2cm；
（2）男生样本记为x1，x2，…，x25，其均值记为，方差记为；
女生样本记为y1，y2，…，y25，其均值记为，方差记为，
则总样本均值，
又因为，所以，
同理可得，
所以总样本方差
＝
＝
＝＝54；
（3）用方案一比较合适，因为方案一是按比例抽取样本，所以样本的代表性比较强，能够更好地反映总体的情况．
56．某市在疫情期间，便民社区成立了由网格员、医疗人员、志愿者组成的采样组，并上门进行，核酸检测，某网格员对该社区需要上门核酸检测服务的老年人的年龄（单位：岁）进行了统计调查，将得到的数据进行适当分组后（每组为左开右闭区间），得到的频率分布直方图如图所示．
（1）求m的值，并估计需要上门核酸检测服务的老年人的年龄的平均数；（精确到1，同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）
（2）在年龄处于（70，90]的老人中，用分层随机抽样的方法选取9人，再从9人中随机选取2人，求2人中恰有1人年龄超过需要上门核酸检测服务的老年人的平均年龄的概率．
【分析】（1）由面积和为1得m×10+0.032×10+0.040×10+0.012×10＝1，从而解m；进一步求平均数即可；
（2）由题意先确定在（70，80]，（80，90]的老人中分别抽取4人，5人，再利用古典概率模型求概率即可．
【解答】解：（1）由图可得，m×10+0.032×10+0.040×10+0.012×10＝1，解得m＝0.016；
估计需要上门核酸检测服务的老年人的年龄的平均数为，
65×0.016+×1075×0.032×10+85×0.04×10+95×0.012×10＝79.8≈80（岁）；
（2）∵（70，80]，（80，90]两组的人数之比为0.032：0.040＝4：5，
∴在（70，80]，（80，90]的老人中分别抽取4人，5人，
分别记为a1，a2，a3，a4，b1，b2，b3，b4，b5，从9人中随机选取2人，
样本空间Ω＝{（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a1，b5），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4），（a2，b5），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a3，b3），（a3，b4），（a3，b5），（a4，b1），（a4，b2），（a4，b3），（a4，b4），（a4，b5），（b1，b2），（b1，b3），（b1，b4），（b1，b5），（b2，b3），（b2，b4），（b2，b5），（b3，b4），（b3，b5），（b4，b5）}，共有36个样本点，
恰有一人年龄超过80岁，即恰有一人年龄在（80，90]，令“恰有一人年龄在（80，90]”为事件B，
则B＝{（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a1，b5），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），
（a2，b4），（a2，b5），（a3，b1），（a3，b2），（a3，b3），（a3，b4），（a3，b5），（a4，b1），
（a4，b2），（a4，b3），（a4，b4），（a4，b5）}，共有20个样本点，故P（B）＝＝．
一十八．众数、中位数、平均数
（多选）57．已知两组数据，第一组x1，x2，…，x7和第二组y1，y2，…，y7，y8，其中xi＝yi（i＝1，2，⋅⋅⋅，7），，第一组数据不全相同，则这两组数据相比，下列说法正确的是（ ）
A．平均数一定相等
B．中位数一定相等
C．极差一定相等
D．第一组数据的方差大于第二组数据的方差
【分析】对于选项A，记第一组x1，x2，…，x7的平均数为，记第二组y1，y2，…，y7，y8的平均数为，利用平均数公式化简即可判断；
对于选项B，举反例第一组为1，1，1，1，3，3，4；第二组为1，1，1，1，3，3，4，2；从而判断；
对于选项C，易知第一组数据与第二组数据的最大值与最小值相同，从而判断；
对于选项D，分别求两组数据的方差，从而化简比较大小．
【解答】解：对于选项A，记第一组x1，x2，…，x7的平均数为，记第二组y1，y2，…，y7，y8的平均数为，则＝•xi，＝•yi＝•（yi+y8），∵xi＝yi（i＝1，2，⋅⋅⋅，7），，
∴＝•（yi+y8）＝•（7+）＝，故正确；对于选项B，若第一组为1，1，1，1，3，3，4；
则第二组为1，1，1，1，3，3，4，2；故第一组的中位数为1，第二组的中位数为＝1.5；故错误；
对于选项C，由题意知，第一组数据与第二组数据的最大值与最小值相同，故两组数据的极差一定相等，故正确；对于选项D，第一组数据的方差S12＝•（xi﹣）2，第一组数据的方差S22＝•（yi﹣）2＝•[（yi﹣）2+（y8﹣）2]＝•（xi﹣）2＜•（xi﹣）2；故正确；故选：ACD．
一十九．极差、方差与标准差
58．一组实数x1，x2，…，x40的平均数为3，方差为10；另一组实数y1，y2，…，y60的平均数为8，方差为10．则这100个实数的平均数为 6 ，方差为 16 ．
【分析】根据分层抽样的平均数和方差公式计算即可．
【解答】解：因为实数x1，x2，…，x40的平均数为3，方差为10；实数y1，y2，…，y60的平均数为8，方差为10．所以这100个实数的平均数为×（40×3+60×8）＝6，
方差为×[10+（3﹣6）2]+×[10+（8﹣6）2]＝16．故答案为：6；16．
二十．百分位数
59．以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：（单位：分）
78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91．
则这15人成绩的第80百分位数是（ ）
A．90B．91.5C．91D．90.5
【分析】把该组数据从小到大排列，计算15×80%＝12，从而找出对应的第80百分位数．
【解答】解：该组数据从小到大排列为：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98．且15×80%＝12，所以这15人成绩的第80百分位数是×（90+91）＝90.5．故选：D．
60．某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单位：cm）：
152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，x，174，175．若样本数据的第90百分位数是173，则x的值为 172 ．
【分析】了解百分位数的定义
【解答】解：百分位数的意义就在于，我们可以了解的某一个样本在整个样本集合中所处的位置，本题第90百分位数是173，即比173小的数据占90%，故答案为：172．身高（单位：cm）
[145，155）
[155，165）
[165，175）
[175，185）
[185，195]
频数
4
20
q
6
4