2025年人教A版高中数学必修二 高一下期末复习分类训练（基础题专练）（2份，原卷版+解析版）

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1．设，是平面内不共线的两个向量，已知，，，若A，B，D三点共线且互不重合，则k＝（ ）
A．2B．﹣3C．3D．4
二．向量的三角形法则
2．如图，向量＝，＝，＝，则向量可以表示为（ ）
A．+﹣B．﹣+C．﹣+D．﹣﹣
三．向量加减混合运算
3．+﹣+＝ ．
四．向量数乘和线性运算
4．如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若＝λ+μ，则λ+μ＝（ ）
A．2B．C．D．
五．平面向量数量积的性质及其运算
5．已知，是单位向量，且|+|＝，则向量与的夹角为 ．
六．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
6．平面向量，的夹角为60°，若||＝2，||＝1，则|﹣2|＝ ．
七．投影向量
7．向量，，则在上的投影向量为（ ）
A．（2，0）B．（0，2）C．（﹣3，0）D．（0，﹣3）
八．平面向量的基本定理
8．在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD上的点，，，，，则＝（ ）
A．B．C．D．
九．平面向量的坐标运算
9．在平面直角坐标系中，若点A（0，1），B（﹣1，2），则的坐标为（ ）
A．（﹣1，1）B．（1，1）C．（﹣1，2）D．（﹣1，3）
一十．平面向量共线（平行）的坐标表示
10．已知向量与方向相同，则实数λ的值为（ ）
A．﹣2或1B．﹣1C．﹣2D．1
一十一．数量积表示两个向量的夹角
11．已知，是单位向量，若，则，的夹角是（ ）
A．B．C．D．
一十二．数量积判断两个平面向量的垂直关系
12．已知平面向量​，若​，则实数x＝​（ ）
A．2B．﹣2​C．​D．​
一十三．向量在物理中的应用
13．已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为，那么的大小为（ ）
A．5NB．C．D．10N
一十四．平面向量的综合题
14．已知平面向量与的夹角为30°，则的最大值为（ ）
A．B．2C．4D．8
一十五．正弦定理
15．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若acsB＝bsinA，，，则b＝（ ）
A．B．C．D．
一十六．余弦定理
16．已知三角形的三边满足条件，则∠A＝（ ）
A．120°B．45°C．60°D．30°
一十七．三角形中的几何计算
17．已知Rt△ABC，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n
（1）若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB；
（2）若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度（用m，n表示）
一十八．解三角形
18．一艘船航行到点A处时，测得灯塔C与其相距30海里，如图所示．随后该船以20海里/小时的速度，沿直线向东南方向航行1小时后到达点B，测得灯塔C在其北偏东25°方向，则sin∠ACB＝（ ）
A．sin 70°B．sin 75°C．cs 70°D．
一十九．虚数单位i、复数
19．复数z＝2﹣i（i是虚数单位）的虚部为（ ）
A．﹣iB．iC．﹣1D．2
二十．复数的代数表示法及其几何意义
20．在复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
二十一．纯虚数
21．已知i为虚数单位，若复数z＝m2﹣5m﹣6+4i为纯虚数，则实数m＝（ ）
A．﹣1或6B．2或3C．2D．6
二十二．复数的运算
22．计算复数＝ ．
二十三．共轭复数
23．若复数z满足i•z＝3﹣4i，则||＝ ．
二十四．复数的模
24．已知i为虚数单位，复数z满足|z﹣2i|＝1，则|z|的最大值为（ ）
A．1B．C．2D．3
二十五．复数的三角表示
25．任意复数z＝a+bi（a，b∈R，i为虚数单位）都可以写成z＝r（csθ+isinθ）的形式，其中r＝，（0≤θ＜2π）该形式为复数的三角形式，其中θ称为复数的辐角主值．若复数z＝+i，则z的辐角主值为（ ）
A．B．C．D．
二十六．棱柱的结构特征
26．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为棱BB1的中点，则经过A1，D，E三点的正方体的截面面积为（ ）
A．B．C．D．
二十七．棱台的结构特征
27．木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块ABCD﹣A1B1C1D1时，为了经过木料表面CDD1C1内一点P和棱AA1将木料平整锯开，需要在木料表面CDD1C1过点P画直线l，则l满足 ．（选出你认为正确的全部结论）①l∥AA1；②l∥BB1；③l与直线AA1相交；④l与直线BB1相交．
二十八．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
28．已知某圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为（ ）
A．6πB．4πC．2πD．π
二十九．简单组合体的结构特征
29．唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图2）．假设内壁表面光滑，其内壁表面积为S平方厘米，半球的半径为R厘米．当这种酒杯内壁表面积S为定值时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R的取值范围为（ ）
A．（0，]B．[，+∞）C．[，）D．（，]
三十．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
30．已知某圆锥的高为3，底面半径为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．πB．2πC．2πD．6π
三十一．棱柱、棱锥、棱台的体积
31．将一个圆锥的高变为原来的，底面半径变为原来的2倍，则所得圆锥的体积（ ）
A．变为原来的一半B．变为原来的
C．不变D．变为原来的2倍
三十二．球的体积和表面积
32．阿基米德（Archimedes，公元前287年——公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家．他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球（如图所示），该球与圆柱的两个底面及侧面均相切，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为36π，则圆柱的体积为（ ）
A．36πB．45πC．54πD．63π
三十三．平面图形的直观图
33．如图所示，在四边形OABC中，OA＝2，，BC＝3，OA⊥AB且OA∥BC，则四边形OABC水平放置时，用斜二测画法得到的直观图面积为（ ）
A．B．5C．D．
三十四．斜二测法画直观图
34．若水平放置的四边形AOBC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中A'C'∥O'B'，A'C'⊥B'C'，A'C'＝1，O'B'＝2，则原四边形中AO的长度为（ ）
A．B．C．2D．
三十五．平面的基本性质及推论
35．已知正三棱锥P﹣ABC，底面边长为3，高为1，四边形EFGH为正三棱锥P﹣ABC的一个截面，若截面为平行四边形，则四边形EFGH面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
三十六．异面直线及其所成的角
36．已知四面体ABCD的所有棱长均为2，M，N分别为棱AD，BC的中点，F为棱AB上异于A，B的动点．有下列结论：
①若点G为线段MN上的动点，则无论点F与G如何运动，直线FG与直线CD都是异面直线；
②线段MN的长度为；
③异面直线MN和CD所成的角为；
④FM+FN的最小值为2．
其中正确的结论为（ ）
A．①④B．①③④C．②③D．②③④
三十七．异面直线的判定
37．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与棱AA1异面的棱有（ ）
A．8条B．6条C．4条D．2条
三十八．空间中直线与直线之间的位置关系
38．如图，两个正方形ABCD，ADEF不在同一个平面内，点P，Q分别为线段EF，CD的中点，则直线FQ与PB的关系是（ ）
A．相交B．平行C．异面D．不确定
三十九．空间中直线与平面之间的位置关系
39．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若m∥n，m∥α，则n∥αB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
C．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
四十．直线与平面平行
40．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，CD∥AB且CD＝2AB，PA⊥PC，M为PC中点．
（1）求证：BM∥平面PAD；
（2）求证：PA⊥平面PCD．
四十一．直线与平面垂直
41．如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C、D的点．
（1）证明：DM⊥平面BMC；
（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．
四十二．平面与平面之间的位置关系
42．已知m，n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β；
④若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β．其中真命题是（ ）
A．①和②B．①和③C．③和④D．①和④
四十三．平面与平面平行
43．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N，P分别为AB，BC，B1C1的中点．
（1）求证：AC∥平面B1MN；
（2）求证：平面ACP∥平面B1MN．
四十四．平面与平面垂直
44．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面为菱形，AA1⊥底面ABCD，∠BAD＝120°，AB＝2，E，F分别为CD，AA1的中点．
（1）求证：DF∥平面B1AE；
（2）求证：平面B1AE⊥平面A1B1BA．
四十五．直线与平面所成的角
45．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
（1）求证：AB∥平面A1B1CD；
（2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角．
四十六．二面角的平面角及求法
46．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为棱BB1，BC的中点．
（1）证明：直线DN∥平面AMD1；
（2）设平面AMD1与平面ABCD的交线为l，求点M到直线l的距离及二面角D1﹣l﹣C的余弦值．
四十七．随机事件
47．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．在只装有5个红球的袋子中摸出1个球，是红球
B．在标准大气压下，水在1℃结冰
C．打开电视机，正在转播足球比赛
D．地球绕着太阳转
四十八．互斥事件与对立事件
（多选）48．某校高一（17）班有甲、乙、丙三名学生参加数学竞赛，记事件A为“三名学生都是女生”，事件B为“三名学生都是男生”，事件C为“三名学生至少有一名是男生”，事件D为“三名学生不都是女生”，则（ ）
A．B．事件A与事件B互斥
C．P（C）≠P（D）D．事件A与事件C对立
四十九．概率及其性质
（多选）49．记P（A），P（B）分别为事件A，B发生的概率，则下列结论中可能成立的有（ ）
A．P（AB）＝P（A）P（B）B．P（A+B）＝P（A）+P（B）
C．P（A+B）＜P（A）+P（B）D．P（A+B）＞P（A）+P（B）
五十．古典概型及其概率计算公式
50．从2到8的7个整数中随机取两个不同的数，则这两个数的和是质数的概率为（ ）
A．B．C．D．
五十一．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式
51．甲、乙两人进行羽毛球比赛，采取“三局两胜”制，即两人比赛过程中，谁先胜两局即结束比赛，先胜两局的是胜方，另一方是败方．根据以往的数据分析，每局比赛甲胜乙的概率均为，甲、乙比赛没有平局，且每局比赛是相互独立的．
（1）求比赛恰进行两局就结束的概率；
（2）求这场比赛甲获胜的概率．
五十二．n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
52．甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响．有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）．
（1）若选择方案一，求甲获胜的概率；
（2）用掷硬币的方式决定比赛方案，掷3枚硬币，若恰有2枚正面朝上，则选择方案一，否则选择方案二．判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由．
五十三．分布和频率分布表
53．有一个容量为100的样本，数据分组及各组的频数如下：[12，15），5；[15，18），17；[18，21），17；[21，24），23；[24，27），19；[27，30），11；[30，33]，8．则样本数据落在[21，30）内的频率为 ．
五十四．频率分布直方图
54．“垃圾分类”相关管理条例的出台，最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善垃圾资源环境．某部门在某小区年龄处于[20，45]岁的人中随机地抽取x人，进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查，并把达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”，得到如图所示各年龄段人数的频率分布直方图和表中的统计数据．
（1）求x、y、z的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这x人年龄的平均值（同一组数据用该区间的中点值代替，结果按四舍五入保留整数）；
（3）从年龄段在[25，35]的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取9人进行专访，并在这9人中选取2人作为记录员，求选取的2名记录员中至少有一人年龄在[30，35]中的概率．
五十五．频率分布折线图、密度曲线
55．“学习强国”平台设立了“助农”栏目实施对口扶贫，销售各种农产品．根据2021年全年某农产品的销售额（单位：万元）和该产品的销售额占总销售额的百分比，绘制出了如图所示的双层饼图，根据双层饼图（季度和月份后面标注的是销售额或销售额占总销售额的百分比），下列说法错误的是（ ）
A．第三季度的销售额为160万元
B．2月份的销售额为90万元
C．12个月的月销售额的众数为60万元
D．12个月的月销售额的极差为60万元
五十六．统计图表获取信息
56．2022年4月16号，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，为增强爱国主义教育、普及航天知识、传承中国航天精神，西青区某校特举行“致敬航天人，筑我中国梦”演讲比赛．在演讲比赛中，由9名专业人士和9名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，根据两个评委小组（记为小组A，小组B）对同一名选手打分的分值绘制成折线图，如图．
①小组A打分的分值的众数为47；
②小组B打分的分值第80百分位数为69；
③小组B打分的分值的均值小于小组A打分的分值的均值；
④小组A更像是由专业人士组成．
以上4个结论中正确的命题个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
五十七．众数、中位数、平均数
57．四名同学共掷骰子7次，分别记录每次骰子出现的点数，根据4名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）
A．平均数为4，中位数为4B．中位数为4，众数为3
C．平均数为3，方差为1D．中位数为3，方差为
五十八．极差、方差与标准差
58．已知数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为10，方差为2，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1，…，2xn﹣1的平均数为a，方差为b，则a+b＝ ．
五十九．用样本的数字特征估计总体的数字特征
59．白鹤是国家一级重点保护鸟类．我国境内的白鹤每年在鄱阳湖的越冬地与西伯利亚的繁殖地之间迁徙，莫莫格湿地是其迁徙途中重要的停歇地．2022年春季，某研究小组为统计莫莫格湿地停歇的白鹤数量，从该湿地随机选取了200只白鹤并做上标记后放回，一段时间后又从该湿地随机选取了200只白鹤，其中有12只白鹤具有标记，据此估计该湿地内白鹤的数量大致为（ ）
A．2500B．3300C．4000D．4300
六十．百分位数
60．2021年底，保山市举办第六届“彩云杯”优秀传统文化节系列活动，在说课大赛中，其中10位参赛教师的得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的60%分位数为（ ）
A．91B．91.5C．92D．92.5
组数
分组
“环保族”人数
占本组的频率
第一组
[20，25）
45
0.75
第二组
[25，30）
25
y
第三组
[30，35）
20
0.5
第四组
[35，40）
z
0.2
第五组
[40，45）
3
0.1