苏科版2025年新八年级数学暑假预习讲义第03讲1.3探索三角形全等的条件(四~六)(学生版+解析)

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1.如图，在▲ABC和▲DEF中，∠A=∠D，
∠B=∠E，BC=EF，那么这两个三角形全等吗？
解：全等。
证：∵∠A=∠D，∠B=∠E
∴∠C=∠F（三角形的内角和为180°）
在▲ABC和▲DEF中
∴▲ABC≌▲DEF（ASA）
通过自己实践后发现： 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 （简写成“ 角边角 ”或“ AAS ” ）
几何语言：
∵在△ABC和△DEF中，
AB＝DE，
∠B＝∠E，
∠C=∠F，
∴ △ABC ≌ △DEF（AAS）．
2.用∵、∴表述的有关推理过程也可以用符号⇒来表述。
如上面的推理过程也可这样表示
3.按下列作法,用直尺和圆规作三角形ABC，使AB=c，AC=b，BC=a
作法：
（1）作线段BC=a、
（2）分别以B、C为圆心，c、b的长为半径画弧，两弧相交于点A。
（3）连接AB、AC。
▲ABC是所求的三角形。
通过自己实践后发现： 三边分别相等的两个三角形全等 （简写成“ 边边边 ”或“ SSS ” ）
几何语言：
∵在△ABC和△DEF中，
AB＝DE，
BC=EF，
AC=DF，
∴ △ABC ≌ △DEF（SSS）．
【解惑】
例1：如图，已知，，垂足分别为，，，且，那么的理由是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据得到，结合已知证明即可．
【详解】∵，，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键．
例2：如图，，，．

(1)求证：．
(2)当，时，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)40°
【分析】（1）根据平行线的性质，利用三角形全等的判定定理即可证明；
（2）根据三角形全等的性质和平行线的性质即可求解
【详解】（1）解：∵，
∴，
又∵，，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握各知识点，利用好数形结合的思想是解本题的关键．
例3：用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是____（填，，，中的一种）．

【答案】
【分析】利用可证得，那么．
【详解】解：由作图知，
∴，
∴，所以利用的条件为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形“边边边”的判定以及全等三角形的对应角相等这个知识点，熟练掌握三角形全等的性质是解题的关键．
例4：如图，已知，，为上任意一点，过点作一条直线分别交，的延长线于点，．求证：．
【答案】见解析
【分析】先证明得到，再根据内错角相等，两直线平行得到，最后根据两直线平行，内错角相等即可证得结论．
【详解】证明：∵
，
，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和平行直线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
例5：如图，平分，，则图中的全等三角形有________对．
【答案】5
【分析】由平分推出，从而证明出，得到，，从而证明出，得到，从而证明出，得到，从而证明出，得到，从而证明出，即可得到答案．
【详解】解：平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
全等三角形共有5对，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的性质，全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应角相等，对应边相等．
【摩拳擦掌】
1．（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图，，且平分，则利用（ ）可说明与全等．

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据垂直的定义可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据定理即可得．
【详解】解：，
，
平分，
，
在和中，，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
2．（2022春·河南郑州·七年级郑州外国语中学校考期末）小明在学习了全等三角形的相关知识后，发现了一种测量距离的方法，如图，小明直立在河岸边的O处，他压低帽子帽沿，使视线通过帽沿，恰好落在河对岸的A处，然后转过身，保持和刷才完全一样的姿势，这时视线落在水平地面的B处（A，O，B三点在同一水平直线上），小明通过测量O，B之间的距离，即得到O，A之间的距离．小明这种方法的原理是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
3．（2023秋·八年级课时练习）如图，在和中，，，要利用“”证明，需增加的一个条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】证明三角形全等是通过证明两个三角形的三条边对应相等，已知两条边相等，还需增加第三条边相等即可．
【详解】解：∵，，
因此还需增加，
A：，无法证明，不符合题意；
B：，无法证明，不符合题意；
C：，可证得，符合题意；
D：，无法证明，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定方法，解题的关键正确理解 “”的判定方法．
4．（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图，根据全等三角形的对应角相等，可用尺规作等于已知，判定三角形全等的依据是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由作法易得，根据得到三角形全等．
【详解】解：如图，
连接，
∵在和中
∴，
∴（全等三角形的对应角相等）．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法的运用，熟练掌握三角形全等的判定方法是正确解答本题的关键．
5．（2022秋·七年级单元测试）如图，已知，，分别是和的高，则图中全等三角形共有_______对．

【答案】3
【分析】根据全等三角形的性质得出，根据高的定义求出，，根据推出两个三角形全等即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵分别是和的高，
∴，，
在和中，
，
∴，
同理，
除已知两三角形全等外，有，，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能正确运用定理进行推理是解此题的关键．
6．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，，，，于，，，则__．
【答案】0.8cm/cm
【分析】求出，求出，根据证，推出，，即可得出答案．
【详解】解：，，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，．全等三角形的对应边相等，对应角相等．
7．（2022秋·七年级单元测试）如图，是任意一个角，在，边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是平分线，此作法用的判定三角形全等的方法是_____用字母表示即可
【答案】
【分析】根据全等三角形的判定定理，即可得到答案．
【详解】∵角尺两边相同的刻度分别与，重合，
∴，
在和中，
，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．
8．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期中）已知，如图，，求证：
【答案】见详解
【分析】连接，证明即可求得答案．
【详解】证明：连接，如图所示，
∵，，，
∴，
∴；
【点睛】本题考查了几何问题，正确作出辅助线是解题关键．
9．（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，与交于点E，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】利用线段的和证明，再利用“边边边”即可证明结论．
【详解】，，
，
即BC=AD，
在和中，
（SSS）
【点睛】本题只要考查三角形全等的证明，解题关键是找到两个三角形的对应边或对应角的相等关系．
10．（2023·广东广州·广州市第八十九中学校考三模）如图，在四边形中，，，连接．求证．

【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质得到，利用即可证明．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是根据已知条件选择合适的判定方法．
11．（2023·云南曲靖·统考二模）如图，已知．求证：．

【答案】见解析
【分析】先根据平行线的性质得到，再利用即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
在与中，
，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
12．（2023·广东广州·广州四十七中校考三模）如图，平分，垂足分别为．求证：．

【答案】证明见解析
【分析】由题意知，，，，进而可证．
【详解】解：由题意知，，，
∵，，，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，垂线的定义，全等三角形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
【知不足】
1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，AD与BC交于点O，，添加一个条件后能使用“边角边”基本事实判定的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定对四个选项进行依次判定即可.
【详解】已知
A，时不构成全等的条件，故错误，不符题意；
B，时，在△AOC和△BOD中
∴(SAS)，使用了“边角边”，故符合题意；
C，时，在△AOC和△BOD中
∴(AAS)，使用了“角角边”，故不符合题意；
D，时，在△AOC和△BOD中
∴(ASA)，使用了“角边角”，故不符合题意，
故选B
【点睛】本题考查三角形全等的判定定理的应用，理解区分各种判定定理是关键．
2．（2023春·山东枣庄·八年级校考阶段练习）如图，在和中，，，，，三点在同一直线上，添加下列条件，不能判定的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定的方法，即可得到答案．
【详解】解：，
A、，满足的条件，能证明，不符合题意；
B、，不满足证明三角形全等的条件，符合题意；
C、，得到，满足，能证明，不符合题意；
D、，得到，满足，能证明，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的几种方法：．
3．（2023秋·辽宁铁岭·八年级统考期末）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明和，则这两个三角形全等的依据是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据尺规作图可得，再根据定理即可得．
【详解】解：由尺规作图可知，，
在和中，，
，
即这两个三角形全等的依据是，
故选：C．
【点睛】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图、三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
4．（2023春·全国·七年级专题练习）2022年10月12日某中学八年级（4）班的同学在听了“天宫课堂”第三课，即我国航天员在中国空间站进行的太空授课后，组成数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．康康所在的小组依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，E，F分别是，的中点，，那么的依据是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由E，F分别是，的中点，，得出；根据三边对应相等，证明．
【详解】∵E，F分别是，的中点，
∴
在与中
∴
故选：D
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
5．（2022秋·江苏徐州·八年级统考期中）如图，在中，分别是边上的点，过点作平行于的直线交的延长线于点．若，，，则的长是________．
【答案】3
【分析】证明，得出，即可得出答案．
【详解】解：，
，
在和中，
，
，
，
，
的长为3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
6．（2023春·山东青岛·八年级统考期中）如图，已知点B，E，F，C在同一条直线上，，，，若添加一个条件（不再添加新的字母）后，能判定与全等，则添加的条件可以是______（写出一个条件即可）．
【答案】或或
【分析】根据全等三角形的判定定理进行分析即可．
【详解】解：，
，
即，
又∵，，
，
∴当时，在和中，
，
∴；
当时，在和中，
，
∴；
当时，在和中，
，
∴．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定．题目是开放型题目，根据已知条件结合判定方法，找出所需条件，一般答案不唯一，只要符合要求即可．
7．（2022秋·江西宜春·八年级校考阶段练习）如图，请你仅用无刻度直尺作图．
(1)在图①中，画出三角形边上的中线；
(2)在图②中，找一格点D，使得．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）如图，连接即可；
（2）按如图所示，找到点D，连接即可．
【详解】（1）
（2）如图，即为所求；
【点睛】本题考查了作图，三角形中线的性质、全等三角形的判定方法，掌握中线的性质及全等三角形判定的方法是关键．
8．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知，点分别在上，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）直接根据证明即可．
（2）根据（1）得，然后证明即可．
【详解】（1）解： 证明：在和中，

∴ ．
（2）解：由（1）知，
∴ ，
在和中，

∴ ，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟记全等三角形的性质与判定是解题关键．
9．（2023·云南昆明·统考二模）如图，在中，，，于点E，且．求证：．

【答案】见解析
【分析】根据证明，再证明，利用“角角边”证明即可．
【详解】证明：，
，
，
，，
，
，
在与中，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的证明，证明是解题的关键．
10．（2023·湖北黄石·黄石十四中校联考模拟预测）如图，，垂足分别为D，E．

(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据垂直定义求出，根据等式性质求出，根据证明；
（2）根据全等三角形的对应边相等得到，再根据，即可解答．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明△ADC和全等的三个条件．
11．（2023秋·八年级单元测试）如图，在和中，，点在边上，，求证：．
【答案】见解析
【分析】利用同时加证出，利用
和三角形内角和可证出，进而就可证出．
【详解】证明：∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
【点睛】本题考查了三角形的全等判定，三角形的内角和等知识的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决此题的关键．
12．（2022秋·七年级单元测试）如图，已知点M是的中点，是过点M的一条直线，且，垂足分别为点E，F．
(1)试说明：；
(2)猜想与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)猜想：，理由见解析．
【分析】（1）由题意可得、，再结合运用即可证明结论；
（2）由题意可得，再根据可得，进而证明可得，然后根据线段的和差以及等量代换即可解答．
【详解】（1）解：∵点M是的中点，
∴，
∵，
∴．
在和中，
∴．
（2）解：猜想：．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵．
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、全等三角形的判定等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质定理是解答本题的关键．
13．（2023·四川南充·统考一模）如图，点A，D，B，E在同一直线上，． 求证：．
【答案】见解析
【分析】根据等式的性质可得，再利用平行线的性质可得，从而利用证明，然后利用全等三角形的性质即可解答．
【详解】证明：∵，
∴，即
∵，
∴
在和中
∵
∴，
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
14．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在四边形中，，，，垂足分别为E，F，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】先证明，再由平行线的性质得，利用即可证明．
【详解】证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识．熟练证明三角形全等是解题的关键．
【一览众山小】
1．（2022秋·海南海口·八年级校考期中）如图所示，，于点，交于点，且，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据ASA判定，由全等三角形的性质进行解答．
【详解】解：，
，
在与中，
，
，
故选项A、C、D正确，但不符合题意，
而不一定成立，故选项B符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
2.（2022秋·湖北宜昌·八年级校考期中）如图，有一块边长为4的正方形塑料模板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点F，与延长线交于点E．则四边形的面积是（ ）
A．4B．6C．10D．16
【答案】D
【分析】由四边形为正方形可以得到，，又，而由此可以推出，，进一步得到，所以根据可以证明，所以，那么，据此求解即可．
【详解】解：四边形为正方形，
，，
，
，
，，
，
，
，
∴，
即：．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正方形的面积等知识点，熟悉相关知识是解题的关键．
3．（2023春·七年级课时练习）如图，在中，平分交于点D，若，，则__________．
【答案】6
【分析】延长到E，使得，连接，可得，即可得，进而解题即可．
【详解】如图，延长到E，使得，连接，
则
又∵
∴
∵平分
∴
∵
∴
∴
∵
∴
解得：
故答案为：6．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．
4.（2023·山西吕梁·统考三模）已知：如图，点，在线段上，，，．求证：．

【答案】证明见解析
【分析】先证明，，结合，可得，再利用全等三角形的性质可得答案．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练的利用证明两个三角形全等是解本题的关键．
5．（2023春·上海·七年级专题练习）在中，，，直线经过点C，且于D，于E．
(1)当直线绕点C旋转到如下图所示的位置时，求证：①；②；
(2)当直线绕点C旋转到如下图所示的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明；
(3)当直线绕点C旋转到如图的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)
(3)
【分析】（1）①用证明即可；
②根据全等三角形的性质，得出，，进而得出；
（2）先证明，可得，，进而得出；
（3）先证明，可得，，进而得出．
【详解】（1）证明：①∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
∵ ，
∴；
②∵，
∴，，
∴．
（2）解：．
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴．
（3）解：．
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，垂线的定义，余角的性质．解题的关键熟练掌握三角形全等的条件，证明．
6．（2023秋·福建厦门·八年级统考期末）探究活动
（1）[知识回顾]如图，王芳不小心把一块三角形的玻璃打成三块碎片，现要配出与原来一样的玻璃，则应携带的玻璃碎片编号是（ ）
A．① B．② C．③
（2）[直观感知]如图，李明不小心把一块四边形的玻璃打成四块碎片，现要配出与原来一样的玻璃，则应携带的玻璃碎片编号是（ ）
A．① ② B．① ③ C．① ④
D．② ③ E．② ④ F．③ ④
（3）[问题探究]在平面几何里，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．类似的，我们把能够完全重合的两个四边形叫全等四边形．也就是说四条边和四个角都分别相等的两个四边形全等．
① 已知：如图，在四边形与四边形中，，，，，．
求证：四边形与四边形是全等四边形．
② 请类比全等三角形的判定定理，用文字语言表述第① 题的题设与结论：
③ 请再写出一个判定四边形全等的真命题．（用符号语言表达，不必证明）
【答案】（1）C；（2）E（3）①见解析；②题设：四条边都相等，且有一对角对应相等；结论：这两个四边形全等；③在四边形与四边形中，，，，，．
则四边形与四边形是全等四边形；
【分析】（1）根据分析即可求解；
（2）根据（1）的结论，找到能确定一条边2个角的三角形，即可求解；
（3）①连接，证明，得出，证明，即可求解．
②根据①的命题，写出题设与结论即可求解．
③ 根据①结论写出真命题，进而根据全等三角形的方法进行证明即可求解．
【详解】（1）解：依题意，③玻璃碎片，含有条边，个角，依据可得两个三角形全等，
故选：C；
（2）解：带②④，理由如下，
如图，
∵根据碎片的形状，可以确定长度的长度，且碎片②④保留了2个角，以为边的左右两边的两个三角形的两个角确定了，
根据（1）的结论可得出2对全等三角形，
∴带②④，
故选：E．
（3）①证明：如图，连接
∵在四边形与四边形中，，， ．
∴，
∴
又，，
∴
∴四边形与四边形是全等四边形；
②题设：四条边都相等，且有一对角对应相等；
结论：这两个四边形全等；
③如图，在四边形与四边形中，，，，，．
则四边形与四边形是全等四边形；
证明：如图，
∵，，，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，
∴
∴四边形与四边形是全等四边形；
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
7．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）已知：如图，在中，，，是边上的中线，过作的垂线，垂足为，过作交的延长线于点．
(1)求证：：
(2)，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)7cm
【分析】（1）证两条线段相等，通常用全等，本题中的和分别在和中，在这两个三角形中，已经，，因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答；
（2）由是边上的中线，可知，再根据即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
（2）∵是边上的中线
∴
∵，
∴
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，解题关键是先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法证明即可．
8．（2022秋·江苏·八年级专题练习）【提出问题】
我们已经知道了三角形全等的判定方法（，，，）和直角三角形全等的判定方法（HL），请你继续对“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形（）”的情形进行探究．
【探索研究】
已知：在和中，，，．
(1)如图①，当时，根据 ，可知RtRt；
(2)如图②，当时，请用直尺和圆规作出，通过作图，可知与 全等．（填“一定”或“不一定”）
(3)如图③，当时，与是否全等？若全等，请加以证明：若不全等，请举出反例．
【归纳总结】
(4)如果两个三角形的两边分别相等且其中一组等边的对角相等，那么当这组对角是__________时，这两个三角形一定全等．（填序号）
①锐角；②直角；③钝角．
【答案】(1)HL；
(2)不一定；
(3)，见解析；
(4)②③
【分析】（1）根据HL即可判断；
（2）画出图形，可知两个三角形不一定全等．
（3）结论：．如图③中，作交的延长线于G，作交的延长线于H．利用3次全等解决问题即可；
（4）利用（1）（3）中结论即可解决问题．
【详解】（1）在Rt和Rt中，
，
∴RtRt（HL），
故答案为：HL；
（2）如图②中，通过作图，可知与不一定全等．
（3）结论：．
理由：如图③中，作交的延长线于G，作交的延长线于H．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴RtRt，
∴，
∵，，
∴．
（4）由（1）（3）中的结论可知，如果两个三角形的两边分别相等且其中一组等边的对角相等，那么当这组对角是直角或钝角，故答案为②③．
【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的全等的判定方法，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
9．（2023春·上海·七年级专题练习）通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题：
[模型呈现]如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：．
[模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________________．
[深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为_____________．
【答案】[模型呈现]见解析；[模型应用]50；[深入探究]63
【分析】[模型呈现]证明，根据全等三角形的对应边相等得到；
[模型应用]根据全等三角形的性质得到，，，根据梯形的面积公式计算，得到答案；
[深入探究]过点D作于P，过点E作交的延长线于Q，根据全等三角形的性质得到，证明，得到，进而求出，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】[模型呈现]证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
[模型应用]解：由[模型呈现]可知，，
∴，
则，
故答案为：50；
[深入探究]过点D作于P，过点E作交AG的延长线于Q，
由[模型呈现]可知，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：63．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形确定的判定定理是解题的关键．