苏科版2025年新八年级数学暑假预习讲义第02讲1.3探索三角形全等的条件(一~三)(学生版+解析)

这是一份苏科版2025年新八年级数学暑假预习讲义第02讲1.3探索三角形全等的条件(一~三)(学生版+解析)，文件包含苏科版2025年新八年级数学暑假预习讲义第02讲13探索三角形全等的条件一三教师版docx、苏科版2025年新八年级数学暑假预习讲义第02讲13探索三角形全等的条件一三学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共47页， 欢迎下载使用。
1.由上一节课我们已经知道了全等三角形的性质，它们的对应边相等、对应角相等；那当两个三角形的角和边具备什么样的条件时，两个三角形就相等呢？
想一想：
（1）当两个三角形的1对边或角相等时，它们全等吗？
（2）当两个三角形的2对边或角分别相等时，它们全等吗？
（3）当两个三角形的3对边或角分别相等时，它们全等吗？
动手做一做：
按下列作法，用直尺和圆规作△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b．
作法：
1．作∠MAN ＝∠α．
2．在射线AM、AN上分别
作线段AB＝a，AC＝b ．
3．连接BC，△ABC就是所求作的三角形．
通过自己实践后发现：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）
几何语言：
∵在△ABC和△DEF中，
AB＝DE，
∠B＝∠E，
BC＝EF，
∴ △ABC ≌ △DEF（SAS）．
2.用纸板挡住了三角形的一部分，小明根据所学知识很快就画出了一个与原来完全一样的三角形，他的原理是什么？

动手做一做：
按下列作法，用圆规和直尺作△ABC，使AB＝a，∠A＝∠α，∠B＝∠β．
（1）作AB＝a．
（2）在AB的同一侧分别作∠MAB＝∠α ， ∠NBA＝∠β ，AM、BN相交于点C．
△ABC就是所求作的三角形．
通过自己实践后发现：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）
几何语言：
∵在△ABC和△DEF中，
∠A＝∠D，
AB＝DE，
∠B＝∠E，
∴ △ABC ≌ △DEF（ASA）．
【解惑】
例1：如图，为测量池塘两侧A，B两点间距离，在地面上找一点C，连接，，使，然后在的延长线上确定点D，使，得到，通过测量的长，就能得出的长．那么的理由是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件可找到两边对应相等且夹角相等，利用即可证明，由此即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
则在和中
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
例2：如图，，，三点在同一直线上，，，．求证：．

【答案】见解析
【分析】由平行线的性质得到，由即可证明≌．
【详解】解：，
，
在和中，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
例3：如图，要测量河两岸相对的两点、的距离，先在 的垂线上取两点、，使，再定出的垂线，可以证明，得，因此，测得的长就是的长．判定的理由是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知可以得到，又，，由此根据角边角即可判定．
【详解】解：，,
,
又，,
（）
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
例4：如图，，点D在边上，，，和相交于点O．求证：．
【答案】见解析
【分析】先利用三角形外角性质证明，然后根据“”判断．
【详解】证明：，
即，
而，
，
在和中，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
例5：在中，，，D是射线上一动点，连接，以为边作，在右侧，与过点A且垂直于的直线交于点E，连接．

(1)当都在的左侧时，如图①，线段之间的数量关系是_________；
(2)当在的两侧时，如图②，线段之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；
(3)当都在AC的右侧时，如图③，线段之间有怎样的数量关系？直接写出你的猜想，不必证明．
【答案】(1)
(2)，详见解析
(3)
【分析】（1）过点C作，交AB延长线于点F，如图，先证明，得到，，然后证明解题即可；
（2）过点C作，交AB于点F，如图，先证明，得到，，然后证明解题即可；
（3）过点C作，交AB于点F，如图，先证明，得到，，然后证明解题即可；
【详解】（1）过点C作，交AB延长线于点F，如图．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
故答案为：．
（2）图②的猜想：．
证明：过点C作，交AB于点F，如图②．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
（3）过点C作，交AB于点F，如图
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【摩拳擦掌】
1．（2023春·上海徐汇·七年级上海市第二初级中学校考阶段练习）如图，已知，，则的依据是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定定理可进行求解．
【详解】解：在和中，
，
∴；
故选D．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
2．（2023·四川成都·统考二模）如图，与相交于点O，且O是的中点，则与全等的理由是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．
【详解】解：∵O是的中点，
∴
在和中，
∴，
故选：A．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
3．（2022秋·七年级单元测试）如图，为了测量点到河对面的目标之间的距离，在点同侧选择一点，测得，，然后在处立了标杆，使，，得到，测得的长就是，两点间的距离，这里判定的理由是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用全等三角形的判定方法进行分析即可．
【详解】解：在和中，
，
，
判定的理由是，
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形判定的实际应用，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
4．（2022秋·云南楚雄·八年级校考阶段练习）如图，小亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
【答案】D
【分析】观察图形可知，有两角以及两角的夹边是已知，由此即可得到答案．
【详解】解：由题意得，有两角以及两角的夹边是已知，因此可以利用ASA画出一个全等的三角形，
故答案为：ASA
故选D
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．
5．（2023春·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，中，，平分，则_____≌_____．

【答案】
【分析】直接利用全等三角形的判定方法，进而得出答案．
【详解】解：∵平分，
∴，
在和中,，
∴．
故答案为：，．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
6.（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽的工具（卡钳）．在图中，若测量得，则工件内槽宽_________．

【答案】
【分析】根据三角形全等的判定可知，从而得到．
【详解】解：由题意可知，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
7．（2023春·陕西咸阳·七年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，在中，是上的中线，点F、E分別在和的延长线上，且，连接、．试说明：．
【答案】见解析
【分析】证明得到得证．
【详解】解：∵是上的中线，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，平行线的判定定理，熟练掌握全等的判定，8．（2023·广东广州·统考二模）为了制作燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图所示，，，，证明：．

【答案】见解析
【分析】根据证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∴在和中，
∴
【点睛】此题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
9．（2023春·陕西西安·七年级西安市远东第二中学校考阶段练习）如图，小刚站在河边的A点处，在河对岸的B处有一电线塔（小刚的正北方向），他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树C处，接着再向前走了20步到达D处，然后再左转直行，当小刚看到电线塔B、树C与自己现处的位置E在一条直线时，他共走了120步.

(1)根据题意，画出示意图；
(2)若小刚一步约米，请求出A、B两点间的距离（写出推理过程）.
【答案】(1)见解析
(2)40米，见解析
【分析】（1）根据上北下南，左西右东，直角的意义，共线的条件画图即可．
（2）根据三角形全等，得到步，结合一步约米，代入计算即可．
【详解】（1）根据上北下南，左西右东，直角的意义，共线的条件画图如下：

则画图即为所求．
（2）∵，
∴，
∴步，
∵一步约米，
∴（米），
答：A、B两点间的距离约为40米．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定的应用是解题的关键．
10．（2023·云南楚雄·统考三模）如图，和相交于点C，，．求证：．

【答案】见解析
【分析】由平行线的性质可得，．根据证明，即可推出．
【详解】证明：∵，
∴，．
在和中，
，
∴．
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
【知不足】
1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，，于点A，于点B，且，点P从B向A运动．每分钟走，点Q从B向D运动，每分钟走，P、Q两点同时出发，运动（ ）分钟后，与全等．
A．2或4B．3C．4D．4或6
【答案】C
【分析】设运动x分钟后与全等，则，，，分两种情况：①若，则，此时，；②若，则，得出，，此情况舍去，则得出结果．
【详解】解：∵于A，于B，
∴．
设运动x分钟后与全等，则，，，
分类讨论：①若，则，
∴，
∴；
②若，则，
解得：，
∴，
此时与不全等；
综上所述：运动4分钟后与全等；
故选C．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法、解方程等知识；本题难度适中，利用分类讨论的思想是解题关键．
2．（2023秋·八年级单元测试）如图，一块三角形的玻璃破成三片，一位同学很快拿着其中一片玻璃说：根据所学知识就能配出一个与原三角形完全一样的图形．他这样做的依据是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】结合三角形全等的判定条件，依次对三片玻璃进行分析即可．
【详解】解：第一片玻璃只有一个角与原三角形相等，无法判断与原三角形全等；
第二片玻璃既没有边与原三角形相等，也有没有角与原三角形相等，无法判断与原三角形全等；
第三片玻璃有两角及其夹边与原三角形相等，可以通过判定新三角形与原三角形全等；
故选：D．
【点睛】本题考查三角形全等的判定条件，解题的关键是熟练掌握三角形全等的相关知识．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）小刚把一块三角形玻璃打碎成了如图所示的三块，现要到玻璃店取配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）
A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去
【答案】C
【分析】根据三角形全等的条件进行判断即可．
【详解】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃，应带③去．
故选：C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
4．（2023春·全国·七年级专题练习）中，，边上的中线，则边的取值范围是__．
【答案】
【分析】延长至使，连接，然后证明，接着利用三角形的三边关系即可得到的取值范围．
【详解】延长至使，连接
在和中，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的三边关系，正确的作出辅助线是解题的关键．
5．（2021春·广东河源·七年级统考期末）如图，在和中，，，点A，F，C，D在同一条直线上且．请说明．

【答案】见解析
【分析】由平行线的性质可得，由，可得，进而根据即可证明．
【详解】证明：，
，
，
，即，
在和中，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定、平行线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
6．（2023·云南昆明·统考一模）如图，点、、、在同一直线上，，，．求证：．

【答案】见解析
【分析】利用线段的加减证得，即可用“”证明三角形全等．
【详解】证明：∵，
∴，
即，
在和中，
∵，
∴．
【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，掌握三角形的各个判定定理是关键．
7．（2023·云南昭通·统考二模）如图，点A，F，C，D在同一直线上，，，．求证：．

【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质可得，再由，可得，再根据全等三角形的判定即可得出结论．
【详解】证明：，
，
，
，
在和中，
．
【点睛】本题考查平行线的性质和全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
8．（2023·云南昆明·统考二模）“倍长中线法”是解决几何问题的重要方法．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，具体做法是：如图，是的中线，延长到，使，连接，构造出和．求证：．

【答案】见解析
【分析】由是的中线，可得，再由，，即可证明．
【详解】证明：如图所示：
，
是的中线，
，
在和中，
，
．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，倍长中线，熟练掌握三角形全等的判定，添加适当的辅助线是解题的关键．
【一览众山小】
1．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，在用尺规作图得到过程中，运用的三角形全等的判定方法是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据作法可得，可利用证明，即可求解．
【详解】解：根据作法得：，
∵，
∴．
故选：B
【点睛】本题主要考查了尺规作图——作一个角等于已知角，全等三角形的判定，熟练掌握作一个角等于已知角的作法，全等三角形的判定定理是解题的关键．
2．（2023·山东菏泽·统考一模）如图，，于A，于，且，点从向A运动，每秒钟走，点从向运动，每秒钟走，点，同时出发，运动______秒后，与全等．
【答案】6
【分析】设运动x秒钟后与全等；则则，分两种情况：①若，则，此时，；②若，则，得出，，即可得出结果．
【详解】解：∵于A，于，
∴，
设运动x分钟后与全等；
则则，
分两种情况：
①若，则，
∴，，，
∴；
②若，则，
解得：，，
此时与不全等；
综上所述：运动6秒钟后与全等；
故答案为：6．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法、解方程等知识；本题难度适中，需要进行分类讨论．
3．（2022秋·湖北恩施·八年级校考阶段练习）如图，要测量池塘两端，的距离，可先在平地上取一个可以直接到达，两点的点，连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接，那么量出的长就等于的长，这是因为，而这个判定全等的依据是______（填字母）．
【答案】
【分析】先根据对顶角相等可得，再根据三角形全等的判定即可得．
【详解】解：由对顶角相等得：，
在和中，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定是解题关键．
4．（2023·云南昆明·昆明八中校考三模）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：．

【答案】见解析
【分析】先证明，可得，根据即可证明．
【详解】证明：在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了几何证明，涉及到全等三角形的判定与性质，找出是关键．
5．（2023秋·八年级课时练习）如图，在中，点是上一点，，过点作，且，连接，．

(1)求证：；
(2)若是的中点，的面积是20，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得，再利用“边角边”证明即可；
（2）根据全等三角形面积相等，即三角形中线的性质即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
．
是的中点，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的中线将三角形面积平分为两等份，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键．
6．（2023·浙江·模拟预测）如图，在中，，射线平分，交于点E，点F在边的延长线上，，连接．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由射线平分，可得，进而可证；
（2）由，可得，由三角形外角的性质可得，则，根据，计算求解即可．
【详解】（1）证明：射线平分，
∴，
在和中，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴为．
【点睛】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
7．（2022秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）如图，在的正方形网格中，的顶点都在正方形网格的格点上请你在图①和图②中分别画出一个三角形，同时满足以下两个条件：
(1)以点A为一个顶点，另外两个顶点也在正方形网格点上；
(2)与全等，且不与重合．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）直接利用网格结合全等三角形的判定方法分析得出答案；
（2）直接利用网格结合全等三角形的判定方法分析得出答案．
【详解】（1）如图所示：即为所求；
在和中
∴．
（2）如图所示：即为所求．
∵，
∴．
在和中
∴．
【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
8．（2023·云南昆明·校考三模）如图，在和中，，，．求证：．

【答案】证明见解析；
【分析】根据角的和差得到，再根据全等三角形的判定即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴在和中，
，
∴；
【点睛】本题考查了角的和差关系，全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是解题的关键．
9．（2022春·七年级单元测试）如图，＝，＝，点在边上，＝，和相交于点． 求证：．

【答案】见解析
【分析】利用三角形内角和得到，结合推出，再利用证明即可．
【详解】解：证明：和相交于点，
．
在和中，，
．
又，
，
．
在和中，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定．
10．（2022秋·七年级单元测试）如图，在中，，于点，于点，，与相交于点．求证：．

【答案】见解析
【分析】由证明即可．
【详解】证明：，
，
，
，
，
在和中，，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
11．（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，在中，，，连接，E为边上一点，，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】根据，得到，利用即可得证．
【详解】证朋：，
，
，，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．
12．（2023秋·湖南常德·八年级统考期末）如图，在中，，，是边上的中线，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得，再根据 “”进行证明即可；
（2）先根据线段中点的定义可得的长，再根据全等三角形的性质和三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵在中，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
∵，
∴；
（2）解：∵是边上的中线，
∴，
由（1）知，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．
13．（2022·辽宁葫芦岛·八年级校考期中）（1）如图1，点B，C在的边、上，点E，F在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：；
（2）如图2，在中，，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为18，求：与的面积之和．
【答案】（1）见解析；（2）与的面积之和为12
【分析】（1）由及三角形外角的性质得到，，又由即可得到；
（2）的面积为18，，得的面积，又由，则的面积＝的面积，则与的面积之和等于与的面积之和，即可得到结论．
【详解】（1）证明：，∵，，
，，
∴，，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵的面积为18，，
∴的面积是：，
由（2）可得，
即的面积＝的面积，
∴与的面积之和等于与的面积之和，即的面积是12．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键．
14．（2022秋·江苏南通·八年级校联考期中）如图，在等腰中，，，点D在边上，点E，F在线段上，满足．

(1)求证：；
(2)若的面积为18，，记的面积为，的面积为，求．
【答案】(1)证明见解析．
(2)12．
【分析】（1）利用证明三角形全等即可；
（2）利用全等三角形的面积相等，得到：，再利用等高三角形的面积比等于底边比，进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，，，
∴，．
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．