山东省潍坊市四县市2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份山东省潍坊市四县市2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
故选：B
2. 在内，使成立的的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】作出函数和在内的图象，
，函数的图象在函数的图象上方的区间就是的解集，即为.
故选：C.
3. 已知圆心角为的扇形面积是，则这个圆心角所对的弦长为（ ）
A. B. 2C. D. 1
【答案】C
【解析】由题意扇形的圆心角为，设扇形的半径为，
则扇形面积为，即，解得，
则这个圆心角所对的弦长为.
故选：C.
4. 已知向量满足，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】B
【解析】因为，
所以，所以，
所以.
故选：B.
5. 函数的一个对称中心为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】令，则，
所以函数的图象的对称中心为，，
令，则，故不是函数图象的对称中心；
令，则，故不是函数图象的对称中心；
令，则，故是函数图象的对称中心；
令，则，故不是函数图象的对称中心.
故选：C.
6. 已知函数，，且的最小值为，则（ ）
A. 1B. 2C. 4或D. 2或
【答案】D
【解析】由题可得，则，，解得.
故选：D
7. 在四边形中，，设.若，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】如图所示，过作，又．
∴四边形是平行四边形．
，又，
，
又，则.
故选：B．
8. 当时，曲线与的交点个数为（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 3
【答案】C
【解析】对于函数，
当时，，
令，得，此时，
令，得，此时，
令，得，此时，
令，得，此时，
时，，
函数的周期，
结合周期，利用五点法作出图象，
由图知，共有4个交点.
故选：.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】由，则，即，
因为，所以，则，
所以，
则，故D正确；
由，解得，，故AC错误；
则，故B正确.
故选：BD.
10. 已知向量，，在正方形网格中的位置如图，若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】如图，建立平面直角坐标系，易得，，，
对于A，，故A正确；
对于B，，则，故B正确；
对于C，，显然不存在实数使得，则不平行，故C错误；
对于D，，则，即，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知函数，则（ ）
A. 是的一个周期
B. 当时，的最大值为
C. 在上有零点
D. 对于定义域内任意的，都有
【答案】ABD
【解析】对于A，由
，得是的一个周期，A正确；
对于B，当时，，
当时，，因此的最大值为，B正确；
对于C，当时，，则，，
由，即，得与矛盾，
因此不存在，使得在上有零点，C错误；
对于D，由选项B知，当时，，
当时，同理，则；
当时，，
当且仅当时取等号，则，，
对于定义域内任意的，都有，D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 与向量方向相反的单位向量为_____．
【答案】
【解析】向量方向相反的单位向量.
故答案为：.
13. 已知，若，则________.
【答案】
【解析】，
因为，所以，
所以.
故答案为：.
14. 函数在上的零点从小到大依次为，则的值为________.
【答案】
【解析】令，则，
当时，，
由题意，函数在上的零点从小到大依次为，
则转化为函数与在上的交点问题，
且交点的横坐标从小到大依次为，
画出函数与在上的大致图象，

由图象可知，函数与有4个交点，即，
又，，，
则，，，
则.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，.
（1）若向量，求实数的值；
（2）若向量满足，求的值.
解：（1）由，，
得，，
因为，
所以，解得.
（2）由，，，
则，
由，则，
解得，即，则.
16. 已知，为第三象限角，求：
（1）；
（2）；
（3）.
解：（1）由，为第三象限角，
则；
（2）由，为第三象限角，
则；
（3）由，则，
因为，则，
即，则，
又为第三象限角，所以，
则.
17. 如图，平行四边形中，为上一点，，设，，为平行四边形内一点，且.
（1）证明：，，三点共线；
（2）延长交于，用，表示出并求出.
解：（1）由题意，，
由于，则，，三点共线.
（2）设，则，
由于三点共线，则，解得，
则.
而，
，
所以，即.
18. 已知函数的部分图象如图所示：
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）当时，方程有两个不相等的实数根，且，求的值.
解：（1）由图象可知，，且，
则，即，此时，
又，则，
则，即，
又，则，即.
（2）令，
解得，
则函数的单调递增区间为.
（3）当时，，
因为方程有两个不相等的实数根，且，
即方程有两个不相等的实数根，且，
所以，
则，且，
又，
则
.
19. 已知函数的最小正周期为，若将的图象向左平移个单位，然后把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，且为偶函数.
（1）求的解析式；
（2）设，求的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时的值；
（3）若函数在上有三个不相等的实根，求实数的取值范围.
解：（1）由的最小正周期为，则，得，则，
将的图象向左平移个单位，得，
再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到，
因为为偶函数，则且，所以，
则，.
（2）由（1），，
令，则，
所以当，即时，取得最小值1，
此时或，，
当，即时，取得最大值，此时，.
（3），，令，
所以，，
若函数在上有三个不相等的实根，
即，
在上有两个不等的实根，且，或，
若，则，解得，
则方程的另一根，不合题意；
同理，，经检验均不合题意，
所以且，
则，即，解得.
所以实数的取值范围为.