山东省潍坊市2024-2025学年高一下学期2月月考数学试卷（解析版）

这是一份山东省潍坊市2024-2025学年高一下学期2月月考数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，
则，.
故选：D.
2. 不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】不等式化为：，即，有，
解得，
所以不等式的解集为.
故选：A.
3. 设，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知，
当时，，所以由得；
当时，，所以由得，无解
综上，.
故选：C.
4. 已知，且，则的最小值为（ ）
A. 4B. C. 6D. 8
【答案】D
【解析】由可得：
；
当且仅当，即当时，等号成立.
即的最小值为8.
故选：D.
5. 对任意实数，，，给出下列命题：
①“”是“”充要条件；
②“是无理数”是“是无理数”的充要条件；
③“”是“”的充分条件；
④“”是“”的必要条件．
其中真命题的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】①中“” “”为真命题，
但当时，“” “”为假命题，
故“”是“”的充分不必要条件，故①为假命题；
②中“是无理数” “是无理数”为真命题，
“是无理数” “是无理数”也为真命题，
故“是无理数”是“是无理数”的充要条件，故②为真命题；
③中“” “”为假命题，如、满足，但是，
“” “”也为假命题，如、满足，但是，
故“”是“”的即充分也不必要条件，故③为假命题；
④中，故“”是“”的必要条件，故④为真命题．
故真命题的个数为2.
故选：B．
6. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位m)的取值范围是（ ）
A. [15，20]B. [12，25]C. [10，30]D. [20，30]
【答案】C
【解析】如图△ADE∽△ABC，设矩形的另一边长为y，则，
所以，又，所以，即，解得.
故选：C.
7. 函数在区间上的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为的定义域为R，关于原点对称，且
，
所以为偶函数，其函数图象关于y轴对称，故排除A，C.
因为，故排除B.
故选：D.
8. 在资源有限的情况下，种群数量随时间（单位：天）的变化满足逻辑斯蒂模型：，其中常数为环境容纳量，为种群初始数量，为比增长率生态学家高斯（）曾经做过单独培养大草履虫的实验：初始时，在培养液中放入个草履虫，观察到时，种群数量为；时，种群数量为.根据逻辑斯蒂模型，可估算大草履虫种群的比增长率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，，，则，
因此，整理得，解得或（舍），
因此，解得.
所以大草履虫种群的比增长率约为.
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】对于A，取，满足，但是，故A错误；
对于B，因为，不等式两边同时乘以负数，不等式方向改变，所以，
不等式两边同时乘以负数，不等式方向改变，所以，
所以，故B正确；
对于C，因为，，
又因为，所以，而，即，，
所以，故C正确；
对于D，设，即，
则，解得，所以，
又，则，且，
所以，所以，故D正确.
故选：BCD.
10. 如图，在四边形ABCD中，为BC边上一点，且为AE的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】由，
由向量加法的三角形法则得，
又F为AE的中点，则，故A正确；
，故B正确；
，故D正确；
，故C错误.
故选：ABD.
11. 函数，下列四个选项正确的是（ ）
A. 是以为周期的函数
B. 的图象关于直线对称
C. 在区间，上单调递减
D. 的值域为
【答案】BCD
【解析】由解析式得，，（注意函数是连续的），
显然，显然不是的周期，A错；
当时，，.
所以，结合上述解析式知，
当时，，.
所以，结合上述解析式知，
所以的图象关于直线对称，B对；
由，，
又在上单调递减，C对；
当，时，，
当，时，，
所以的值域为，D对.
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
12. ，集合，则________.
【答案】2
【解析】由题意知，所以，则，又，所以，.
故.
13. 已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】因为对任意的，当时，都有成立，
所以在上单调递增，当，又，
所以由，可得，
又函数是定义在上的奇函数，当时，
由，可得，又由奇函数的性质可得，
所以不等式的解集为.
14. 已知函数的部分图像如图所示，则_______________.
【答案】
【解析】由题意可得：，
当时，，
令可得：，
据此有：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 设全集，集合，集合
（1）当时，求和；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
解：（1）当时，，或，
∴，或.
（2）∵“”是“”的充分不必要条件，
∴⫋，
∴（等号不同时成立），解得，
∴实数a的取值范围为.
16. 计算以下的值：
（1）；
（2）；
（3）化简：已知，求.
解：（1）原式
.
（2）原式
.
（3）由，得，
即，
所以.
17. 长江存储是我国唯一一家能够独立生产3DNAND闪存的公司，其先进的晶栈Xtacking®技术使得3DNAND闪存具有极佳的性能和极长的寿命．为了应对第四季度3DNAND闪存颗粒库存积压的情况，某下游闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装x万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当x不超过120万片时，；当x超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为150元/片，且能全部售完．
（1）求公司获得的利润的函数解析式；
（2）封装多少万片时，公司可获得最大利润？
解：（1）当时，
，
当时，，
故.
（2）当时，
开口向下，对称轴为，
故的最大值为（万元）；
当时，
，
当且仅当，即时等号成立，
故的最大值为（万元），
因为，所以封装160万片时，公司可获得最大利润.
18. 已知函数满足对一切实数都有成立，且，当时有．
（1）求，；
（2）判断并证明在上的单调性；
（3）解不等式．
解：（1）因为函数满足对一切实数、都有成立，
令可得，可得，
令可得.
（2）函数在上单调递减，证明如下：
设，则，又，
所以，可得，
所以当时，，
任取、且，则，，
则
，即，
因此，函数在上单调递减.
（3）由（2）可知，函数在上为单调递减函数，
令，可得，所以，
因为，
令，
由
得，即，解得，
可得，
因为，，
所以不等式等价于，
因为函数在上单调递减，则，
对于不等式，即显然成立，
对于不等式，即，解得，
因此，原不等式的解集为.
19. 对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“伪奇函数”．
（1）已知函数，试问是否为“伪奇函数”？说明理由；
（2）若幂函数使得为定义在上的“伪奇函数”，试求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，使得是定义在上的“伪奇函数”，若存在，试求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
解：（1）假设为“伪奇函数”，∴存在满足，
∴有解，化为，无解，
不是“伪奇函数”.
（2）为幂函数，∴，∴．
∴，
∵为定义在“伪奇函数”，∴在上有解，
∴在上有解，
令，∴在上有解，
又对勾函数在上单调递减，在上单调递增，且时，，
时，，
∴，，∴的值域为，
∴，∴.
（3）设存在满足，即在上有解，
∴在上有解，
∴在上有解，
令，取等号时，
∴在上有解，
∴在上有解（*），
∵，解得，
记，且对称轴，
当时，在上递增，
若（*）有解，则，∴，
当时，在上递减，在上递增，
若（*）有解，则，即，此式恒成立，
∴，综上可知，．参考数据：
x
2
3
5
7
11
13
17
19
23
ln x
0.693
1.099
1.609
1.945
2.398
2.565
2.833
2.944
3.135