2024-2025学年上海市娄山中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市娄山中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列函数中，一次函数是
A．B．C．D．
2．下列方程中，是二项方程的为
A．B．C．D．
3．下列方程中，有实数解的是
A．B．C．D．
4．某灾区恢复生产，计划在一定时间内种60亩蔬菜，实际播种时每天比原计划多种3亩，因此提前一天完成任务，问实际种了几天？现设实际种了天，则可列方程
A．B．C．D．
5．已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中，能分别作它的两条对角线长的是
A．10与16B．12与16C．20与22D．10与18
6．如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与轴、轴交于点，，直线经过点，且与轴交于的中点，以，，为顶点的△在第一象限内，将△向左平移个单位，若△的各边始终与直线或直线有交点，则的取值范围是
A．B．C．D．
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．一次函数在轴上的截距是 ．
8．已知一次函数，随的增大而减小，那么的取值范围是 ．
9．一次函数与的图象的交点坐标为 ．
10．将二元二次方程化为二个一次方程为 ．
11．用换元法解分式方程时，如果设，则原方程可化为关于的整式方程是 ．
12．“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方法，如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于的一元二次方程，解出，再求，这种方法又叫“换元法”，请你用这种思维方式和换元法解方程：．方程的解为 ．
13．关于的方程的解是 ．
14．如果一个多边形的每个内角都等于，那么关于这个多边形是 边形．
15．在中，若，则为 度．
16．如图，正方形的边长为4，点为上一点，，点为正方形边上一点，且，则的长等于 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴和轴分别交于点和点，以为边在直线右侧作正方形，连接，过点作轴，垂足为点，交于点，连接，则三角形的周长为 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，且点的坐标为，四边形是正方形．点是线段上的一个动点（点、除外），点在轴的上方，以、、、为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为 ．
三、解答题（本大题共7题，满分0分）
19．（1）解方程：；
（2）解方程组：；
（3）解方程：．
20．已知一次函数，当时，．
（1）求一次函数的解析式；
（2）将该函数的图象向上平移6个单位，求平移后的图象与轴交点的坐标．
21．团队接到抗疫任务，乘坐巴士从甲地出发赶往乙地执行任务，甲乙两地距离为340千米．他们出发后不久，专家也接到命令须赶往当地进行支援，他乘坐轿车前往．设团队走的路程为（千米），专家走的路程为（千米），他们前进的时间（从出发开始计时）为（小时），、与之间的部分函数图象如图所示．
（1）在专家出发时，团队已经行进了 千米；专家的速度是每小时 千米．
（2）当时，求关于的函数解析式；
（3）如果5个小时后，专家保持之前的速度继续前进，团队提高速度去追赶，提速后的速度是每小时70千米，请问团队能否在专家到达乙地之前追上他？如果能够追上，求出此时他们离乙地的距离；如果不能，请说明理由．
22．今年新型“和谐号”高速列车正式投入沪宁线运行，已知上海到南京全程约300公里，如果新型“和谐号”高速列车行驶的平均速度比原来的“和谐号”动车行驶的平均速度每分钟快2公里，那么从上海到南京比原来“和谐号”动车少用40分钟，问新型“和谐号”高速列车从上海到达南京大约需要多少分钟？
23．在中，，分别是，上的点，且，连接，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若平分，，，，求的长．
24．已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点、．以为边在第一象限内作等腰直角三角形，且，，作的垂直平分线，交直线与点，交轴于点．
（1）求点的坐标；
（2）在的垂直平分线上有一点，且点与点位于直线的同侧，使得，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接、，判断△的形状，并给予证明；
25．如图1，在△中，点为边上的点与，不重合），，且，联结，联结交于点．
（1）求证：平分；
（2）如图2，若，且，设线段为，三角形的面积为，求关于的函数解析式；
（3）如图3，若，当△是等腰三角形时，求的值．
参考答案
一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．下列函数中，一次函数是
A．B．C．D．
解：、是反比例函数，故本选项错误；
、是二次函数，故本选项错误；
、是一次函数，故本选项正确；
、是反比例函数，故本选项错误．
故选：．
2．下列方程中，是二项方程的为
A．B．C．D．
【答案】
解：．不是二项方程，方程右边不等于0，
不符合题意；
．不是二项方程，方程左边没有常数项，
不符合题意；
．是二项方程，
符合题意；
．不是二项方程，方程左边只有一项，
不符合题意；
故选：．
3．下列方程中，有实数解的是
A．B．C．D．
解：、，，方程没有实数解；
、两边平方得，解得，经检验为原方程的解；
、，则没有实数解；
、去分母得，经检验原方程无解．
故选：．
4．某灾区恢复生产，计划在一定时间内种60亩蔬菜，实际播种时每天比原计划多种3亩，因此提前一天完成任务，问实际种了几天？现设实际种了天，则可列方程
A．B．C．D．
【答案】
解：设实际种了天，由题意得：
，
故选：．
5．已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中，能分别作它的两条对角线长的是
A．10与16B．12与16C．20与22D．10与18
【答案】
【解答】解；如图，四边形是平行四边形，、交于点，，则，
、当，时，则，，
，即此时不能构成三角形，不符合题意；
、当，时，则，，
，即此时不能构成三角形，不符合题意；
、当，时，则，，
，即此时能构成三角形，符合题意；
、当，时，则，，
，即此时不能构成三角形，不符合题意；
故选：．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与轴、轴交于点，，直线经过点，且与轴交于的中点，以，，为顶点的△在第一象限内，将△向左平移个单位，若△的各边始终与直线或直线有交点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
解：由题知，
将代入得，，
所以点的坐标为．
将代入得，，
所以点的坐标为．
因为点为的中点，
所以点的坐标为．
将点和点的坐标代入得，
，
解得，
所以直线的函数解析式为．
根据所给平移方式可知，
当点在直线上时，取得最小值；当点在直线上时，取得最大值．
将代入得，
，
解得，
所以的最小值为：；
将代入得，
，
解得，
所以的最大值为：，
所以的取值范围是：．
故选：．
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．一次函数在轴上的截距是 ．
解：由，知：当，，
即一次函数与轴交点为，
一次函数在轴上的截距为：．
故答案为：．
8．已知一次函数，随的增大而减小，那么的取值范围是 ．
解：一次函数，随的增大而减小，
，
解得，．
故答案为：．
9．一次函数与的图象的交点坐标为 ．
解：联立方程组得：，
解得．
一次函数与的图象的交点坐标为，
故答案为：．
10．将二元二次方程化为二个一次方程为 和 ．
【答案】和．
解：，
，
或，
故答案为：和．
11．用换元法解分式方程时，如果设，则原方程可化为关于的整式方程是 ．
解：设，
原方程变为，
方程两边都乘得．
故原方程可化为关于的整式方程是．
12．“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方法，如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于的一元二次方程，解出，再求，这种方法又叫“换元法”，请你用这种思维方式和换元法解方程：．方程的解为 ， ．
解：，
设，则原方程化为：
，
，
解得：，，
当时，，
算术平方根具有非负性，所以此方程无解；
当时，，
方程两边平方，得，
解得：，，
经检验，都是原方程的解．
故答案为：，．
13．关于的方程的解是 ．
【答案】．
解：，
去括号，得，
移项，得，
系数化为1，得，
故答案为：．
14．如果一个多边形的每个内角都等于，那么关于这个多边形是 九 边形．
解：由题意可得：，
解得．
故多边形是九边形．
故答案为：九．
15．在中，若，则为 45 度．
【答案】45．
解：四边形是平行四边形，，
，，
，
，
，
．
故答案为：45．
16．如图，正方形的边长为4，点为上一点，，点为正方形边上一点，且，则的长等于 1或5 ．
解：①当点在边上时，
在△和△中，，
△△，
；
②当点在边上时，
在△和△中，，
△△，
；
，
在△中，根据勾股定理可得：，
故答案为：1或5．
17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴和轴分别交于点和点，以为边在直线右侧作正方形，连接，过点作轴，垂足为点，交于点，连接，则三角形的周长为 16 ．
【答案】16．
解：在中，由添加可知，，
，，
过点作平行于，交于，
轴，
轴，
，
；
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
由条件可知四边形为矩形，
矩形为正方形，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
在△和△中，
，
△△，
，
，
△周长．
故答案为：16．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，且点的坐标为，四边形是正方形．点是线段上的一个动点（点、除外），点在轴的上方，以、、、为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为 或 ．
【答案】或．
解：由条件可得：
，解得：，
直线得解析式为，
当时，，
点的坐标为，
如图，当四边形为菱形时，
垂直平分，
点，的纵坐标均为，且点，关于轴对称，
由条件可得：
，解得：，
点的坐标为，
此时点的坐标为；
如图，当四边形为菱形时，延长交轴于点，此时，轴，
设点的坐标为，则，
轴，
轴，
点的坐标为，即
在△中，，
解得：，
点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共7题，满分0分）
19．（1）解方程：；
（2）解方程组：；
（3）解方程：．
【答案】（1）；
（2）或；
（3）或．
解：（1）将方程的两边平方可得：，
，
，
或，
或（舍去，算术平方根的非负性）；
（2）
由①得：③，
由②得：④，
把④代入③中得：，
或，
解得或，
当时，，
当时，，
或．
（3）设，则原方程可化为，
，
，
或，
或，
或，
或，
解方程得或，
解方程，△，
可得原方程无解，
经检验，和都是原方程的解，
原方程的解为或．
20．已知一次函数，当时，．
（1）求一次函数的解析式；
（2）将该函数的图象向上平移6个单位，求平移后的图象与轴交点的坐标．
解：（1）由已知得：，
解得：
一次函数的解析式为：；
（2）将直线向上平移6个单位后得到的直线是：
当时，，
平移后的图象与轴交点的坐标是．
21．团队接到抗疫任务，乘坐巴士从甲地出发赶往乙地执行任务，甲乙两地距离为340千米．他们出发后不久，专家也接到命令须赶往当地进行支援，他乘坐轿车前往．设团队走的路程为（千米），专家走的路程为（千米），他们前进的时间（从出发开始计时）为（小时），、与之间的部分函数图象如图所示．
（1）在专家出发时，团队已经行进了 20 千米；专家的速度是每小时 千米．
（2）当时，求关于的函数解析式；
（3）如果5个小时后，专家保持之前的速度继续前进，团队提高速度去追赶，提速后的速度是每小时70千米，请问团队能否在专家到达乙地之前追上他？如果能够追上，求出此时他们离乙地的距离；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）20，50；
（2）；
（3）团队能在专家到达乙地之前追上他，此时他们离乙地的距离是15千米．
解：（1）由图象可知：专家出发时，团队已经行进了20千米，专家的速度是（千米小时），
故答案为：20，50；
（2）由图象可知，专家出发后2小时追上团队，此时离甲地（千米），
设当时，关于的函数解析式是，将代入得：
，
解得，
当时，关于的函数解析式是；
（3）由题意得，团队的速度是（千米小时），
当时，，，
所以团队追上专家所需的时间为（小时），
当时，，
（千米），
答：团队能在专家到达乙地之前追上他，此时他们离乙地的距离是15千米．
22．今年新型“和谐号”高速列车正式投入沪宁线运行，已知上海到南京全程约300公里，如果新型“和谐号”高速列车行驶的平均速度比原来的“和谐号”动车行驶的平均速度每分钟快2公里，那么从上海到南京比原来“和谐号”动车少用40分钟，问新型“和谐号”高速列车从上海到达南京大约需要多少分钟？
解：设新型“和谐号”高速列车从上海到达南京大约需要分钟，
或（舍去）．
经检验是方程的解．
答：新型“和谐号”高速列车从上海到达南京大约需要60分钟．
23．在中，，分别是，上的点，且，连接，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若平分，，，，求的长．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
在△和△中，
△△，
，
，，
，
即，
，，
四边形是平行四边形；
（2）解：
，
，
平分，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
，
，
，
．
24．已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点、．以为边在第一象限内作等腰直角三角形，且，，作的垂直平分线，交直线与点，交轴于点．
（1）求点的坐标；
（2）在的垂直平分线上有一点，且点与点位于直线的同侧，使得，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接、，判断△的形状，并给予证明；
解：（1）过点作轴的垂线，交轴于点，
；，
，
△△，
，，
，，
；
（2）如图，在的垂直平分线上有一点，垂直平分线与轴的交点为，
垂直平分线与一次函数的交点，
，
，
，
而，
设，则，
解的，则，
（3）联结，，
由于点，，
则，，，
可得：，
△是等腰直角三角形．
25．如图1，在△中，点为边上的点与，不重合），，且，联结，联结交于点．
（1）求证：平分；
（2）如图2，若，且，设线段为，三角形的面积为，求关于的函数解析式；
（3）如图3，若，当△是等腰三角形时，求的值．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
，
又，
△△，
，
，
平分；
（2）作，如图：
同（1）法可知：△△，
，，
，，
，
，即：；
（3），，且，，
，
，
，
同（1）法可知：，
当△为等腰三角形时，分两种情况：
①当时，则：，
，
，
，
，
；
②当时，则：，
，
，，
，作于点，
在△ 中，，
，
，
在△中，，
，
，
，
；
综上：或．