2024-2025学年上海市松江区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市松江区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．一次函数的图象不经过
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．直线经过点，，，且，下列结论正确的是
A．B．
C．D．、的大小不能确定
3．下列说法正确的是
A．是二元二次方程B．是二项方程
C．是分式方程D．是无理方程
4．下列方程中，有实数根的是
A．B．C．D．
5．一个多边形截去一个角后，得到的新多边形内角和为，则原多边形边数为
A．4B．6C．4或6D．4或5或6
6．在四边形中，是对角线的交点，不能判定这个四边形是平行四边形的是
A．，B．，
C．，D．，
二、填空题（本大题共12小题，每题2分，满分24分）
7．一次函数的图象在轴上的截距是 ．
8．一次函数的图象向下平移2个单位，所得直线的表达式是 ．
9．方程的解是 ．
10．解方程，如果设，那么得到关于的整式方程是 ．
11．如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数是 ．
12．若关于的方程无解，则的值为 ．
13．已知点是直线在第一象限内的一点，且它到两坐标轴的距离相等，那么点的坐标是 ．
14．已知点是直线上一点，则的解集是 ．
15．一项工程若乙单独做要比甲慢3天完成，现在甲乙合作5天，余下的再由甲单独做3天完成，求甲乙单独完成此项工程所需的时间，若设乙单独做需要天，可列方程为 ．
16．已知汽车装满油之后，油箱里的剩余油量（升与汽车行驶路程（千米）之间的函数图象如图所示．为了行驶安全，油箱中的油量不能少于5（升，那么这辆汽车装满油后至多行驶 （千米）后需要再次加油．
17．已知中，，与的角平分线交边于点，，且，则边的长为 ．
18．直线与轴、轴分别交于、两点，为线段上一点，将△绕点顺时针旋转得到△，若点，那么点的坐标为 ．
三、计算题（本大题共4小题，每题6分，满分24分）
19．解关于的方程：．
20．解方程：．
21．解方程：
22．解方程组：．
四、解答题（本大题共4小题，第23题7分，第24题8分，第25题9分，第26题10分，满分34分）
23．已知，点为对角线的中点，过点分别作直线，，直线交边、于点、，直线交边、于点、．求证：四边形为平行四边形．
24．小杰和小丽分别从相距的、两地同时同向出发，小杰经过地后再走2小时追上小丽，小杰走的总路程相当于小丽走8小时的路程，求小杰和小丽的速度分别是多少？
25．某公司开发了一款人工智能客户支持系统．该系统总的运行成本与服务的客户数量之间存在函数关系．已知：系统维护有固定成本（即系统没有客户咨询，仍需要支付的成本）；另外每服务一个客户，需要一定的运行成本；且当服务人数超过5000人时，超过部分每服务一个客户的运行成本降低2元，假设系统总的运行成本为元，客户的数量为人，请结合函数图象，回答下列问题：
（1）系统维护的固定成本是 元．
（2）若当客户人数为5000人时，总的运行成本为元，若当客户人数为10000人时，总的运行成本为元，且．
①当客户人数不超过5000人时，求每服务一个客户需要的运行成本．
②如果总的运行成本不少于35000元，求该公司至少服务客户多少人？
26．在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，点关于点的对称点为点，四边形是平行四边形．
（1）求点、点的坐标．
（2）过线段的中点作直线，直线把平行四边形分成面积为的两部分，求直线的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线与轴交于点（当点在点的下方），点在直线上，且，请直接写出点的坐标．
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每题3分，满分18分）
1．一次函数的图象不经过
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
解：，
，，
故直线经过第一、二、四象限．
不经过第三象限．
故选：．
2．直线经过点，，，且，下列结论正确的是
A．B．
C．D．、的大小不能确定
解：由条件可知一次函数随的增大而增大，
，
．
故选：．
3．下列说法正确的是
A．是二元二次方程B．是二项方程
C．是分式方程D．是无理方程
解：根据二元二次方程，分式方程，无理方程等概念逐项判断如下：
、是分式方程，故本选项说法错误；
、不是二项方程，故本选项说法错误；
、是分式方程，故本选项说法正确；
、是分式方程，故本选项说法错误．
故选：．
4．下列方程中，有实数根的是
A．B．C．D．
解：选项：，
，
；
检验：时，，
不是该分式方程的解，分式方程无解．
该方程没有实数根，不合题意；
选项：由题意可得：
，
．
该方程有实数根，符合题意；
选项：，
，
，
，
该方程没有实数根，不合题意；
选项：，
因式分解，得，
或，
或，
该方程没有实数根，不合题意．
故选：．
5．一个多边形截去一个角后，得到的新多边形内角和为，则原多边形边数为
A．4B．6C．4或6D．4或5或6
解：设新多边形的边数为，
则，
解得：，
①若截去的角的两边均为原多边形的两边的一部分时，
此时原多边形的边数为；
②若截去的角的两边为原多边形的一条边和另一条边的一部分时，
此时原多边形的边数为5；
③若截去的角的两边均为原多边形的两条边时，
此时原多边形的边数为；
综上，原多边形边数为4或5或6，
故选：．
6．在四边形中，是对角线的交点，不能判定这个四边形是平行四边形的是
A．，B．，
C．，D．，
解：在四边形中，是对角线的交点，如图，
选项：，，
四边形是平行四边形，
故本选项不合题意；
选项：，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
故本选项不合题意；
选项：，
，，
在△和△中，
，
△△，
，
，
四边形是平行四边形，
故本选项不合题意；
选项：由，无法证明四边形是平行四边形，
故本选项符合题意．
故选：．
二、填空题（本大题共12小题，每题2分，满分24分）
7．一次函数的图象在轴上的截距是 ．
解：一次函数中，
此函数图象在轴上的截距是．
故答案为：．
8．一次函数的图象向下平移2个单位，所得直线的表达式是 ．
解：根据平移性质所得所得直线的表达式为，即．
故答案为：．
9．方程的解是 ．
解：由题意可得：或，
，，
当时，，无意义，
该方程的解为．
故答案为：．
10．解方程，如果设，那么得到关于的整式方程是 ．
解：设，则方程可化为：，
两边同时乘以可得：，
整理得：，
故答案为：．
11．如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数是 12 ．
解：这个多边形的内角和为，
设这个多边形的边数为，
则，
解得：．
这个多边形的边数是12．
故答案为：12．
12．若关于的方程无解，则的值为 1 ．
解：
去分母得：，
整理得：，
原方程无解，得到，即，
，解得．
故答案为：1
13．已知点是直线在第一象限内的一点，且它到两坐标轴的距离相等，那么点的坐标是 ．
解：由条件可设，其中，，
点到两坐标轴的距离相等，
，
，
解得，
．
故答案为：．
14．已知点是直线上一点，则的解集是 ．
解：由条件可知一次函数随的增大而减小，
当时，函数图象在的上方，
的解集是：，
故答案为：．
15．一项工程若乙单独做要比甲慢3天完成，现在甲乙合作5天，余下的再由甲单独做3天完成，求甲乙单独完成此项工程所需的时间，若设乙单独做需要天，可列方程为 ．
解：根据题意可列分式方程为：
，
故答案为：．
16．已知汽车装满油之后，油箱里的剩余油量（升与汽车行驶路程（千米）之间的函数图象如图所示．为了行驶安全，油箱中的油量不能少于5（升，那么这辆汽车装满油后至多行驶 450 （千米）后需要再次加油．
解：设该一次函数解析式为，将，代入得，
，
解得，
该一次函数解析式为．
当时，
解得．
所以这辆汽车装满油后至多行驶450千米后需要再次加油，
故答案为：450．
17．已知中，，与的角平分线交边于点，，且，则边的长为 11或5 ．
解：平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
同理：，
分两种情况：
①如图1所示：，
；
②如图2所示：，，
，；
综上所述：的长为11或5；
故答案为：11或5．
18．直线与轴、轴分别交于、两点，为线段上一点，将△绕点顺时针旋转得到△，若点，那么点的坐标为 ．
解：由条件可设，
将△绕点顺时针旋转得到△，
，
，
，
解得，
．
故答案为：．
三、计算题（本大题共4小题，每题6分，满分24分）
19．解关于的方程：．
解：，
，
，
，
当时，；
当时，方程无实数根．
20．解方程：．
解：去分母得：，
整理得：，即，
解得：或，
当时，，
当时，，
是增根，分式方程的解为．
21．解方程：
解：两边平方得：，即，
再两边平方得：，即，
解得：，，
经检验不是方程的解，
则都是无理方程的解．
22．解方程组：．
解：方程组可变形为，
由②得，
把代入①，得，即，
解方程组得．
把代入①，得，即，
解方程组得．
方程组的解为或．
四、解答题（本大题共4小题，第23题7分，第24题8分，第25题9分，第26题10分，满分34分）
23．已知，点为对角线的中点，过点分别作直线，，直线交边、于点、，直线交边、于点、．求证：四边形为平行四边形．
【解答】证明：已知，点为对角线的中点，
，，
，
在△和△中，
，
△△，
，
同理可证，△△，
，
四边形为平行四边形．
24．小杰和小丽分别从相距的、两地同时同向出发，小杰经过地后再走2小时追上小丽，小杰走的总路程相当于小丽走8小时的路程，求小杰和小丽的速度分别是多少？
解：设小杰和小丽的速度分别是 ， ，
，
（舍去），
，
经检验，是原方程的解．
小杰和小丽的速度分别是，．
25．某公司开发了一款人工智能客户支持系统．该系统总的运行成本与服务的客户数量之间存在函数关系．已知：系统维护有固定成本（即系统没有客户咨询，仍需要支付的成本）；另外每服务一个客户，需要一定的运行成本；且当服务人数超过5000人时，超过部分每服务一个客户的运行成本降低2元，假设系统总的运行成本为元，客户的数量为人，请结合函数图象，回答下列问题：
（1）系统维护的固定成本是 2000 元．
（2）若当客户人数为5000人时，总的运行成本为元，若当客户人数为10000人时，总的运行成本为元，且．
①当客户人数不超过5000人时，求每服务一个客户需要的运行成本．
②如果总的运行成本不少于35000元，求该公司至少服务客户多少人？
解：（1）当时，，
故答案为：2000；
（2）①当客户人数不超过5000人时，设每服务一个客户需要的运行成本元，则当服务人数超过5000人时，超过部分每服务一个客户的运行成本为元，
，
，
，
，
解得：，
当客户人数不超过5000人时，每服务一个客户需要的运行成本为6元．
②由①可知：
当时，；
当时，．
当时，，
当时，，
，
解得．
至少服务客户5750人．
26．在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，点关于点的对称点为点，四边形是平行四边形．
（1）求点、点的坐标．
（2）过线段的中点作直线，直线把平行四边形分成面积为的两部分，求直线的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线与轴交于点（当点在点的下方），点在直线上，且，请直接写出点的坐标．
解：（1）直线分别交轴、轴于、两点，
当时，，
；
当时，，
解得，
，
点关于点的对称点为点，
，
四边形是平行四边形，
，，
点的横坐标为，纵坐标为16，
；
（2）如图1，点为的中点，连接，，
四边形是平行四边形，
，
点为的中点，
，
，
直线把平行四边形分成面积为的两部分，如图交于点，
当时，
，
，
，，
点的纵坐标为，
将代入得，，
解得，
，
设表达式为，
根据题意得，，
解得，
的表达式为；
当时，如图1，交于点，
，
，
，，
点的纵坐标为，
将代入得：，
解得，
，
同理利用待定系数法求出表达式为，
综上所述，直线的解析式为或；
（3）点的坐标为或．理由如下：
如图2，
直线与轴交于点（当点在点的下方），
点为直线直线与轴的交点，
当时，，
，
当点在轴左边时，
，，
，
，
所在直线表达式为，
将代入得，，
解得，
；
当点在轴右边时，作点关于轴的对称点，
，
，
，
综上所述，点的坐标为或．