2023-2024学年上海市松江区八年级（下）期末数学试卷 （含解析）

这是一份2023-2024学年上海市松江区八年级（下）期末数学试卷 （含解析），共25页。试卷主要包含了选择题.，填空题，简答题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）将直线向下平移2个单位，平移后的新直线一定不经过的象限是
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（3分）下列方程中，有实数根的是
A．B．C．D．
3．（3分）解方程时，设，则原方程化为的整式方程为
A．B．C．D．
4．（3分）下列事件中，属于必然事件的是
A．买一张彩票，没有中奖
B．平面内任意画一个三角形，内角和是
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．向量与向量是平行向量．
5．（3分）甲乙两车沿着公路从地前往地，汽车离开地的距离与时间的对应的关系如图所示．则下列结论错误的是
A．甲车的平均速度为B．乙车的平均速度为
C．甲乙两车在时相遇D．乙比甲车先到达地
6．（3分）下列命题是真命题的是
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行，且一组邻边互相垂直的四边形是矩形
C．一组对边平行，且对角线平分一组对角的四边形是菱形
D．一组对边平行，且对角线相等的四边形是等腰梯形
二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．（2分）方程的根是 ．
8．（2分）方程的解为 ．
9．（2分）直线的截距是 ．
10．（2分）如果一个多边形的每个外角都是，那么这个多边形内角和的度数为 ．
11．（2分）若、是直线上的两点，则 （填“”、“ ”或“” ．
12．（2分）有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数．将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为3的概率是 ．
13．（2分）如果一个等腰梯形的周长为50厘米，一条腰长为12厘米，那么这个梯形的中位线长为 厘米．
14．（2分）在四边形中，对角线、互相垂直，，，顺次联结这个四边形四边中点所得的四边形面积等于 ．
15．（2分）已知在梯形中，，，，那么等于 度．
16．（2分）如图，函数和的图象交于点，则关于的不等式的解集为 ．
17．（2分）如图，在正方形中，，点，是正方形内的两点，且，，则的长为 ．
18．（2分）如图，在矩形中，，，点在边上（点与点、不重合），将△沿直线翻折，点的对应点为点，联结，的延长线交边于点，如果，那么的长为 ．
三、简答题：（本大题共4题，每题6分，满分24分）
19．（6分）解方程：
20．（6分）解方程组：．
21．（6分）如图，四边形是平行四边形，点在边上，、交于点，
（1）写出图中所有与互为相反向量的向量： ；
（2）已知，，，则 ；
（3）在图中求作：．（保留作图痕迹，不要求写作法，写出结论）
22．（6分）如图1，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具．某校八年级综合实践小组用甲、乙两个透明的圆柱容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图．在甲容器里加满水，此时水面高度为．若由于装置的原因，甲容器内的水无法全部流出，当水面高度刚好是时，停止流水，此时停止计时，上午开始放水后，甲容器的水面高度和流水时间的部分数据如表：
（1）综合实践小组在平面直角坐标系中描出了以表中各组对应值为坐标的点，并用光滑的曲线（包括直线）把描出的点联结起来（如图，发现可以用一次函数近似地刻画甲容器的水面高度与流水时间的关系．根据以上信息，求关于的函数解析式（不用写定义域）．
（2）当时间正好是时，甲容器的水面高度是多少厘米？
（3）刚好停止流水时是几时几分？
四、解答题（本大题共4题，第23、24题每题8分，第25、26题每题9分，满分34分）
23．（8分）某条高速铁路全长1320千米，高速列车与普通动车组列车在该高速铁路上运行时，高速列车的平均速度比普通动车组列车每小时快110千米，且高速列车比普通动车组列车的全程运行时间少用2小时，求高速列车全程的运行时间．
24．（8分）如图，已知平行四边形的对角线、交于点，延长至点，使，连接，过点作，过点作．
（1）求证：；
（2）当时，求证：四边形是矩形．
25．（9分）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，
（1）求点和点的坐标；
（2）点是直线上的一个动点，且点在第一象限，当的面积是10时，求点的坐标；
（3）交轴于点，是平面内一点，使得四边形是直角梯形，且，求点的坐标．
26．（9分）已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线、射线交于点、，点与点、点不重合，．
（1）当点在线段上时，
①如图1，求证：；
②联结交于点，当时，求的长．
（2）当时，求的长（直接写出答案）．
参考答案
一．选择题（共6小题）
一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．（3分）将直线向下平移2个单位，平移后的新直线一定不经过的象限是
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
解：，函数图象过第一，三象限，
将直线向下平移2个单位，所得直线的，，函数图象过第一，三、四象限；
故选：．
2．（3分）下列方程中，有实数根的是
A．B．C．D．
解：方程的根的判别式△，故选项中方程有实数根；
方程的根的判别式△，故选项中方程无实数根；
，
选项中方程无实数根；
方程无解，故选项中方程无实数根；
故选：．
3．（3分）解方程时，设，则原方程化为的整式方程为
A．B．C．D．
解：，
，
由原方程，得
；
方程的两边同时乘以，得
，
移项，得
．
故选：．
4．（3分）下列事件中，属于必然事件的是
A．买一张彩票，没有中奖
B．平面内任意画一个三角形，内角和是
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．向量与向量是平行向量．
解：、买一张彩票，没有中奖是随机事件，不符合题意；
、平面内任意画一个三角形，内角和是是必然事件，符合题意；
、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，不符合题意；
、向量与向量是平行向量是随机事件，不符合题意；
故选：．
5．（3分）甲乙两车沿着公路从地前往地，汽车离开地的距离与时间的对应的关系如图所示．则下列结论错误的是
A．甲车的平均速度为B．乙车的平均速度为
C．甲乙两车在时相遇D．乙比甲车先到达地
解：甲车5小时行了，甲车的平均速度为，故正确．
乙车3小时行了，乙车的平均速度为，故正确．
设乙出发追上甲，则，解出，甲乙两车在时相遇，故错误．
乙车到达地，甲车到达地，故正确．
故选：．
6．（3分）下列命题是真命题的是
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行，且一组邻边互相垂直的四边形是矩形
C．一组对边平行，且对角线平分一组对角的四边形是菱形
D．一组对边平行，且对角线相等的四边形是等腰梯形
解：、一组对边平行，且另一组对边相等的四边形可能是平行四边形也可能是等腰梯形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
、一组对边平行，且一组邻边互相垂直的四边形是矩形或直角梯形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
、一组对边平行，且对角线平分一组对角的四边形是菱形，正确，是真命题，符合题意；
、一组对边平行，且一组邻边互相垂直的四边形是矩形或直角梯形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
故选：．
二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．（2分）方程的根是 ．
解：，
，
．
故答案为：．
8．（2分）方程的解为 3 ．
解：，
，
解得：或；
由题意得：，且，
，
故答案为3．
9．（2分）直线的截距是 ．
解：在一次函数中，
，
一次函数在轴上的截距．
故答案为：．
10．（2分）如果一个多边形的每个外角都是，那么这个多边形内角和的度数为 ．
解：一个多边形的每个外角都是，
，
则内角和为：，
故答案为：．
11．（2分）若、是直线上的两点，则 （填“”、“ ”或“” ．
解：在一次函数中，
，
随的增大而减小，
，
，
故答案为：．
12．（2分）有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数．将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为3的概率是 ．
解：由题意列表格如下：
由表格可知，共有36种等可能的结果，其中两次掷得骰子朝上一面的点数之和为3共有2种等可能的结果，
两次掷得骰子朝上一面的点数之和为3的概率为，
故答案为：．
13．（2分）如果一个等腰梯形的周长为50厘米，一条腰长为12厘米，那么这个梯形的中位线长为 13 厘米．
解：等腰梯形的周长为50厘米，一条腰长为12厘米，
两底的和（厘米），
这个梯形的中位线长为（厘米），
故答案为：13．
14．（2分）在四边形中，对角线、互相垂直，，，顺次联结这个四边形四边中点所得的四边形面积等于 12 ．
解：如图，
、、、分别为各边的中点，，，
，，，，，，
四边形是平行四边形，
对角线、相互垂直，
，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
四边形的面积为：．
故答案为：12．
15．（2分）已知在梯形中，，，，那么等于 108 度．
解：设，
，
，
，
在梯形中，，
则梯形为等腰梯形，
，
，
，，
，
，
，
，
解得：，
，
故答案为：108．
16．（2分）如图，函数和的图象交于点，则关于的不等式的解集为 ．
解：由函数图象可知，当时，．
故答案为：．
17．（2分）如图，在正方形中，，点，是正方形内的两点，且，，则的长为 ．
解：延长交于，如图：
，，，
是直角三角形，
同理可得是直角三角形，
可得是直角三角形，
，
，
同理可得：，
在和中，
，
，
，，
，
同理可得：，
，
故答案为：
18．（2分）如图，在矩形中，，，点在边上（点与点、不重合），将△沿直线翻折，点的对应点为点，联结，的延长线交边于点，如果，那么的长为 2 ．
解：如图所示，，，
由折叠可得，，，，
，
，
，
过作于，
四边形为矩形，
，，
设，则，，
在△中，，
即，
解得：，
即．
故答案为：2．
三、简答题：（本大题共4题，每题6分，满分24分）
19．（6分）解方程：
解：去分母得：，即，
分解因式得：，
解得：或，
经检验是增根，分式方程的解为．
20．（6分）解方程组：．
解：，
由②，得，
．
当，时，
，；
当，时，
，．
原方程组的解为或．
21．（6分）如图，四边形是平行四边形，点在边上，、交于点，
（1）写出图中所有与互为相反向量的向量： ，，， ；
（2）已知，，，则 ；
（3）在图中求作：．（保留作图痕迹，不要求写作法，写出结论）
解：（1）图中与互为相反向量的向量有：，，，．
故答案为：，，，．
（2），，
．
．
故答案为：．
（3）如图，在的延长线上取，连接，
四边形为平行四边形，
，
，
，
则即为所求．
22．（6分）如图1，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具．某校八年级综合实践小组用甲、乙两个透明的圆柱容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图．在甲容器里加满水，此时水面高度为．若由于装置的原因，甲容器内的水无法全部流出，当水面高度刚好是时，停止流水，此时停止计时，上午开始放水后，甲容器的水面高度和流水时间的部分数据如表：
（1）综合实践小组在平面直角坐标系中描出了以表中各组对应值为坐标的点，并用光滑的曲线（包括直线）把描出的点联结起来（如图，发现可以用一次函数近似地刻画甲容器的水面高度与流水时间的关系．根据以上信息，求关于的函数解析式（不用写定义域）．
（2）当时间正好是时，甲容器的水面高度是多少厘米？
（3）刚好停止流水时是几时几分？
解：（1）设关于的函数解析式为，
把，代入解析式得：，
解得，
关于的函数解析式为；
（2）当时间正好是时，流水时间为，
当时，，
答：甲容器的水面高度是16厘米；
（3）当时，，
解得：，
（小时），
刚好停止流水时是10时30分．
四、解答题（本大题共4题，第23、24题每题8分，第25、26题每题9分，满分34分）
23．（8分）某条高速铁路全长1320千米，高速列车与普通动车组列车在该高速铁路上运行时，高速列车的平均速度比普通动车组列车每小时快110千米，且高速列车比普通动车组列车的全程运行时间少用2小时，求高速列车全程的运行时间．
解：设高速列车全程的运行的平均速度为千米时，则动车组列车全程的运行的平均速度为千米时，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
经检验，，均为所列方程的解，符合题意，不符合题意，舍去．
（小时），
答：高速列车全程的运行时间为4小时．
24．（8分）如图，已知平行四边形的对角线、交于点，延长至点，使，连接，过点作，过点作．
（1）求证：；
（2）当时，求证：四边形是矩形．
【解答】证明：（1）四边形是平行四边形，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
；
（2），，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是矩形．
25．（9分）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，
（1）求点和点的坐标；
（2）点是直线上的一个动点，且点在第一象限，当的面积是10时，求点的坐标；
（3）交轴于点，是平面内一点，使得四边形是直角梯形，且，求点的坐标．
解：（1）令，则，
点的坐标为，
令，则，
解得．
点的坐标为；
（2）如图，作直线交轴于点，
对于，
令，则，
直线与轴的交点与点重合，
令，则，
解得．
直线与轴的交点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为
，，，
的面积是，
，
，
，
当时，，
解得，
点的坐标为；
（3）点为平面内一点，且，
点在以为圆心，以为半径的圆上，
又四边形是直角梯形，
当时，
如图，过点作交于点，连接，则四边形即为符合条件的直角梯形，
过点作轴于点，
，，
，
，且，
△，
，，
的坐标为；
当时，
如图，过点作的平行线交于点，，
此时四边形，四边形均为符合条件的直角梯形，
过点作轴于点，
直线的解析式为，，
设直线的解析式为，
把点代入得，，
，
直线的解析式，
令，得，
，
，且过点，
直线 的解析式为，
设 的坐标为，
，，
在△ 中，根据勾股定理可得： ，
，
整理得，
解得，（舍去），
的坐标为，；
同理可得 的坐标为，；
综上：点的坐标为或，或，．
26．（9分）已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线、射线交于点、，点与点、点不重合，．
（1）当点在线段上时，
①如图1，求证：；
②联结交于点，当时，求的长．
（2）当时，求的长（直接写出答案）．
解：（1）①连接，
四边形是菱形，，
，，
是等边三角形，
，，，
，
，
，
，
，
；
②为对角线，
，
，
，
，
过点作于点，
，，
设，则，，
，
，
；
（2）当点在上时，过点作于点，作，
，
设，则，，，，
，
，
；
当点在射线上时，过点作于点，
，
，，
，，
，
；
综上：或．
记录时间
流水时间
0
10
25
30
40
水面高度
30
28
25
24
22
题号
1
2
3
4
5
6
答案
B
A
B
B
C
C
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
记录时间
流水时间
0
10
25
30
40
水面高度
30
28
25
24
22