江苏省南京市第二十九中学2024-2025学年高二下学期第三次检测 数学试题（含解析）

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1.已知集合A＝{x|2x－3＜5}，B＝{－1，1，3，5}，则A∩B＝（ ）
A．{－1，1}B．{1，3}C．{－1，1，3}D．{－1，1，3，5}
2．曲线y＝lnx在点(e，1)处的切线方程为（ ）
A．x－y＝0B．x－ey＝0
C．x－y＋1－e＝0D．ex－y＝0
3．在正项数列{an}中，设甲：am＋n＝aman，乙：{an}是等比数列，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
4. 已知函数eq f(x)＝(a－\f(2,3x＋1))x2的图象关于原点对称，则a＝（ ）
A．4B．3C．2D．1
5．若x＞y，xy＝1，则eq \s\d1(\f(x2＋y2,x－y))的最小值为（ ）
A．2eq \r(,2)B．4eq \r(,2)C．eq \s\d1(\f(17,6))D．eq \s\d1(\f(5\r(,2),2))
6. 已知圆O：x2＋y2＝1，点A(－1，0)，点B(1，0).点P是圆O上异于A，B的动点.过点P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足2eq \(PQ,\s\up8(→))＝－eq \(PM,\s\up8(→))，则点M的轨迹方程为（ ）
A．eq \s\d1(\f(x2,9))＋y2＝1(x≠±1)B．9x2＋y2＝1(x≠±1)
C．eq \s\d1(\f(y2,9))＋x2＝1(x≠±1)D．x2＋9y2＝1(x≠±1)
7.已知甲、乙、丙、丁、戊5人身高从低到高，互不相同，将他们排成相对身高为“高低高低高”或“低高低高低”的队形，则甲、丁不相邻的不同排法种数为( )
A．12B．14
C．16D．18
8.斜率为1的直线与双曲线E: eq \s\d1(\f(x2,a2))－eq \s\d1(\f(y2,b2))＝1(a＞0，b＞0)交于两点A，B，点C是E上的一点，满足AC⊥BC，△OAC，△OBC的重心分别为P，Q，△ABC的外心为R.记直线OP，OQ，OR的斜率为k1，k2，k3.若k1k2k3＝－27，则双曲线E的离心率为( )
A 2 B 2eq \r(2) C 3 D 3eq \r(3)
多选题 每题6分
9.已知随机变量X~B(6，eq \s\d1(\f(1,2)))，Y~N(3，eq \s\d1(\f(1,4)))，则（ ）
.A．E(X)＝E(Y)B．D(X)＞D(Y)
C．P(X＝3)＞P(Y≥3)D．P(X＝3)＜P(Y≥3)
10.已知圆O：x2＋y2＝4，过点P(1， eq \r(2))作两条互相垂直的弦AB，CD，则下列结论中正确的是( )
A. 弦AB长的最小值为1
B. 四边形ACBD面积的最大值为5
C. 弦AC长的最大值为 eq \r(5)＋ eq \r(3)
D. AB＋CD的最大值为2 eq \r(10)
11.定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（ ）
A．B．在上单调递增
C．当时，D．当时，
三、填空题 每题5分
12．的展开式中的系数为.
13.已知样本的平均数为3，方差为4，样本的平均数为8，方差为2，则新样本的方差为.
14．已知三棱锥P－ABC的各顶点均在半径为2的球O表面上，∠AOB＝∠AOC＝60º，OB⊥OC，则三棱锥O－ABC的内切球半径为；若AP＝2eq \r(,2)，则三棱锥O－PBC体积的最大值为．
四、解答题（第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分）
15. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，S5＝25.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝3nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
16．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，且BD＝2，cs∠A1AB＝cs∠A1AD＝eq \s\d1(\f(3,4))
，E是A1C1中点．

(1)求证：平面A1BD⊥平面ABCD；
(2)求锐二面角A1－BC－E的余弦值．
17.已知函数f(x)＝2lnx＋x2－mx，m∈R．
(1)若函数f(x)在其定义域内单调递增，求实数m的取值范围；
(2)若4＜m＜5，且f(x)有两个极值点x1，x2，其中x1＜x2，求f(x1)－f(x2)的取值范围．
18.在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：eq \s\d1(\f(x2,a2))－y2＝1(a＞0)的离心率为eq \s\d1(\f(2\r(,3),3))，点P是C1上任意一点．抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到准线的距离是1．
(1)求C1，C2的方程；
(2)过点P作C1的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于A，B两点，求证：平行四边形PAOB的面积为定值；
(3)PC，PD是C2的两条切线，C，D是切点，求△PCD面积的最小值．
19.在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的n个小球，将它们分别编号为1，2，3，···，n．每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后放回，直至取遍所有小球后立刻停止摸球．记总的摸球次数为Xn，其期望为E(Xn)．
(1)求P(X2＝4)与P(X3＝5)；
(2)求E(X2)；
(3)证明：E(Xn)＞nln(n＋1)．
附：①若随机变量的可能取值为1，2，3，···，n，···，则
E(X)＝eq \(∑,\s\up6(＋∞),\s\d6(i＝1))(k·P(X＝k))＝eq \(lim,\s\d6(n→＋∞))eq \(∑,\s\up6(n),\s\d6(i＝1))(k·P(X＝k))
②若随机变量X＝eq \(∑,\s\up6(n),\s\d6(i＝1))ξi，则E(X)＝eq \(∑,\s\up6(n),\s\d6(i＝1))E(ξi)．