江苏省南京市第二十九中学2024-2025学年高二下学期第一次检测数学试题

这是一份江苏省南京市第二十九中学2024-2025学年高二下学期第一次检测数学试题，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 抛物线准线方程是（ ）
A. B. C. D.
2. 若函数的图象如图所示，则函数的导函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
3. 从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，则不同的安排方法有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
4. 如图，是某心形二次曲线，则的方程可能为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知等比数列的首项，公比为q，记，则“”是“数列为递减数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 在数列中，，则等于（ ）
A. B. C. D.
7. 在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，当时，，则a的最小值为（ ）
A. 0B. 1C. eD. ﹒
二、多选题
9. 设等差数列的公差为，前项和. 若，，则下列结论正确的是（ ）
A. 数列是递增数列B.
C. D. 中最大的是
10. 已知圆M：，直线l：，P为直线l上的动点，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，直线AB的方程为B. 四边形MAPB面积的最小值为4
C. 线段AB的最小值为D. 当时，点P横坐标取值范围是
11. 在棱长均为1的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法一定正确的有（ ）
A. 当点为三角形的重心时，
B. 当时，最小值为
C. 当点在平面内时，的最大值为2
D. 当时，点到的距离的最小值为
三、填空题
12. 已知点，，直线上不存在点，使得，则实数的取值范围是____.
13. 点P在函数图象上，若满足到直线的距离为2的点P有且仅有3个，则实数a的值为_______．
14. 如图，某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深，上口宽，若以的匀速往杯中注水，当水深为时，酒杯中水升高的瞬时变化率__________．
四、解答题
15. 如图，在三棱柱中，分别是上的点，且. 设.

（1）试用表示向量；
（2）若，求的长.
16. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面PAD⊥底面ABCD，PA=PD，点E为BC的中点，△AEB为等边三角形.
（1）证明：PB⊥AE；
（2）点F在线段PD上且DF=2FP，若二面角F−AC−D的大小为45°，求直线AE与平面ACF所成角的正弦值.
17. 设数列首项，为常数，且
（1）判断数列是否为等比数列，请说明理由；
（2）是数列的前项的和，若是递增数列，求的取值范围.
18. 已知双曲线渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为，过点作直线（不与轴重合）与双曲线相交于两点，过点作直线的垂线为垂足．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）是否存在实数，使得直线过定点，若存在，求的值及定点的坐标；若不存在，说明理由.
19. 已知.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若有两个极值点，，证明：.