海南省海口市海口中学2023−2024学年高二下学期期末考试 数学试题（含解析）

这是一份海南省海口市海口中学2023−2024学年高二下学期期末考试 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．下列各组中的两个函数为相同函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
3．已知为单位向量，且，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．在今年高考数学 = 2 \* ROMAN II卷的阅卷工作中，某质检老师随机抽取了10份试卷，对概率统计解答题第18题的阅卷评分进行了复查，得分记录分别为13，17，11，9，12，15，10，8，10，7，则这组样本数据的（ ）
A．极差为11分B．众数为10.5分
C．平均数为11分D．中位数为10.5分
5．在中，已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知定义在上的偶函数满足，若，则f100=（ ）
A．B．1C．D．2
7．已知球的表面积为，边长为3的等边的三个顶点都在球的球面上，则三棱锥的体积等于（ ）
A．B．C．D．
8．已知，关于的不等式的解集是，则的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．在回归模型的残差分析中，决定系数越接近1，说明回归模型的拟合效果越好
B．若甲、乙两组成对数据的样本相关系数分别为0.92，，则甲比乙的线性相关性强
C．在经验回归方程中，相对于样本点的残差为
D．在独立性检验中，当（为的临界值）时，推断不成立犯错误的概率不会超过
10．已知圆的圆心为，抛物线的焦点为，准线为，动点满足PE+PF=6，则（ ）
A．曲线与有两个不同的公共点B．点的轨迹为椭圆
C．的最大值为5D．当点在上时，
11．已知函数，则（ ）
A．的定义域为
B．的值域为
C．当时，在上单调递减
D．当时，为奇函数
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知等差数列的首项，前项和为，若，则公差 .
13．某城区交通要道有积雪堵塞，现场有9名男志愿者和5名女志愿者，交警拟安排其中3名女志愿者和2名男志愿者参与扫雪工作.其余志愿者参与铲雪工作，则不同的安排方法共有 种.（用数字作答）
14．已知函数，.若，则 ；若函数的图象与的图象有3个公共点，则的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数.
(1)当时，求在区间上的极大值；
(2)若在区间上有零点，求实数的取值范围.
16．如图1，在边长为2的正方形中，为的中点，分别将，沿，所在直线折叠，使、两点重合于点，如图2.在三棱锥中，为的中点.
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
17．已知双曲线的离心率为，且的右焦点到渐近线的距离为.
(1)求的标准方程；
(2)过点作直线与的右支相交于两点，为原点，证明：为锐角.
18．某口罩生产厂生产一个口罩需经过，，三道相互独立的工序，每道工序的生产质量分为优和良两个层级.当三道工序的生产质量都为优时，口罩的过滤等级为一等；当工序的生产质量为优，且，工序的生产质量至多有一个为优时，口罩的过滤等级为二等；其余情况下口罩的过滤等级均为三等.据抽样检测和统计分析，一个口罩在，，三道工序中的生产质量为优层级的概率分别为0.5，0.75，0.8.生产一个口罩的利润与过滤等级有关，其中一等2元/个，二等1元/个，三等0.5元/个.
(1)求该厂生产的口罩过滤等级为一等所占的概率为多少；
(2)从该厂生产的口罩中任取3个，求过滤等级有2个二等和1个三等的概率；
(3)为了提高工序的生产质量为优层级的概率，该厂拟对工序的生产环节进行升级改造.升改后每个口罩的生产成本增加0.2元（销售价格不变），工序的生产质量为优层级的概率达到0.9.试从一个口罩利润的期望值考虑，该厂是否应该实施升级改造？
19．已知函数，将函数的所有零点按从小到大的顺序排成一列，得到一个无穷数列：记.
(1)求函数的最大值和最小值；
(2)求的值；
(3)设数列的前项和为，证明：对于任意正整数，.
参考答案
1．【答案】D
【分析】直接利用交集与补集的概念计算即可.
【详解】由题意可知，所以.
故选D.
2．【答案】B
【分析】根据相同函数的判定方法逐项分析即可.
【详解】对A，的定义域为，的定义域为，则两个函数不是相同函数，故A错误；
对B，，且两函数的定义域均为，则两个函数相同函数，故B正确；
对C，，则两个函数不是相同函数，故C错误；
对D，与，两函数对应法则完全不同，故两函数不是相同函数，故D错误.
故选B.
3．【答案】C
【分析】由求出，再利用向量的夹角公式可求得结果.
【详解】因为为单位向量，且，
所以，得，
所以，因为，所以.
故选C.
4．【答案】D
【分析】利用极差、平均数、众数、中位数的定义计算一一判定选项即可.
【详解】由数据可知得分最高为17，最低为7，故极差为10，A错误；
显然10出现次数最多，故众数为10，B错误；
平均数为，故C错误；
从小到大排列数据，易知中位数为，
故D正确.
故选D.
5．【答案】C
【分析】首先利用余弦定理求出，再利用正弦定理即可.
【详解】设角所对应的边分别为，
则，根据余弦定理有，
则，根据正弦定理有，即，
解得.
故选C.
6．【答案】C
【分析】根据抽象函数的奇偶性与周期性计算即可.
【详解】由，所以T=6是函数的一个周期，所以，又是偶函数且，所以.
故选C.
7．【答案】A
【分析】求出球的半径和所在平面截球所得的小圆的半径，利用勾股定理可得球心到所在平面的距离，再利用棱锥的体积公式可求得结果.
【详解】设球的半径为，则，得
设所在平面截球所得的小圆的半径为，圆心为，
则为外接圆的半径，
因为等边的边长为3，所以
所以球心到所在平面的距离为
所以三棱锥的体积
故选A.
8．【答案】B
【分析】利用“三个二次”关系，先确定是方程的两个不等根得出关系式，再利用基本不等式计算即可.
【详解】由题设是方程的两个不等根，
所以，
又，则，
当且仅当，即时取得最小值.
故选B.
9．【答案】ACD
【分析】根据决定系数的定义即可判断A；根据相关系数的概念即可判断B；根据残差的计算方法即可判断C；根据独立性检验的卡方计算方法即可判断D.
【详解】对A，根据决定系数越大，说明回归模型的拟合效果越好，
即决定系数越接近1，说明回归模型的拟合效果越好，故A正确；
对B，因为，则则甲比乙的线性相关性弱，故B错误；
对C，当时，预估值，则残差为，故C正确；
对D，根据独立性检验的基本思想，D选项正确.
故选ACD.
10．【答案】BC
【分析】先求出圆心坐标、抛物线的焦点和准线方程，根据题中条件可得点的轨迹为焦点在轴上，焦距为4，长轴长为6的椭圆判断BCD；联立圆和抛物线方程解得交点坐标判断A；
【详解】圆的圆心为E(2,0)，半径为，抛物线的焦点为，准线为，
对于A，曲线与联立方程组消得，
解得或（舍），所以曲线与有一个公共点，A错误；
对于B，动点满足PE+PF=6，根据椭圆的定义可知点的轨迹为焦点在轴上，焦距为4，长轴长为6的椭圆，B正确；
对于C，点的轨迹为焦点在轴上，焦距为4，长轴长为6的椭圆，所以PF的最大值为，C正确；
对于D，点的轨迹为焦点在轴上，焦距为4，长轴长为6的椭圆，
即点的轨迹方程为，点在上时，
则点的坐标或,因为,所以,D错误.
故选BC.
11．【答案】ACD
【分析】对于A，直接求解函数的定义域判断，对于B，分析函数的值域判断，对于C，由函数图象平移规律分析判断，对于D，根据函数奇偶性的定义分析判断.
【详解】对于A，由，得，所以的定义域为，所以A正确，
对于B，，
当时，，所以的值域为，
当时，，所以的值域为，
所以B错误，
对于C，因为，
所以的图象可以由向左平移2个单位，向上或向下平移个单位得到，
当时，，因为在上单调递减，
所以在上单调递减，所以C正确，
对于D，当时，，设，定义域为，
因为，所以为奇函数，所以D正确.
故选ACD.
12．【答案】
【分析】利用等差数列的性质及和的性质计算即可.
【详解】由题意可知，
所以.
故答案为：.
13．【答案】360
【分析】直接利用分步乘法计数原理计算即可.
【详解】先选3名女志愿者有种选法，再选2名男志愿者有种选法，
最后余下的铲雪，有1种选法，所以共种安排方法.
故答案为：360.
14．【答案】;
【分析】利用分段函数的定义直接计算可得第一空；作出两个函数的图象，利用数形结合分类讨论即得.
【详解】若，则，显然，
则；
如图所示作出的大致图象，
易知过原点，要满足题意需与有两个交点，
当过时，此时，不满足题意，
当时，与只有一个交点，
由数形结合可知，当的斜率介于时满足题意，即.
故答案为：；.
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用导数研究函数的单调性与极值即可；
（2）分离参数，将问题等价转化为在定区间上有解，构造函数，利用导数研究其单调性与最值即可.
【详解】（1）当时，，所以，
由三角函数性质可知时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
即是函数在区间上的极大值；
（2）问题等价转化为在区间上有解，
令，，则，
令，所以单调递减，
则，即，
故在时单调递减，此时，
所以.
16．【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）利用线线垂直证明线面垂直，再证线线垂直即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可.
【详解】（1）由条件易知，所以，
而平面，所以平面，
又平面，所以；
（2）
取的中点，连接，过O作的平行线，
易知，则，
由上可以得，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以，
即,
设平面的一个法向量，
有，令，则，
所以，
设直线与平面所成角为，
则.
17．【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用双曲线的性质及点到直线的距离计算即可；
（2）设直线的方程及坐标，利用韦达定理及向量的数量积公式证明的余弦值为正即可.
【详解】（1）设，则，
易知的渐近线方程为，
由对称性知，焦点到两条渐近线的距离相同，即，
又，
则双曲线方程为：；
（2）由上知，不妨设的方程为及
显然，异号，则，，
联立，整理得，
则，
易知，
而异号，则，
所以，即，
即为锐角，得证.
18．【答案】(1)
(2)
(3)该厂应该实施升级改造，理由见解析
【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案；
（2）利用相互独立事件的概率乘法公式求出二等所占、三等所占的比率；再由相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案；
（3）求出改造前、改造后生产一个口罩的利润均值，再做比较可得答案.
【详解】（1）该厂生产的口罩过滤等级为一等的概率为；
（2）该厂生产的口罩过滤等级为二等的概率为，为三等的概率为，所以从该厂生产的口罩中任取3个，过滤等级有2个二等和1个三等的概率为；
（3）该厂应该实施升级改造，理由如下，表示改造前生产一个口罩的利润，则可取2，1，0.5，所以，，，
则，
改造后，该厂生产的口罩过滤等级为一等的概率为
为二等的概率为，为三等的概率为，
表示改造后生产一个口罩的利润，则可取1.8，0.8，0.3，
所以，，，
则，因为，所以该厂应该实施升级改造.
19．【答案】(1)的最大值和最小值分别为；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）先利用三角恒等变换化简函数式，再利用三角函数的图象与性质计算最值即可；
（2）根据三角函数的对称性得出，再利用诱导公式计算即可；
（3）同上可先计算，再根据三角函数的周期性得出数列也具有周期性，且奇数项与偶数项分别相同，即可证明.
【详解】（1）由
得，
显然由三角函数的性质可知：；
（2）
如上图所示，作出函数y=fx大致图象，
令，即y=fx的对称轴为，
所以时有，即，
则；
（3）由上可知的最小正周期为，则结合图象知，
即，
则；
由函数周期性可知，
故，
所以，即，证毕.